Linear Algebra: Subspace Projection Matrix Example
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0:00 - 0:01
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0:01 - 0:04임의의 부분공간 V가 있다고 합시다
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0:04 - 0:08V는 부분공간을 나타내는데 자주 쓰이죠
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0:08 - 0:11이것은 R4에 존재하는 두 벡터의 생성과
같다고 해봅시다 -
0:11 - 0:18첫 번째 벡터는 1, 0, 0, 1이고
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0:18 - 0:26두 번째 벡터는 0, 1, 0, 1이라 할게요
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0:26 - 0:28이것이 부분공간 V라고 정의하겠습니다
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0:28 - 0:30이들은 기저가 될거에요
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0:30 - 0:33선형독립하다는 뜻이죠
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0:33 - 0:36선형독립한 두 벡터, 아니 선형독립하는 그
어떤 벡터 집합이라도 -
0:36 - 0:39부분공간을 생성한다면 그 부분공간의
기저가 됩니다 -
0:39 - 0:40기저가 됩니다
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0:40 - 0:42이들이 선형독립하다는 것을 알 수 있죠
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0:42 - 0:43이 벡터에는 여기 1이 있죠
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0:43 - 0:45첫 번째 벡터의 그 어떤 결합으로도
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0:45 - 0:47여기 1을 얻을 수는 없습니다
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0:47 - 0:48그리고 이 벡터는 1이 여기 있죠
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0:48 - 0:50여기 0들의 그 어떤 선형결합으로도
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0:50 - 0:51이 1을 만들 수 없으므로
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0:51 - 0:54두 개의 벡터는 선형독립합니다
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0:54 - 1:00이를 V를 위한 기저라고도 부를 수 있습니다
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1:00 - 1:04자 이렇게 주어졌을 때, 이 부분공간으로의
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1:04 - 1:09임의의 벡터의 투사를 위한
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1:09 - 1:11변환행렬을 구할 수 있는지 살펴봅시다
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1:11 - 1:144차원을 다루고 있죠?
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1:14 - 1:21그러니까 x를 R4의 원소라 가정하고
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1:21 - 1:24V로 투사되는 x를 위한 변환행렬을
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1:24 - 1:29구해봅시다
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1:29 - 1:34지난 강의에서 이것을 구하기 위한
일반적인 방법을 알아보았습니다 -
1:34 - 1:35일반적인 방법을 알아보았습니다
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1:35 - 1:38A가 변환행렬이라면, 미안합니다
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1:38 - 1:44A의 열이 부분공간의 기저를 이루는
행렬이라면, 그러니까 -
1:44 - 1:52A를 1, 0, 0, 1
0, 1, 0, 1이라 하겠습니다 -
1:52 - 1:55A는 열들이 부분공간의 기저를 이루는
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1:55 - 2:00행렬이라면, V로 투사되는 x는
다음과 같을 것입니다 -
2:00 - 2:02약간 어렵습니다
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2:02 - 2:05처음 보면 머리가 복잡해질 수도 있지만
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2:05 - 2:08특정한 패턴이나 대칭이 존재합니다
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2:08 - 2:11A 곱하기, 가운데 어떤 항이 존재할 것이고
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2:11 - 2:18곱하기 A의 전치, 그리고 곱하기 벡터 x의
꼴을 가지게 될 겁니다 -
2:18 - 2:20가운데 부분을 기억하는 방법은
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2:20 - 2:22이 둘을 반대로 바꾸어 쓰면 됩니다
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2:22 - 2:26그러니까 A의 전치 곱하기 A의
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2:26 - 2:27역을 구하게 되는 것이죠
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2:27 - 2:30
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2:30 - 2:32앞으로 5년에서 10년 동안은 일상생활에서
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2:32 - 2:34이걸 볼 일은 없을테니 외울 필요는 없어요
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2:34 - 2:37하지만 지금 잠시만 이 가운데 부분을
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2:37 - 2:40기억해보도록 하죠
이런 투사 문제들을 풀 때 -
2:40 - 2:41유용하답니다
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2:41 - 2:46아무튼 이 변환을 위한 보편적인 행렬을
찾고자 할 때 -
2:46 - 2:49이 행렬이 무엇과 같은지 결정해야합니다
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2:49 - 2:53많은 행렬 연산을 거쳐야하죠
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2:53 - 2:54이것이 행렬 A입니다
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2:54 - 2:56A의 전치는 어떻게 되죠?
