Linear Algebra: Subspace Projection Matrix Example

임의의 부분공간 V가 있다고 합시다

V는 부분공간을 나타내는데 자주 쓰이죠

이것은 R4에 존재하는 두 벡터의 생성과
같다고 해봅시다

첫 번째 벡터는 1, 0, 0, 1이고

두 번째 벡터는 0, 1, 0, 1이라 할게요

이것이 부분공간 V라고 정의하겠습니다

이들은 기저가 될거에요

선형독립하다는 뜻이죠

선형독립한 두 벡터, 아니 선형독립하는 그
어떤 벡터 집합이라도

부분공간을 생성한다면 그 부분공간의
기저가 됩니다

기저가 됩니다

이들이 선형독립하다는 것을 알 수 있죠

이 벡터에는 여기 1이 있죠

첫 번째 벡터의 그 어떤 결합으로도

여기 1을 얻을 수는 없습니다

그리고 이 벡터는 1이 여기 있죠

여기 0들의 그 어떤 선형결합으로도

이 1을 만들 수 없으므로

두 개의 벡터는 선형독립합니다

이를 V를 위한 기저라고도 부를 수 있습니다

자 이렇게 주어졌을 때, 이 부분공간으로의

임의의 벡터의 투사를 위한

변환행렬을 구할 수 있는지 살펴봅시다

4차원을 다루고 있죠?

그러니까 x를 R4의 원소라 가정하고

V로 투사되는 x를 위한 변환행렬을

구해봅시다

지난 강의에서 이것을 구하기 위한
일반적인 방법을 알아보았습니다

일반적인 방법을 알아보았습니다

A가 변환행렬이라면, 미안합니다

A의 열이 부분공간의 기저를 이루는
행렬이라면, 그러니까

A를 1, 0, 0, 1
0, 1, 0, 1이라 하겠습니다

A는 열들이 부분공간의 기저를 이루는

행렬이라면, V로 투사되는 x는
다음과 같을 것입니다

약간 어렵습니다

처음 보면 머리가 복잡해질 수도 있지만

특정한 패턴이나 대칭이 존재합니다

A 곱하기, 가운데 어떤 항이 존재할 것이고

곱하기 A의 전치, 그리고 곱하기 벡터 x의
꼴을 가지게 될 겁니다

가운데 부분을 기억하는 방법은

이 둘을 반대로 바꾸어 쓰면 됩니다

그러니까 A의 전치 곱하기 A의

역을 구하게 되는 것이죠

앞으로 5년에서 10년 동안은 일상생활에서

이걸 볼 일은 없을테니 외울 필요는 없어요

하지만 지금 잠시만 이 가운데 부분을

기억해보도록 하죠
이런 투사 문제들을 풀 때

유용하답니다

아무튼 이 변환을 위한 보편적인 행렬을
찾고자 할 때

이 행렬이 무엇과 같은지 결정해야합니다

많은 행렬 연산을 거쳐야하죠

이것이 행렬 A입니다

A의 전치는 어떻게 되죠?

행을 모두 열로 바꾼 것과 같겠죠

행을 모두 열로 바꾼 것과 같겠죠

그러니까 첫 번째 열은 첫 번째 행이 됩니다

1, 0, 0, 1 이렇게요

두 번째 열은 두 번째 행
0, 1, 0, 1이 됩니다

이것이 A의 전치입니다

그럼 A의 전치에 A를 곱하면
어떻게 될까요?

이것을 구하려면
A의 전치에 A를 곱한 것부터

구해야 합니다

한 번 해봅시다

여기 A를 다시 쓸게요

1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1

행렬과 행렬을 곱하는 연습을

하겠네요

이것은 어떻게 되죠?

자 우선 이것은 2×4의 행렬이고

4×2의 행렬로 곱하는 것이므로

2×2의 행렬이 나올 것입니다

첫 번째 항목은 근본적으로
이 행과 이 열의 내적이 되겠죠

이 행과 이 열의 내적이 되겠죠

그러니까 1×1+0×0+...

