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Linear Algebra: Subspace Projection Matrix Example

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  • 0:01 - 0:04
    임의의 부분공간 V가 있다고 합시다
  • 0:04 - 0:08
    V는 부분공간을 나타내는데 자주 쓰이죠
  • 0:08 - 0:11
    이것은 R4에 존재하는 두 벡터의 생성과
    같다고 해봅시다
  • 0:11 - 0:18
    첫 번째 벡터는 1, 0, 0, 1이고
  • 0:18 - 0:26
    두 번째 벡터는 0, 1, 0, 1이라 할게요
  • 0:26 - 0:28
    이것이 부분공간 V라고 정의하겠습니다
  • 0:28 - 0:30
    이들은 기저가 될거에요
  • 0:30 - 0:33
    선형독립하다는 뜻이죠
  • 0:33 - 0:36
    선형독립한 두 벡터, 아니 선형독립하는 그
    어떤 벡터 집합이라도
  • 0:36 - 0:39
    부분공간을 생성한다면 그 부분공간의
    기저가 됩니다
  • 0:39 - 0:40
    기저가 됩니다
  • 0:40 - 0:42
    이들이 선형독립하다는 것을 알 수 있죠
  • 0:42 - 0:43
    이 벡터에는 여기 1이 있죠
  • 0:43 - 0:45
    첫 번째 벡터의 그 어떤 결합으로도
  • 0:45 - 0:47
    여기 1을 얻을 수는 없습니다
  • 0:47 - 0:48
    그리고 이 벡터는 1이 여기 있죠
  • 0:48 - 0:50
    여기 0들의 그 어떤 선형결합으로도
  • 0:50 - 0:51
    이 1을 만들 수 없으므로
  • 0:51 - 0:54
    두 개의 벡터는 선형독립합니다
  • 0:54 - 1:00
    이를 V를 위한 기저라고도 부를 수 있습니다
  • 1:00 - 1:04
    자 이렇게 주어졌을 때, 이 부분공간으로의
  • 1:04 - 1:09
    임의의 벡터의 투사를 위한
  • 1:09 - 1:11
    변환행렬을 구할 수 있는지 살펴봅시다
  • 1:11 - 1:14
    4차원을 다루고 있죠?
  • 1:14 - 1:21
    그러니까 x를 R4의 원소라 가정하고
  • 1:21 - 1:24
    V로 투사되는 x를 위한 변환행렬을
  • 1:24 - 1:29
    구해봅시다
  • 1:29 - 1:34
    지난 강의에서 이것을 구하기 위한
    일반적인 방법을 알아보았습니다
  • 1:34 - 1:35
    일반적인 방법을 알아보았습니다
  • 1:35 - 1:38
    A가 변환행렬이라면, 미안합니다
  • 1:38 - 1:44
    A의 열이 부분공간의 기저를 이루는
    행렬이라면, 그러니까
  • 1:44 - 1:52
    A를 1, 0, 0, 1
    0, 1, 0, 1이라 하겠습니다
  • 1:52 - 1:55
    A는 열들이 부분공간의 기저를 이루는
  • 1:55 - 2:00
    행렬이라면, V로 투사되는 x는
    다음과 같을 것입니다
  • 2:00 - 2:02
    약간 어렵습니다
  • 2:02 - 2:05
    처음 보면 머리가 복잡해질 수도 있지만
  • 2:05 - 2:08
    특정한 패턴이나 대칭이 존재합니다
  • 2:08 - 2:11
    A 곱하기, 가운데 어떤 항이 존재할 것이고
  • 2:11 - 2:18
    곱하기 A의 전치, 그리고 곱하기 벡터 x의
    꼴을 가지게 될 겁니다
  • 2:18 - 2:20
    가운데 부분을 기억하는 방법은
  • 2:20 - 2:22
    이 둘을 반대로 바꾸어 쓰면 됩니다
  • 2:22 - 2:26
    그러니까 A의 전치 곱하기 A의
  • 2:26 - 2:27
    역을 구하게 되는 것이죠
  • 2:27 - 2:30
  • 2:30 - 2:32
    앞으로 5년에서 10년 동안은 일상생활에서
  • 2:32 - 2:34
    이걸 볼 일은 없을테니 외울 필요는 없어요
  • 2:34 - 2:37
    하지만 지금 잠시만 이 가운데 부분을
  • 2:37 - 2:40
    기억해보도록 하죠
    이런 투사 문제들을 풀 때
  • 2:40 - 2:41
    유용하답니다
  • 2:41 - 2:46
    아무튼 이 변환을 위한 보편적인 행렬을
    찾고자 할 때
  • 2:46 - 2:49
    이 행렬이 무엇과 같은지 결정해야합니다
  • 2:49 - 2:53
    많은 행렬 연산을 거쳐야하죠
  • 2:53 - 2:54
    이것이 행렬 A입니다
  • 2:54 - 2:56
    A의 전치는 어떻게 되죠?