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2:56 - 3:05행을 모두 열로 바꾼 것과 같겠죠
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3:05 - 3:06행을 모두 열로 바꾼 것과 같겠죠
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3:06 - 3:09그러니까 첫 번째 열은 첫 번째 행이 됩니다
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3:09 - 3:121, 0, 0, 1 이렇게요
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3:12 - 3:18두 번째 열은 두 번째 행
0, 1, 0, 1이 됩니다 -
3:18 - 3:19이것이 A의 전치입니다
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3:19 - 3:21그럼 A의 전치에 A를 곱하면
어떻게 될까요? -
3:21 - 3:25이것을 구하려면
A의 전치에 A를 곱한 것부터 -
3:25 - 3:27구해야 합니다
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3:27 - 3:29한 번 해봅시다
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3:29 - 3:31여기 A를 다시 쓸게요
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3:31 - 3:361, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1
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3:36 - 3:38행렬과 행렬을 곱하는 연습을
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3:38 - 3:40하겠네요
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3:40 - 3:42이것은 어떻게 되죠?
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3:42 - 3:46자 우선 이것은 2×4의 행렬이고
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3:46 - 3:494×2의 행렬로 곱하는 것이므로
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3:49 - 3:522×2의 행렬이 나올 것입니다
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3:52 - 3:55첫 번째 항목은 근본적으로
이 행과 이 열의 내적이 되겠죠 -
3:55 - 3:58이 행과 이 열의 내적이 되겠죠
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3:58 - 4:06그러니까 1×1+0×0+...
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4:06 - 4:081×1+0×0+0×0+1×1
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4:08 - 4:112가 되겠죠
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4:11 - 4:14다음으로 이 행과 이 열의 내적을
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4:14 - 4:15구하면
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4:15 - 4:211×0+0×1+...
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4:21 - 4:261×0+0×1+0×0+1×1 이니까
1이겠네요 -
4:26 - 4:33이 행과 이 열을 내적하면
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4:33 - 4:400×1+1×0+0×0+...
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4:40 - 4:420×1+1×0+0×0+1×1이니까
1이 나옵니다 -
4:42 - 4:44
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4:44 - 4:48마지막으로 이 행과
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4:48 - 4:50두 번째 열을 내적해볼게요
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4:50 - 4:51두 번째 행과 두 번째 열이죠
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4:51 - 4:560×0+1×1+0×0+1×1
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4:56 - 4:570×0+1×1+0×0+1×1
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4:57 - 5:001×1+1×1과 마찬가지니까
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5:00 - 5:012가 되겠습니다
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5:01 - 5:032가 되겠습니다
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5:03 - 5:08그러니까 이것이 A의 전치에
A를 곱한 것이죠 -
5:08 - 5:09아직 다 된 것이 아니에요
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5:09 - 5:13이것의 역을 구해야 합니다
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5:13 - 5:14이건 단지 A의 전치에 A를 곱한 것이고
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5:14 - 5:17이것의 역이 필요한 것입니다
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5:17 - 5:19역은 어떻게 구하죠?
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5:19 - 5:20여기에 써볼게요
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5:20 - 5:26A의 전치의 역과 A의 역을 곱하면
무엇과 같을까요? -
5:26 - 5:27무엇과 같을까요?
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5:27 - 5:291을 이 행렬의 행렬식으로 나눈 것이죠
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5:29 - 5:30여기서 행렬식은 무엇이죠?
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5:30 - 5:331을 행렬식으로 나눈 것을 구하고 싶을 때
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5:33 - 5:38행렬식은 2×2-1×1
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5:38 - 5:414-1이니까 3이 되겠네요
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5:41 - 5:471을 이것의 행렬식으로 나누면
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5:47 - 5:53일단 2를 서로 바꾸고
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5:53 - 6:01그러니까 이 2는 여기로 가고
주황색 2는 여기로 오겠죠 -
6:01 - 6:05그리고 1들을 음수로 만듭니다
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6:05 - 6:10이것은 -1, 이것도 -1이 되겠죠
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6:10 - 6:12이것이 2×2 행렬의 역의
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6:12 - 6:14일반적인 해라는 것을 알고 있습니다
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6:14 - 6:1710개나 11개 전의 강의에서
언급했던 것 같아요 -
6:17 - 6:19대수학 II 수업에서 배웠던 것이죠
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6:19 - 6:22자 여기
A전치에 A를 곱한 것의 역을 구했어요 -
6:22 - 6:24이 부분을 구한 것이죠
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6:24 - 6:26이 부분이 이 행렬로 표현되는 것입니다
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6:26 - 6:291/3을 각각의 성분에 곱할 수도 있지만
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6:29 - 6:30아직은 그럴 필요가 없어요
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6:30 - 6:32전체 행렬을 구해봅시다
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6:32 - 6:35A에 이 행렬, A 전치 곱하기 A의 역, 을
