Linear Algebra: Subspace Projection Matrix Example

Oletame, et on alamruum V, mis on üldiselt meie

lemmiktäheks alamruumide tähistamisel, ja see on

võrdne kahe vektori vahega R4-s.

Oletame, et esimene vektor on 1 0 0 1, ja

teine vektor on 0 1 0 1.

See on meie alamruum V.

Nagu näha, siis see saab olema aluseks, et nad

on lineaarselt iseseisvad.

Kaks vektorit, mis on lineaarsed või ka vektorite hulk,

mis on lineaarselt iseseisvad ja mille laiendavad alamruumi on

selle alamruumi aluseks(baasiks).

On näha, et nad on lineaarselt iseseisvad.

Sellel on 1 siin

Pole kombinatsiooni sellest väärtusest, et

kuidagimoodi saada 1 siia.

Ja siin asub 1.

Pole lineaarset kombinatsiooni

saamaks need 0 siin muutuma 1-ks, seega

nad on kõik lineaarselt iseseisvad.

Seda võib kutsuda ka V aluseks.

Teades seda, uurime mida võime leida

teisendusmaatriksi projektsiooni kohta iga

eraldiseisva projektsiooni kohta sellel alamruumil.

Ütleme, et x, meil on tegemist R4-ga siin.

ütleme, et x on R4 element ja ma tahan leida

teisendusmaatriksi x- projektsiooni V-l kohta.

teisendusmaatriksi x- projektsiooni V-l kohta.

Viimases videos jõudsime üldisele lahendusele,

kuidas selleni jõuda.

Me ütlesime, et kui A on teisendusmaatriks..oih, vabandust.

Kui A on maatriks, mille veerud on alamruumi baaskiks,

ütleme, et A on võrdne 1 0 0 1, 0 1 0 1.

Seega, A on maatriks, mille veergudeks on võetud alus

meie alamruumist, ja seega x-i projektsioon V-l on

võrdne... see on veidike keeruline.

Esimest korda kui seda vaatad, see tekitab peavalu, aga

siin on kindel sümmeetriline muster viisist, kuidas

saab leida, et on A * (siin on midagi vahel) ja siis on A(t)x.

saab leida, et on A * (siin on midagi vahel) ja siis on A(t)x.

Ja viis meelde jätta, et see on keskel on see,

et need kaks vahetasid kohta.

Siis on meil A(t)A ja võtame selle pöördväärtuse.

Siis on meil A(t)A ja võtame selle pöördväärtuse.

Te ei pruudi seda oma iga päevaelus kasutada

lähima viie-kümne aasta jooksul, seega pole viga kui

te ei jäta seda lõplikult meelde, vaid hoiate seda

"operatiivselt valmis," juhuks kui tuleb tegemist selliste

projekteerimisprobleemidega.

Kui soovime leida üldist maatriksi selle

teisenduse tarbeks, siis peame leidma, millega

ta võrdub ja see on lihtsalt mõningad maatriksiga seonduvad operatsioonid.

See on A.

Mis on transposeeritud maatriks A?

See tähendab seda, et kõik tulbad muutuvad

ridadeks(pöörad maatriksit 90kraadi)

Esimene tulp on nüüd esimene rida.

See on 1 0 0 1.

Teine tulp on nüüd teine rida - 0 1 0 1.

See ongi transpneeritud maatriks A. "A(t)"

Aga mis siis on A(t)A?

Selle leidmiseks, peame leidma, mis on A(t) * A.

Selle leidmiseks, peame leidma, mis on A(t) * A.

Korrutan A(t) ja A.

Kirjutan maatriksi A uuesti.

1 0 0 1, 0 1 0 1.

See on heaks praktikaks

maatriksite omavahelisel korrutamisel.

See on võrdne millega?

Esiteks, see on 2x4 maatriks ja

me korrutame seda 4x2 maatriksiga, seega

kokku tuleb 2x2 maatriks.

Seega esimene sisend on skalaarkorrutis

sellest reast ja sellest veerust.

See on 1x1 + 0x0 + 0x0 + 1x1.

See on 1x1 + 0x0 + 0x0 + 1x1.