1×1+0×0+0×0+1×1

2가 되겠죠

다음으로 이 행과 이 열의 내적을

구하면

1×0+0×1+...

1×0+0×1+0×0+1×1 이니까
1이겠네요

이 행과 이 열을 내적하면

0×1+1×0+0×0+...

0×1+1×0+0×0+1×1이니까
1이 나옵니다

마지막으로 이 행과

두 번째 열을 내적해볼게요

두 번째 행과 두 번째 열이죠

0×0+1×1+0×0+1×1

0×0+1×1+0×0+1×1

1×1+1×1과 마찬가지니까

2가 되겠습니다

2가 되겠습니다

그러니까 이것이 A의 전치에
A를 곱한 것이죠

아직 다 된 것이 아니에요

이것의 역을 구해야 합니다

이건 단지 A의 전치에 A를 곱한 것이고

이것의 역이 필요한 것입니다

역은 어떻게 구하죠?

여기에 써볼게요

A의 전치의 역과 A의 역을 곱하면
무엇과 같을까요?

무엇과 같을까요?

1을 이 행렬의 행렬식으로 나눈 것이죠

여기서 행렬식은 무엇이죠?

1을 행렬식으로 나눈 것을 구하고 싶을 때

행렬식은 2×2-1×1

4-1이니까 3이 되겠네요

1을 이것의 행렬식으로 나누면

일단 2를 서로 바꾸고

그러니까 이 2는 여기로 가고
주황색 2는 여기로 오겠죠

그리고 1들을 음수로 만듭니다

이것은 -1, 이것도 -1이 되겠죠

이것이 2×2 행렬의 역의

일반적인 해라는 것을 알고 있습니다

10개나 11개 전의 강의에서
언급했던 것 같아요

대수학 II 수업에서 배웠던 것이죠

자 여기
A전치에 A를 곱한 것의 역을 구했어요

이 부분을 구한 것이죠

이 부분이 이 행렬로 표현되는 것입니다

1/3을 각각의 성분에 곱할 수도 있지만

아직은 그럴 필요가 없어요

전체 행렬을 구해봅시다

A에 이 행렬, A 전치 곱하기 A의 역, 을

곱하고 A의 전치를 다시 곱합니다

이렇게 써볼게요

그러니까 x를 부분공간 V에 투사한 것은

A와 같습니다

1, 0, 0, 1
좀 더 크게 써볼게요

그러니까 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1
곱하기 A의 전치와 A를 곱한 것의 역이죠

A의 전치와 A를 곱한 것의 역은
이 행렬이구요

1/3은 스칼라이므로 그냥 앞으로 빼서

쓸게요

1/3을 앞으로 빼고
이 행렬을 곱하여 쓸 수 있습니다

A의 전치에 A를 곱한 것의 역은
1/3 곱하기

2, -1, -1, 2가 되는 것입니다

여기에 A의 전치를 곱해보겠습니다

그리고 이 전체에 벡터 x를 곱하도록 하죠

A의 전치는 이것이죠

1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1

이 모든 것에 벡터 x를 곱하면

많은 행렬과 행렬의 곱이 남아있게 되죠

이걸 구할 수 있는지 봅시다

자 첫 번째로는
이 둘을 먼저 곱해볼게요

더 쉬운 방법은 없을 것 같네요

이것은 2×2의 행렬이고
이건 2×4의 행렬이니까

두 개를 곱하면

2×4의 행렬이 나오겠죠

2×4의 행렬을 여기에 쓸게요

그리고 이 행렬을 여기에 쓰겠습니다

1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1

그리고 A의 전치와 A를 곱한 것의 역에서 온

1/3이 남아있지만 아직 쓰지 않을게요

이 모든 것이 V에 투사된 x와 같습니다

이 곱셈을 합시다

첫 번째 성분은 2x1+(-1)x0이니까

2가 됩니다

다음으로는 2×0+(-1)×1이니까

-1이겠죠

그리고 2×0+(-1)×0은

0일 겁니다

다음으로는
2×1+(-1)×1

2×1+(-1)×1

2-1과 같으니까

1이겠죠?