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6:35 - 6:37곱하고 A의 전치를 다시 곱합니다
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6:37 - 6:39이렇게 써볼게요
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6:39 - 6:50그러니까 x를 부분공간 V에 투사한 것은
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6:50 - 6:51A와 같습니다
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6:51 - 6:54
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6:54 - 7:021, 0, 0, 1
좀 더 크게 써볼게요 -
7:02 - 7:12그러니까 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1
곱하기 A의 전치와 A를 곱한 것의 역이죠 -
7:12 - 7:17A의 전치와 A를 곱한 것의 역은
이 행렬이구요 -
7:17 - 7:191/3은 스칼라이므로 그냥 앞으로 빼서
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7:19 - 7:21쓸게요
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7:21 - 7:251/3을 앞으로 빼고
이 행렬을 곱하여 쓸 수 있습니다 -
7:25 - 7:29A의 전치에 A를 곱한 것의 역은
1/3 곱하기 -
7:29 - 7:332, -1, -1, 2가 되는 것입니다
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7:33 - 7:35여기에 A의 전치를 곱해보겠습니다
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7:35 - 7:38
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7:38 - 7:40그리고 이 전체에 벡터 x를 곱하도록 하죠
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7:40 - 7:42A의 전치는 이것이죠
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7:42 - 7:45
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7:45 - 7:521, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1
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7:52 - 7:56이 모든 것에 벡터 x를 곱하면
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7:56 - 7:59많은 행렬과 행렬의 곱이 남아있게 되죠
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7:59 - 8:00
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8:00 - 8:04이걸 구할 수 있는지 봅시다
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8:04 - 8:07자 첫 번째로는
이 둘을 먼저 곱해볼게요 -
8:07 - 8:10
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8:10 - 8:12더 쉬운 방법은 없을 것 같네요
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8:12 - 8:16이것은 2×2의 행렬이고
이건 2×4의 행렬이니까 -
8:16 - 8:18두 개를 곱하면
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8:18 - 8:232×4의 행렬이 나오겠죠
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8:23 - 8:272×4의 행렬을 여기에 쓸게요
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8:27 - 8:30그리고 이 행렬을 여기에 쓰겠습니다
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8:30 - 8:351, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1
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8:35 - 8:38그리고 A의 전치와 A를 곱한 것의 역에서 온
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8:38 - 8:411/3이 남아있지만 아직 쓰지 않을게요
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8:41 - 8:43이 모든 것이 V에 투사된 x와 같습니다
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8:43 - 8:45이 곱셈을 합시다
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8:45 - 8:49첫 번째 성분은 2x1+(-1)x0이니까
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8:49 - 8:522가 됩니다
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8:52 - 8:57다음으로는 2×0+(-1)×1이니까
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8:57 - 8:59-1이겠죠
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8:59 - 9:02그리고 2×0+(-1)×0은
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9:02 - 9:040일 겁니다
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9:04 - 9:08다음으로는
2×1+(-1)×1 -
9:08 - 9:092×1+(-1)×1
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9:09 - 9:102-1과 같으니까
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9:10 - 9:121이겠죠?
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9:12 - 9:152×1+(-1)×1이니까요
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9:15 - 9:15좋아요
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9:15 - 9:17두 번째 행으로 넘어갑시다
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9:17 - 9:22-1×1+2×0이니까 -1입니다
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9:22 - 9:24-1×0+2×1이므로
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9:24 - 9:262가 되겠구요
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9:26 - 9:28-1×0+2×0
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9:28 - 9:30이건 0이 되죠
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9:30 - 9:34-1×1+2×1은
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9:34 - 9:39-1+2이므로 1이 되겠습니다
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9:39 - 9:42거의 다 했어요
당연히 끝 부분에 벡터 x를 -
9:42 - 9:43빼먹을 순 없죠
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9:43 - 9:44이 부분이 변환을 나타냅니다
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9:44 - 9:47변환행렬이라고 부르는 것이죠
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9:47 - 9:48연산이 하나 더 남았네요
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9:48 - 9:51지금까지 부주의한 실수를 하지 않았기를
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9:51 - 9:54그리고 이 곱셈에도
실수를 하지 않기를 바래봅시다 -
9:54 - 9:55이건 4×2 행렬을 2×4 행렬과
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9:55 - 9:59곱하는 것이기 때문에
조금 더 복잡할 거에요 -
9:59 - 10:044×4 행렬이 나올 겁니다
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10:04 - 10:074×4 행렬을 위한
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10:07 - 10:11여유공간을 두도록 합시다
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10:11 - 10:13자 그래서 이 행렬은 어떻게 나올까요?
