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Digamos que tengo un subespacio V, nuestra letra
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preferida para subespacios, y que V es igual
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la extensión entre dos vectores en R4.
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Digamos que el primer vector es 1 0 0 1, y
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el segundo vector es 0 1 0 1.
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Ese es mi subespacio V.
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Puedes ver que estos vectores van a ser una base.
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Que son linealmente independientes.
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Dos vectores lineales - o cualquier conjunto de vectores
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linealmente independientes y que conforman un subespacio
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son una base para ese subespacio.
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Puedes ver que estos son linealmente independientes.
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Este vector tiene un 1 aquí.
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No es posible formar una combinación de este vector
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para obtener un 1 aquí.
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Y este vector tiene un 1 aquí.
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No hay forma de obtener una combinación lineal
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de estos ceros que resulte en un 1 allí,
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entonces son linealmente independientes.
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También puedes llamarlos la base de V.
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Ahora, con esta base, veámos si podemos encontrar
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la transformación matriz para la proyección
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de cualquier vector arbitrario sobre este subespacio.
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Digamos que X - seguimos en R4, correcto?
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Digamos que X pertenece a R4, y quiero obtener
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la transformación matriz para
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la proyección de x sobre V.
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Ahora, en el video anterior, encontramos una regla general
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para encontrar esa transformación.
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Dijimos que si A es transformación matriz -- perdón.
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Si A es una matriz cuyas columnas son base para
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un subespacio, digamos que A es igual a 1 0 0 1, 0 1 0 1.
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Entonces A es una matriz cuyas columnas son la base para
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nuestro subespacio, entonces la proyección de x sobre V sería igual
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a - esto es difícil.
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La primera vez que lo vez, te dará un dolor de cabeza, pero
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hay un patrón o simetría o una forma de --
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podrías decir que es A multiplicado, tendremos algo en
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el medio, y luego A transpuesta multiplicada por el vector x.
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La forma en que recurdo que es el medio es que tienes
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estos dos intercambiados.
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Entonces tienes A transpuesta A, y
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obtienes el inverso.
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Probablemente no usarás esto todos los días,
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de aquí a 5-10 años, así que no tienes que memorizarlo,
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pero por el momento, mantenlo en tu memoria
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porque es bueno saberlo para
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resolver problemas de proyección.
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Si quisiéramos encontrar la matriz general
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para esta transformación, solo tenemos que determinar a qué equivale
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esta matriz, y eso es tan solo un montón de operaciones matriciales.
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Esa es A.
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Qué es A transpuesta?
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A transpuesta será igual a todas las filas
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convertidas en columnas.
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Así que la primera fila se convierte en la primera columna.
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Entonces es 1 0 0 1.
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La segunda columna será la segunda fila 0 1 0 1.
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Esa es A transpuesta.
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Ahora, qué es A transpuesta A?
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Para averiguarlo, debo averguar A transpuesta
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multiplicada por A.
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Así que multipliquemos A transpuesta por A.
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Volveré a escribir A aquí.
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1 0 0 1, 0 1 0 1.
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Estamos practicando
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productos de matrices.
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A qué será igual esto?
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Primero, esta es una matriz 2x4, y
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la estoy multiplicando por una matriz 4x2, así que
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será una matriz 2x2.
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La primera entrada es el producto de
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esa fila y esa columna.
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Así que es 1 por 1, más 0 por 0, más 0 por 0,
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más 1 por 1.
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Así que la primera entrada será igual a 2.
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Y luego tomas el producto de esta fila
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y esta columna.
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Es 1 por 0, que es 0, más 0 por 1, que es 0,
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más 0 por 0, que es 0, más 1 por 1, que es 1.
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Ahora hagamos esta fila por esta columna.
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0 por 1 es 0, más 1 por 0 es 0, más 0 por 0 es 0,
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más 1 por 1 es 1.
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Y por último, esta fila por
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esta columna.
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Segunda fila, segunda columna.
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0 por 0 es 0, 1 por 1 es 1, 0 por 0 es 0,
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1 por 1 es 1.
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Así que tenemos 1 por 1 más 1 por 1.
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Será 2.
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Será igual a 2.
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Así que aquí tenemos a A transpuesta por A.
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Pero eso no es suficiente.
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Tenemos que encontrar cuál es el inverso de A transpuesta A.
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Esta es A transpuesta A.
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Pero tenemos que encontrar el inverso de A transpuesta A.
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Cuál es el inverso de esto?
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Déjenme escribirlo aquí.
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El inverso de A transpuesta A será
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igual a qué?
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Será 1 sobre el determinante de esta matriz.
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Cuál es el determinante aquí?
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Será 1 sobre el determinante de esta matriz.
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El determinante es 2 por 2, que es 4, menos 1 por 1.
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4 menos 1, que es 3.
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Así que 1 sobre el determinante multiplicado por [ ], donde
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si intercambio estos dos, intercambio los 1s-- perdón, intercambio los 2s.
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Así que este 2 va aquí, y este 2 anaranjado va de este lado.
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Y hago estos 1s negativos.
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Este se convierte en un -1 y este se convierte en un -1.
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Aprendimos que esta es la solución general
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para el inverso de una matriz 2x2.
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Creo que fue 10 u 11 video atrás, y probablemente lo aprendieron
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en su clase de Álgebra II, pero aquí está.
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Tenemos el inverso de A transpuesta A.
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Tenemos la respuesta.
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Es esta expresión, esta matriz.