  • 2:56 - 3:05
    행을 모두 열로 바꾼 것과 같겠죠
  • 3:05 - 3:06
    행을 모두 열로 바꾼 것과 같겠죠
  • 3:06 - 3:09
    그러니까 첫 번째 열은 첫 번째 행이 됩니다
  • 3:09 - 3:12
    1, 0, 0, 1 이렇게요
  • 3:12 - 3:18
    두 번째 열은 두 번째 행
    0, 1, 0, 1이 됩니다
  • 3:18 - 3:19
    이것이 A의 전치입니다
  • 3:19 - 3:21
    그럼 A의 전치에 A를 곱하면
    어떻게 될까요?
  • 3:21 - 3:25
    이것을 구하려면
    A의 전치에 A를 곱한 것부터
  • 3:25 - 3:27
    구해야 합니다
  • 3:27 - 3:29
    한 번 해봅시다
  • 3:29 - 3:31
    여기 A를 다시 쓸게요
  • 3:31 - 3:36
    1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1
  • 3:36 - 3:38
    행렬과 행렬을 곱하는 연습을
  • 3:38 - 3:40
    하겠네요
  • 3:40 - 3:42
    이것은 어떻게 되죠?
  • 3:42 - 3:46
    자 우선 이것은 2×4의 행렬이고
  • 3:46 - 3:49
    4×2의 행렬로 곱하는 것이므로
  • 3:49 - 3:52
    2×2의 행렬이 나올 것입니다
  • 3:52 - 3:55
    첫 번째 항목은 근본적으로
    이 행과 이 열의 내적이 되겠죠
  • 3:55 - 3:58
    이 행과 이 열의 내적이 되겠죠
  • 3:58 - 4:06
    그러니까 1×1+0×0+...
  • 4:06 - 4:08
    1×1+0×0+0×0+1×1
  • 4:08 - 4:11
    2가 되겠죠
  • 4:11 - 4:14
    다음으로 이 행과 이 열의 내적을
  • 4:14 - 4:15
    구하면
  • 4:15 - 4:21
    1×0+0×1+...
  • 4:21 - 4:26
    1×0+0×1+0×0+1×1 이니까
    1이겠네요
  • 4:26 - 4:33
    이 행과 이 열을 내적하면
  • 4:33 - 4:40
    0×1+1×0+0×0+...
  • 4:40 - 4:42
    0×1+1×0+0×0+1×1이니까
    1이 나옵니다
  • 4:42 - 4:44
  • 4:44 - 4:48
    마지막으로 이 행과
  • 4:48 - 4:50
    두 번째 열을 내적해볼게요
  • 4:50 - 4:51
    두 번째 행과 두 번째 열이죠
  • 4:51 - 4:56
    0×0+1×1+0×0+1×1
  • 4:56 - 4:57
    0×0+1×1+0×0+1×1
  • 4:57 - 5:00
    1×1+1×1과 마찬가지니까
  • 5:00 - 5:01
    2가 되겠습니다
  • 5:01 - 5:03
    2가 되겠습니다
  • 5:03 - 5:08
    그러니까 이것이 A의 전치에
    A를 곱한 것이죠
  • 5:08 - 5:09
    아직 다 된 것이 아니에요
  • 5:09 - 5:13
    이것의 역을 구해야 합니다
  • 5:13 - 5:14
    이건 단지 A의 전치에 A를 곱한 것이고
  • 5:14 - 5:17
    이것의 역이 필요한 것입니다
  • 5:17 - 5:19
    역은 어떻게 구하죠?