Seega esimene väärtus on 2.

Järgmiseks leiame skalaarkorrutise A(t) esimese rea

ja A teise tulba vahel.

See on 1x0 + 0x1 + 0x0 + 1x1.

See on 1x0 + 0x1 + 0x0 + 1x1 ja see kõik on 1

Nüüd A(t) teine rida ja A esimene tulp.

0x1 + 1x0 + 0x0 + 1x1 , mis on 1.

0x1 + 1x0 + 0x0 + 1x1 , mis on 1.

Ja viimasena A(t) teine rida

ja A teine tulp.

Teine rida, teine tulp.

0x0 + 1x1 + 0x0 + 1x1 = 1

0x0 + 1x1 + 0x0 + 1x1 = 1

Seega, meil on 1x1 + 1 x 1.

Ja see on 2.

Ja see on 2.

Ja me saime transponeeritud maatriksi ja maatriksi korrututise.

Kuid see pole piisav.

Me peame leidma A(t)*A pöördväärtuse.

See on A(t)*A.

Kuid peame leidma A(t)*A pöördväärtuse.

Mis on A(t)*A pöördväärtus?

Kirjutan selle siia.

Pöördväärtus on võrdväärne millega?

Pöördväärtus on võrdväärne millega?

See on 1 jagatud A(t)*A determinant-

Ja mis on selle determinandiks?

See on 1 jagatud determinandiga.

Determinant on 2x2 - 1x1.

Seega 4 - 1 = 3

Seega 1 jagatud determinandiga korrutada

A(t)*A vahetatud väärtustega. Vahetame kahed omavahel.

See 2 võtab selle koha ja oranž 2 võtab lilla 2 vana koha.

Ja siis muudame ühed negatiivseks.

See muutub -1 ja see samuti.

Õppisime sellest, et see on üldine lahendus

2x2 maatriksi pöördväärtuse leidmiseks.

Ma arvan, et see oli 10 või 11 videot tagasi, ja arvatavasti

õppisite seda ka Algebra II kursusel.

Meil on A(t)*A.

Meil on A(t)*A.

Tervik on siin, ainult maatriks on siin.

Ma võiks tegurdada 1/3 sinna sisse, aga seda

ei pea veel tegema.

Aga uurime nüüd kogu maatriksi välja.

A * A(t)A pöördväärtus * A(t)

A * A(t)A pöördväärtus * A(t)

Kirjutan selle nõndamoodi.

x-i projektsioon alamruumile V on võrdne A-ga.

x-i projektsioon alamruumile V on võrdne A-ga.

1 0 0 1 - ma kirjutan selle veidi suuremalt.

Seega 1 0 0 1, 0 1 0 1 * A(t)A pöördväärtus, jah?

A(t)A pöördväärtus on siin.

Paneme 1/3 selle ette,

sest see on lihtsalt skalaar.

viime 1/3 kõige ette.

See on 1/3 korrutada 2 - 1 - 1 ja 2.

See on 1/3 korrutada 2 - 1 - 1 ja 2.

Ja siis korrutame selle A(t)-ga.

Ja see kõik vektoriga x.

A(t) on siin.

1 0 0 1, 0 1 0 1.

Ja siis kõik see korrutada vektoriga x.

Meid ootab ees maatriksite omavahelised korrutamised.

Meid ootab ees maatriksite omavahelised korrutamised.

Vaatame, kas saab neid teha.

Esimesena, korrutame kaks viimast maatriksit.

Ma ei usu, et sellest lihtsamat varianti on.

See on 2x2 maatriks ja see on 2x4 maatriks.

korrutades saame 2x4 maatriksi.

korrutades saame 2x4 maatriksi.

kirjutan selle 2x4 maatriksi siia.

Kirjutan esimese maatriksi siia ette.

1 0 0 1, 0 1 0 1.

Ja siis on meil veel see 1/3 mis tuli A(t)A

pöördväärtusest, kuid panen selle kordaja samuti siia.

See kõik on võrdne x-i projektsiooniga V-le.

Leiame selle korrutise.

2x1 + (-1)x0 = 2.

2x1 + (-1)x0 = 2.

