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Inradius Perimeter and Area

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    我们已经知道三角形ABC的周长为p 内径为r
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    利用p和r我们需要求出ABC的面积
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    我们知道周长就是三角形各边之和
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    或者说是沿着三角形转一圈的长度
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    我们来回顾一下内径是什么
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    我们取这些顶点的角平分线
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    取这些角
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    那是角平分线
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    那也是角平分线
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    这个角与那个角相等
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    这个角与那个角相等
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    这个角也与那个角相等
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    这些角平分线相交的点
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    就是内切圆心
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    它到三边的距离相等
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    这个距离就是内径
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    我来画一下内径
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    当你想知道这个点与这条线的距离时
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    就画一条垂线
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    那么这个长度就是内径
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    这个长度也是内径
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    这个长度还是内径
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    还可以画一个内切圆 它的圆心就在内切圆心上
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    半径为r 画起来就像是这样
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    解题时 我们不一定要把它画出来
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    画出来就像是这样
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    我们叫它内切圆
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    我们来想想怎么求出面积
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    特别是在给定了内径大小的情况下
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    内径其实还挺有意思的 它看起来像是一条高
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    这个就像是这个三角形的高
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    三角形A 我们取内切圆心为I
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    所以说这个r是三角形AIC的高
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    这个r是三角形AIC的高
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    这个我们还没有标上去的r
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    就是三角形AIC的高
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    我们就可以根据r和相应的底边来求出每一个三角形的面积
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    也许当我们把所有三角形的面积相加
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    根据周长和内径 就可以得到一些东西
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    我们来试试看
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    所以整个三角形ABC的面积等于
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    我用颜色标记一下
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    面积等于AIC的面积
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    也就是我涂了紫红色阴影的部分 面积等于AIC的面积
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    加上BIC的面积 就是这个三角形
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    我用另外一个颜色好了 已经用了蓝色
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    那么我用橙色好了
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    加上BIC的面积 就是这部分面积
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    加上BIC的面积之后 还要加上一块面积
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    我用粉色好了
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    加上AIB的面积 这是AIB的面积
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    把这三个三角形的面积相加
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    就得到大三角形的面积了
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    现在我们看AIC的面积 它等于二分之一的底乘以高
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    也就是二分之一乘以底的长度 就是AC 也就是二分之一的AC
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    再乘以这条高
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    也就是r 就是再乘以r
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    这就是AIC的面积
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    BIC的面积是二分之一的底 也就是BC
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    乘以高 也就是r
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    再加上AIB的面积
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    也就是二分之一的底 就是AB边的长度
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    AB乘以高 同样也是r
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    这里我们可以提出二分之一的r
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    就得到二分之一的AC BC与AB之和
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    接下来应该很明白了
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    加上AB 我们用不同的粉色标记
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    现在我们看 AC加BC加AB得到什么呢
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    得到的是三角形的周长 求出所有的边长总和
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    得到的就是周长p 到此为止 问题基本上是解决了
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    三角形ABC的面积等于二分之一的r乘以周长
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    答案看起来很简单吧
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    二分之一乘以内径乘以三角形的周长
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    有时候也写成这样 面积等于r乘以p除以s
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    不好意思 应该是p除以2
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    p除以2的部分
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    也叫半周长 通常用s表示
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    所以有时候面积也等于r乘以s
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    此时s表示半周长 就是周长除以2
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    我比较偏向于这种表达式
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    因为p是周长的首字母 就代表周长
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    这很有用 显然 已知内径和周长的大小
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    你就可以求出三角形的面积
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    或者 有人告诉你三角形的面积以及周长大小
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    你就可以求出内径的大小
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    在这些变量中任取两个就可以得出第三个量
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    举个例子好了 如果有人 假设这里有个三角形
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    是最著名的直角三角形
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    假设长度是3 4 5
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    我们知道这是一个直角三角形
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    这可以用勾股定理来验证
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    如果想要求这个三角形的内径
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    首先面积倒是很好求的
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    我们知道这是一个直角三角形 3的平方加上4的平方等于5的平方
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    所以面积就是3乘以4乘以二分之一
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    3乘以4乘以二分之一等于6
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    周长为3加4 等于7 再加上5 等于12
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    那现在我们知道了面积 写下来
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    面积等于二分之一乘以内径乘以周长
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    也就是12等于二分之一乘以内径乘以周长
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    也就是 噢不好意思 这是6 改一下
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    面积为6 6等于二分之一乘以内径乘以12
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    此时我们看 二分之一乘以12等于6
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    6等于6r 两边同时除以6 得出r等于1
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    接下来画出内径 这倒是很简单的
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    画一些角平分线
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    这个3-4-5型直角三角形的内径为1
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    那么这段距离与这段距离相等 也与这段距离相等
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    都等于1 答案很简单吧
Title:
Inradius Perimeter and Area
Description:

Showing that area is equal to inradius times semiperimeter
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Video Language:
English
Duration:
07:29
amyyan added a translation

Chinese, Simplified subtitles

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