  • 5:19 - 5:20
    여기에 써볼게요
  • 5:20 - 5:26
    A의 전치의 역과 A의 역을 곱하면
    무엇과 같을까요?
  • 5:26 - 5:27
    무엇과 같을까요?
  • 5:27 - 5:29
    1을 이 행렬의 행렬식으로 나눈 것이죠
  • 5:29 - 5:30
    여기서 행렬식은 무엇이죠?
  • 5:30 - 5:33
    1을 행렬식으로 나눈 것을 구하고 싶을 때
  • 5:33 - 5:38
    행렬식은 2×2-1×1
  • 5:38 - 5:41
    4-1이니까 3이 되겠네요
  • 5:41 - 5:47
    1을 이것의 행렬식으로 나누면
  • 5:47 - 5:53
    일단 2를 서로 바꾸고
  • 5:53 - 6:01
    그러니까 이 2는 여기로 가고
    주황색 2는 여기로 오겠죠
  • 6:01 - 6:05
    그리고 1들을 음수로 만듭니다
  • 6:05 - 6:10
    이것은 -1, 이것도 -1이 되겠죠
  • 6:10 - 6:12
    이것이 2×2 행렬의 역의
  • 6:12 - 6:14
    일반적인 해라는 것을 알고 있습니다
  • 6:14 - 6:17
    10개나 11개 전의 강의에서
    언급했던 것 같아요
  • 6:17 - 6:19
    대수학 II 수업에서 배웠던 것이죠
  • 6:19 - 6:22
    자 여기
    A전치에 A를 곱한 것의 역을 구했어요
  • 6:22 - 6:24
    이 부분을 구한 것이죠
  • 6:24 - 6:26
    이 부분이 이 행렬로 표현되는 것입니다
  • 6:26 - 6:29
    1/3을 각각의 성분에 곱할 수도 있지만
  • 6:29 - 6:30
    아직은 그럴 필요가 없어요
  • 6:30 - 6:32
    전체 행렬을 구해봅시다
  • 6:32 - 6:35
    A에 이 행렬, A 전치 곱하기 A의 역, 을
  • 6:35 - 6:37
    곱하고 A의 전치를 다시 곱합니다
  • 6:37 - 6:39
    이렇게 써볼게요
  • 6:39 - 6:50
    그러니까 x를 부분공간 V에 투사한 것은
  • 6:50 - 6:51
    A와 같습니다
  • 6:51 - 6:54
  • 6:54 - 7:02
    1, 0, 0, 1
    좀 더 크게 써볼게요
  • 7:02 - 7:12
    그러니까 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1
    곱하기 A의 전치와 A를 곱한 것의 역이죠
  • 7:12 - 7:17
    A의 전치와 A를 곱한 것의 역은
    이 행렬이구요
  • 7:17 - 7:19
    1/3은 스칼라이므로 그냥 앞으로 빼서
  • 7:19 - 7:21
    쓸게요
  • 7:21 - 7:25
    1/3을 앞으로 빼고
    이 행렬을 곱하여 쓸 수 있습니다
  • 7:25 - 7:29
    A의 전치에 A를 곱한 것의 역은
    1/3 곱하기
  • 7:29 - 7:33
    2, -1, -1, 2가 되는 것입니다
  • 7:33 - 7:35
    여기에 A의 전치를 곱해보겠습니다
  • 7:35 - 7:38
  • 7:38 - 7:40
    그리고 이 전체에 벡터 x를 곱하도록 하죠
  • 7:40 - 7:42
    A의 전치는 이것이죠
  • 7:42 - 7:45
  • 7:45 - 7:52
    1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1
  • 7:52 - 7:56
    이 모든 것에 벡터 x를 곱하면