Siis on 2x0 + (-1)x1 = - 1

Siis on 2x0 + (-1)x1 = - 1

Edasi tuleb 2x0 + (-1)x0 = 0

Edasi tuleb 2x0 + (-1)x0 = 0

Ja siis 2x1 + (-1)x1.

Ja siis 2x1 + (-1)x1.

See on 2 - 1 = 1, õigus?

See on 2 - 1 = 1, õigus?

2x1 + (-1)x1

sobib küll.

Nüüd võtame ette teise rea.

(-1)x1 + 2x0 = -1.

(-1)x0 + 2x1 = 2.

(-1)x0 + 2x1 = 2.

(-1)x0 + 2x0 = 0.

(-1)x0 + 2x0 = 0.

(-1)x1 + 2x1.

See on -1 + 2 = 1

peaaegu valmis, muidugi tuleb seda korrutada

x-iga kõige lõpus.

See on teisendus.

See on teisendusmaatriks.

Üks veel jäänud.

Loodame, et ma pole teinud ühtegi hooletusviga

ja et ma ei tee ka selles korrutamises.

See on veidi keerulisem, sest siin on

tegemist 4x2 maatriksi ja 2x4 maatriksiga.

kokku tuleb 4x4 maatriks.

tekitan veidi hingamisruumi siia, sest

me tekitame 4x4 maatriksi siia.

Niisis, mis tekib?

Esimene sissekanne on 1x2 + 0x(-1).

Esimene väärtus on 1x2 + 0x(-1).

See on võrdne 2.

See rida korrutada ükskõik millise veeruga siin

on esimene sisestus veergu, sest see nullitakse ära.

on esimene sisestus veergu, sest see nullitakse ära.

Seega 1x2 + 0x(-1) = 2.

1x(-1) + 0x2 = -1.

1x0 + 0x0 = 0.

1x1 + 0x1 = 1.

võttes selle rea ja korrutades selle nende

veergudega, siis saab uue maatriksi esimese rea.

Nüüd teeme selle rea korrutamise nende veergudega.

meil on siin 0 ja seega, saame 0 korrutada

esimeste arvudega kõigist neist ja 1 x teine arv.

esimeste arvudega kõigist neist ja 1 x teine arv.

Seega, 0x2 + 1x(-1) = -1.

0x(-1) + 1x2 = 2.

Ainult teine rida loeb siin.

2 0 1.

tegelikult see on loogiline, sest kui vaatame siia peale,

siis näeme, et see on 2x2 ühikmaatriks.

Igatahes, väike vihje, miks need kaks väga sarnaselt

välja näevad, kuid me läheme edasi

maatriksi korrutamisega.

Teen selle teise värgiga.

Korrutame selle rea iga veeruga teises maatriksis.

See on 0, sest esimese maatriksi rida on nullvektor,

See on 0, sest esimese maatriksi rida on nullvektor,

ja me saame hunniku nulle.

Ja lõpuks viimane rida on 1 korda esimene arv +

1 korda teine arv.

See on 2 + (-1) = 1.

(-1) + 2 = 1.

0 + 0 = 0

ja 1 + 1 = 2

Ja see kõik korrutada x-iga.

Ja siin see on.

See on huvitav.

x-i projektsioon V-l on võrdne

kogu selle maatriksi ja vektori x korrutisega.

Võiksime maatriksi korrutada läbi 1/3, kuid

me ei pea seda tegema.

See muudaks asja ainult segasemaks.

See osa siin on teisendusmaatriks.

Kuna me teisename, siis pidage meeles,

et projektsioon V-le on lineaarne

teisendus R4-st R4-ja.

Sisestades mingi elemendi R4-st, saab väljundiks

teise R4 elemendi, mis paikneb alamruumis,

mis on projektsioon.

See on 4x4 maatriks, võite seda ise näha.

See on 4x4 maatriks, võite seda ise näha.

Loodetavasti tuli kasuks näha

reaalset käegakatsutavat tulemust.

R4 on väga abstarktne. See võib olla midagi

kõrgemat meie kolmemõõtmelise programmeerimise näitest.

Tegemist on abstraktse andmehulgaga, millest

projektsiooni soovime leida.