2×1+(-1)×1이니까요

좋아요

두 번째 행으로 넘어갑시다

-1×1+2×0이니까 -1입니다

-1×0+2×1이므로

2가 되겠구요

-1×0+2×0

이건 0이 되죠

-1×1+2×1은

-1+2이므로 1이 되겠습니다

거의 다 했어요
당연히 끝 부분에 벡터 x를

빼먹을 순 없죠

이 부분이 변환을 나타냅니다

변환행렬이라고 부르는 것이죠

연산이 하나 더 남았네요

지금까지 부주의한 실수를 하지 않았기를

그리고 이 곱셈에도
실수를 하지 않기를 바래봅시다

이건 4×2 행렬을 2×4 행렬과

곱하는 것이기 때문에
조금 더 복잡할 거에요

4×4 행렬이 나올 겁니다

4×4 행렬을 위한

여유공간을 두도록 합시다

자 그래서 이 행렬은 어떻게 나올까요?

첫 번째 성분은 1×2+0×-1

1×2+0×-1이니까

2입니다

다음 성분은, 1 곱하기
이 행과 여기의 열을 곱하게 되면

열의 첫 번째 성분만 남겠죠

나머지는 모두 0일테니까요

그러니까 1×2+0×-1은 2일 겁니다

1×-1+0×2은 -1이 됩니다

1×0+0×0은 0이죠

1×1+0×1은 1입니다

이 행과 여기 열을 곱한 것이

첫 번째 행이 되었죠

이제 넘어가서
이 행과 여기 열을 곱해봅시다

여기 0이 있으니까

0과 여기 첫 번째 성분들을 곱하게 되고

1과 두 번째 성분들을 곱하게 되겠죠

그러니까 0×2+1×-1은 -1입니다

0×-1+1×2는 2이죠

두 번째 행만 남는 것과 같아요

2, 0, 1

이 부분만 살펴보면
2×2의 항등행렬이니까

말이 되겠죠

그러니까 왜 이런 행렬이 나오는지

조금의 힌트들이 있지만, 아무튼

나머지도 그냥 곱해볼게요

이걸 곱해보면, 다른 색으로 해볼게요

이것과 여기 각각의 열을 곱하면

그냥 0이 나올 거에요

이것이 0으로 이루어진
행벡터이기 때문에요

그러니까 0만 나오겠죠

그리고 드디어, 마지막 행으로 넘어가면

1 곱하기 첫 번째 성분, 더하기
1 곱하기 두 번째 성분일 겁니다

그러니까 2+(-1) 즉 1이 되겠죠

-1+2이니까 1이요

0+0이니까 0이겠네요

다음으로는 1+1이니까 2가 되겠죠

이 전체에 x를 곱합니다

자 다 됐습니다

신나네요!

x를 V로 투사한 것은 이 전체 행렬에

x를 곱한 것과 같습니다

여기 1/3은 각각의 성분에 곱할 수는 있지만

그럴 필요는 없어요

행렬을 더 지저분하게 만들 겁니다

이것이 바로 변환행렬이 되겠습니다

여기서 볼 수 있듯이

우리는 V로의 투사를 변환하고 있으므로

이것은 R4에서 R4로의 선형변환입니다

R4의 임의의 원소가 주어진다면

부분공간에 존재하는 또 다른
R4의 원소를 구할 수 있고

그것은 투사가 되겠죠

이것은 4×4의 행렬이 될거에요

여기서 확인할 수 있죠

아무튼 눈으로 볼 수 있는 이 결과를

유용하게 쓰기를 바랍니다

R4는 매우 추상적인 개념이여서

3차원의 프로그래밍 예시
그 이상일 수 있습니다

투사를 찾고자 할 때는 더 추상적인

데이터를 다루게 되는 것입니다