  • 7:56 - 7:59
    많은 행렬과 행렬의 곱이 남아있게 되죠
  • 7:59 - 8:00
  • 8:00 - 8:04
    이걸 구할 수 있는지 봅시다
  • 8:04 - 8:07
    자 첫 번째로는
    이 둘을 먼저 곱해볼게요
  • 8:07 - 8:10
  • 8:10 - 8:12
    더 쉬운 방법은 없을 것 같네요
  • 8:12 - 8:16
    이것은 2×2의 행렬이고
    이건 2×4의 행렬이니까
  • 8:16 - 8:18
    두 개를 곱하면
  • 8:18 - 8:23
    2×4의 행렬이 나오겠죠
  • 8:23 - 8:27
    2×4의 행렬을 여기에 쓸게요
  • 8:27 - 8:30
    그리고 이 행렬을 여기에 쓰겠습니다
  • 8:30 - 8:35
    1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1
  • 8:35 - 8:38
    그리고 A의 전치와 A를 곱한 것의 역에서 온
  • 8:38 - 8:41
    1/3이 남아있지만 아직 쓰지 않을게요
  • 8:41 - 8:43
    이 모든 것이 V에 투사된 x와 같습니다
  • 8:43 - 8:45
    이 곱셈을 합시다
  • 8:45 - 8:49
    첫 번째 성분은 2x1+(-1)x0이니까
  • 8:49 - 8:52
    2가 됩니다
  • 8:52 - 8:57
    다음으로는 2×0+(-1)×1이니까
  • 8:57 - 8:59
    -1이겠죠
  • 8:59 - 9:02
    그리고 2×0+(-1)×0은
  • 9:02 - 9:04
    0일 겁니다
  • 9:04 - 9:08
    다음으로는
    2×1+(-1)×1
  • 9:08 - 9:09
    2×1+(-1)×1
  • 9:09 - 9:10
    2-1과 같으니까
  • 9:10 - 9:12
    1이겠죠?
  • 9:12 - 9:15
    2×1+(-1)×1이니까요
  • 9:15 - 9:15
    좋아요
  • 9:15 - 9:17
    두 번째 행으로 넘어갑시다
  • 9:17 - 9:22
    -1×1+2×0이니까 -1입니다
  • 9:22 - 9:24
    -1×0+2×1이므로
  • 9:24 - 9:26
    2가 되겠구요
  • 9:26 - 9:28
    -1×0+2×0
  • 9:28 - 9:30
    이건 0이 되죠
  • 9:30 - 9:34
    -1×1+2×1은
  • 9:34 - 9:39
    -1+2이므로 1이 되겠습니다
  • 9:39 - 9:42
    거의 다 했어요
    당연히 끝 부분에 벡터 x를
  • 9:42 - 9:43
    빼먹을 순 없죠
  • 9:43 - 9:44
    이 부분이 변환을 나타냅니다
  • 9:44 - 9:47
    변환행렬이라고 부르는 것이죠
  • 9:47 - 9:48
    연산이 하나 더 남았네요
  • 9:48 - 9:51
    지금까지 부주의한 실수를 하지 않았기를
  • 9:51 - 9:54
    그리고 이 곱셈에도
    실수를 하지 않기를 바래봅시다
  • 9:54 - 9:55
    이건 4×2 행렬을 2×4 행렬과
  • 9:55 - 9:59
    곱하는 것이기 때문에
    조금 더 복잡할 거에요
  • 9:59 - 10:04
    4×4 행렬이 나올 겁니다
  • 10:04 - 10:07
    4×4 행렬을 위한
  • 10:07 - 10:11
    여유공간을 두도록 합시다
  • 10:11 - 10:13
    자 그래서 이 행렬은 어떻게 나올까요?