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Podría multiplicarla por 1/3, pero no es necesario
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hacerlo todavía.
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Expresemos la matriz completa ahora.
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Toda A multiplicada por esta expresión, el inverso de A transpuesta A
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multiplicada por A transpuesta.
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Lo escribiré de esta forma.
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La proyección de x sobre el subespacio V será
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igual a A.
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1 0 0 1 -- lo escribiré más grande.
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1 0 0 1, 0 1 0 1 multiplicado por el inverso de A transpuesta A, correcto?
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A por el inverso de A transpuesta A, que equivale a esta expresión.
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Pongamos el 1/3 delante
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porque es solo un escalar.
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Pondré el 1/3 adelante, multiplicando.
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El inverso de A transpuesta A es 1/3 por 2
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menos 1, menos 1, 2.
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Y luego lo multiplico por A transpuesta.
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Y todo eso multiplicado por nuestro vector x.
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Así que A transpuesta está aquí.
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Es 1 0 0 1, 0 1 0 1.
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Y luego eso lo multiplico por el vector x.
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Así que tendremos más productos
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matriciales para calcular.
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Veámos si podemos hacerlo.
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El primero, multipliquemos estas dos matrices.
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Creo que no hay una forma simple de hacerlo.
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Esta en una matriz 2x2, y esta es una matriz 2x4,
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así que cuando las multiplico, resultará
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en una matriz 2x4.
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Escribiré esa matriz 2x4 aquí.
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Y puedo escribir esta matriz aquí.
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1 0 0 1, 0 1 0 1.
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Y tengo el 1/3 del inverso de A transpuesta A,
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pero pondré el escalar afuera.
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Y todo esto es igual a la proyección de x sobre V.
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Calculemos el producto.
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La primera entrada será 2 por 1 más -1 por 0,
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así que es igual a 2.
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Luego tenemos 2 por 0, más -1 or 1.
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Eso es -1.
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Luego 2 por 0, más -1 por 0.
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Eso es 0.
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Y luego 2 por 1, más
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-1 por 1.
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Eso es 2 menos 1.
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Y eso es 1, correcto?
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2 por 1 menos 1 por 1.
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Correcto.
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Hagamos la segunda fila.
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-1 por 1 más 2 por 0, eso es -1.
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-1 por 0 más 2 por 1.
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Eso es 2.
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-1 por 0 más 2 por 0.
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Eso es 0.
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Menos 1 por 1 más 2 por 1.
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Eso es -1 más 2, así que 1.
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Casi terminamos, pero tenemos que multiplicarlo por x
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al final.
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Esto es la transformación.
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Esta es nuestra transformada matriz.
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Una más por hacer.
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Esperemos que no haya cometido errores por descuido
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y que no cometeré ninguno en este producto.
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Esto será algo más complicado porque
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es una matriz 4x2 por una matriz 2x4.
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Resultará en una matriz 4x4.
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Necesitaré espacio para escribir
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una matriz 4x4 aquí.
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Qué obtendré?
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La primera entrada será 1 por 2, más
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0 por -1.
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Eso es igual a 2.
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La entrada siguiente: 1 por -- esta fila por cualquier columna
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será la primera entrada en la columna porque
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se multiplica por 0.
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Así que 1 por 2, más 0 por -1 es 2.
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1 por -1, más 0 por 2 es -1.
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1 por 0, más 0 por 0 es 0.
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1 por 1, más 0 por 1 es 1.
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Cuando tomas esta fila y la multiplicas por
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estas columnas, obtienes la primera fila aquí.
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Ahora multipliquemos esta fila por esas columnas.
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Tenemos un 0 aquí, aqí que 0 por
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la primera entrada de todos estos, y un 1
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por la segunda entrada.
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0 por 2 más 1 por -1 es -1.
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0 po -1 más 1 por 2 es 2.
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Tendremos la segunda fila aquí.
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2 0 1.
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Esto tiene sentido, ya que si miramos
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esta parte de la matriz, es de identidad 2x2.
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Esta la razón por la que se parece a
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esa, pero seguiremos calculando el
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producto matricial.
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Ahora, multiplicas esto -- lo escribiré en otro color.
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Multiplicas esta fila por cada una de esas columnas.
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Esa fila multiplicada por la columna será igual a 0 porque
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este es básicamente el vector fila 0, así que
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obtendremos ceros.
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Finalmente, esta última fila, 1 por
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la primera entrada, más 1 por la segunda entrada.
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Este será 2 más -1, que es 1.
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-1 más 2, que es 1.
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0 más 0, que es 0.
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Y 1 más 1, que es 2.
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Y todo esto multiplicado por x.
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Aquí está.
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Esto es emocionante.
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La proyección de x sobre V es igual a esta
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matriz multiplicada por x.
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Podría multiplicar esta expresión por 1/3
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pero no es necesario en este momento.
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Eso lo haría un poco más confuso.
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Esta es la matriz transformada.
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Como puedes ver, ya que estamos transformando -- recuerda que
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en la proyección sobre V, la transformación el lineal
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de R4 a R4.
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Si me das un miembro de R4, te daré otro
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miembro de R4 que pertenece a mi subespacio que
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está en la proyección.
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Este será 4x4.
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Puedes verlo aquí.
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Espero que te haya sido útil ver
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resultados tangibles.
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R4 es muy abstracto, así que esto va más allá de nuestro
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ejemplo de programación tridimensional.
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Estamos tratando con un conjunto de datos más abstracto, donde
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nos interesa encontrar una proyección.
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