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10:13 - 10:18첫 번째 성분은 1×2+0×-1
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10:18 - 10:201×2+0×-1이니까
-
10:20 - 10:232입니다
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10:23 - 10:29다음 성분은, 1 곱하기
이 행과 여기의 열을 곱하게 되면 -
10:29 - 10:32열의 첫 번째 성분만 남겠죠
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10:32 - 10:32나머지는 모두 0일테니까요
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10:32 - 10:36그러니까 1×2+0×-1은 2일 겁니다
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10:36 - 10:401×-1+0×2은 -1이 됩니다
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10:40 - 10:431×0+0×0은 0이죠
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10:43 - 10:471×1+0×1은 1입니다
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10:47 - 10:49이 행과 여기 열을 곱한 것이
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10:49 - 10:52첫 번째 행이 되었죠
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10:52 - 10:58이제 넘어가서
이 행과 여기 열을 곱해봅시다 -
10:58 - 11:00여기 0이 있으니까
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11:00 - 11:020과 여기 첫 번째 성분들을 곱하게 되고
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11:02 - 11:031과 두 번째 성분들을 곱하게 되겠죠
-
11:03 - 11:07그러니까 0×2+1×-1은 -1입니다
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11:07 - 11:090×-1+1×2는 2이죠
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11:09 - 11:11두 번째 행만 남는 것과 같아요
-
11:11 - 11:142, 0, 1
-
11:14 - 11:16이 부분만 살펴보면
2×2의 항등행렬이니까 -
11:16 - 11:19말이 되겠죠
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11:19 - 11:22그러니까 왜 이런 행렬이 나오는지
-
11:22 - 11:24조금의 힌트들이 있지만, 아무튼
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11:24 - 11:25나머지도 그냥 곱해볼게요
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11:25 - 11:28이걸 곱해보면, 다른 색으로 해볼게요
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11:28 - 11:32이것과 여기 각각의 열을 곱하면
-
11:32 - 11:34그냥 0이 나올 거에요
-
11:34 - 11:37이것이 0으로 이루어진
행벡터이기 때문에요 -
11:37 - 11:39그러니까 0만 나오겠죠
-
11:39 - 11:45그리고 드디어, 마지막 행으로 넘어가면
-
11:45 - 11:471 곱하기 첫 번째 성분, 더하기
1 곱하기 두 번째 성분일 겁니다 -
11:47 - 11:51그러니까 2+(-1) 즉 1이 되겠죠
-
11:51 - 11:53-1+2이니까 1이요
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11:53 - 11:550+0이니까 0이겠네요
-
11:55 - 11:57다음으로는 1+1이니까 2가 되겠죠
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11:57 - 11:59이 전체에 x를 곱합니다
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11:59 - 12:01자 다 됐습니다
-
12:01 - 12:04신나네요!
-
12:04 - 12:08x를 V로 투사한 것은 이 전체 행렬에
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12:08 - 12:10x를 곱한 것과 같습니다
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12:10 - 12:15여기 1/3은 각각의 성분에 곱할 수는 있지만
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12:15 - 12:16그럴 필요는 없어요
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12:16 - 12:18행렬을 더 지저분하게 만들 겁니다
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12:18 - 12:21이것이 바로 변환행렬이 되겠습니다
-
12:21 - 12:25
-
12:25 - 12:28여기서 볼 수 있듯이
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12:28 - 12:33우리는 V로의 투사를 변환하고 있으므로
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12:33 - 12:38이것은 R4에서 R4로의 선형변환입니다
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12:38 - 12:41R4의 임의의 원소가 주어진다면
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12:41 - 12:45부분공간에 존재하는 또 다른
R4의 원소를 구할 수 있고 -
12:45 - 12:46그것은 투사가 되겠죠
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12:46 - 12:49이것은 4×4의 행렬이 될거에요
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12:49 - 12:50여기서 확인할 수 있죠
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12:50 - 12:52아무튼 눈으로 볼 수 있는 이 결과를
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12:52 - 12:53유용하게 쓰기를 바랍니다
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12:53 - 12:55R4는 매우 추상적인 개념이여서
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12:55 - 12:583차원의 프로그래밍 예시
그 이상일 수 있습니다 -
12:58 - 13:00투사를 찾고자 할 때는 더 추상적인
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13:00 - 13:02데이터를 다루게 되는 것입니다
-
13:02 - 13:03
- Title:
- Linear Algebra: Subspace Projection Matrix Example
- Description:
-
- Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 13:04
![]() |
Amara Bot edited Korean subtitles for Linear Algebra: Subspace Projection Matrix Example |