  • 10:13 - 10:18
    첫 번째 성분은 1×2+0×-1
  • 10:18 - 10:20
    1×2+0×-1이니까
  • 10:20 - 10:23
    2입니다
  • 10:23 - 10:29
    다음 성분은, 1 곱하기
    이 행과 여기의 열을 곱하게 되면
  • 10:29 - 10:32
    열의 첫 번째 성분만 남겠죠
  • 10:32 - 10:32
    나머지는 모두 0일테니까요
  • 10:32 - 10:36
    그러니까 1×2+0×-1은 2일 겁니다
  • 10:36 - 10:40
    1×-1+0×2은 -1이 됩니다
  • 10:40 - 10:43
    1×0+0×0은 0이죠
  • 10:43 - 10:47
    1×1+0×1은 1입니다
  • 10:47 - 10:49
    이 행과 여기 열을 곱한 것이
  • 10:49 - 10:52
    첫 번째 행이 되었죠
  • 10:52 - 10:58
    이제 넘어가서
    이 행과 여기 열을 곱해봅시다
  • 10:58 - 11:00
    여기 0이 있으니까
  • 11:00 - 11:02
    0과 여기 첫 번째 성분들을 곱하게 되고
  • 11:02 - 11:03
    1과 두 번째 성분들을 곱하게 되겠죠
  • 11:03 - 11:07
    그러니까 0×2+1×-1은 -1입니다
  • 11:07 - 11:09
    0×-1+1×2는 2이죠
  • 11:09 - 11:11
    두 번째 행만 남는 것과 같아요
  • 11:11 - 11:14
    2, 0, 1
  • 11:14 - 11:16
    이 부분만 살펴보면
    2×2의 항등행렬이니까
  • 11:16 - 11:19
    말이 되겠죠
  • 11:19 - 11:22
    그러니까 왜 이런 행렬이 나오는지
  • 11:22 - 11:24
    조금의 힌트들이 있지만, 아무튼
  • 11:24 - 11:25
    나머지도 그냥 곱해볼게요
  • 11:25 - 11:28
    이걸 곱해보면, 다른 색으로 해볼게요
  • 11:28 - 11:32
    이것과 여기 각각의 열을 곱하면
  • 11:32 - 11:34
    그냥 0이 나올 거에요
  • 11:34 - 11:37
    이것이 0으로 이루어진
    행벡터이기 때문에요
  • 11:37 - 11:39
    그러니까 0만 나오겠죠
  • 11:39 - 11:45
    그리고 드디어, 마지막 행으로 넘어가면
  • 11:45 - 11:47
    1 곱하기 첫 번째 성분, 더하기
    1 곱하기 두 번째 성분일 겁니다
  • 11:47 - 11:51
    그러니까 2+(-1) 즉 1이 되겠죠
  • 11:51 - 11:53
    -1+2이니까 1이요
  • 11:53 - 11:55
    0+0이니까 0이겠네요
  • 11:55 - 11:57
    다음으로는 1+1이니까 2가 되겠죠
  • 11:57 - 11:59
    이 전체에 x를 곱합니다
  • 11:59 - 12:01
    자 다 됐습니다
  • 12:01 - 12:04
    신나네요!
  • 12:04 - 12:08
    x를 V로 투사한 것은 이 전체 행렬에
  • 12:08 - 12:10
    x를 곱한 것과 같습니다
  • 12:10 - 12:15
    여기 1/3은 각각의 성분에 곱할 수는 있지만
  • 12:15 - 12:16
    그럴 필요는 없어요
  • 12:16 - 12:18
    행렬을 더 지저분하게 만들 겁니다
  • 12:18 - 12:21
    이것이 바로 변환행렬이 되겠습니다
  • 12:21 - 12:25
  • 12:25 - 12:28
    여기서 볼 수 있듯이
  • 12:28 - 12:33
    우리는 V로의 투사를 변환하고 있으므로
  • 12:33 - 12:38
    이것은 R4에서 R4로의 선형변환입니다
  • 12:38 - 12:41
    R4의 임의의 원소가 주어진다면
  • 12:41 - 12:45
    부분공간에 존재하는 또 다른
    R4의 원소를 구할 수 있고
  • 12:45 - 12:46
    그것은 투사가 되겠죠
  • 12:46 - 12:49
    이것은 4×4의 행렬이 될거에요
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    여기서 확인할 수 있죠
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    아무튼 눈으로 볼 수 있는 이 결과를
  • 12:52 - 12:53
    유용하게 쓰기를 바랍니다
  • 12:53 - 12:55
    R4는 매우 추상적인 개념이여서
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    3차원의 프로그래밍 예시
    그 이상일 수 있습니다
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    투사를 찾고자 할 때는 더 추상적인
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    데이터를 다루게 되는 것입니다
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Title:
Linear Algebra: Subspace Projection Matrix Example
Description:

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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
13:04

Korean subtitles

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