-
Vi blir fortalt at trekant ABC har omkrets p, og radius av innskrevet sirkel er r.
-
Vi trenger å finne arealet av ABC uttrykt ved p og r.
-
Omkretsen av trekanten er de 3 siders lengde lagt sammen.
-
Det er lengden hele veien rundt hele trekanten.
-
Innskrevet sirkelens sentrum er funnet ved
-
å trekke halveringlinje for alle de tre hjørnene i trekanten.
-
Sentrum er det punktet, hvor de krysser hverandre.
-
En halveringlinje her
-
og en halveringlinje her.
-
Den her vinkelen er like stor som denne vinkelen.
-
De her 2 vinklene er også like store.
-
Det samme gjelder for de her 2.
-
Det her er punktet, hvor de 3 vinkelhalveringlinjene skjærer hverandre.
-
Det kalles sentrum i den innskrevne sirkel.
-
Det punktet er nøyaktig samme avstand fra alle tre sider.
-
Avstanden fra midten til den ene siden er radien av den innskrevne sirkel.
-
Det tegner vi her.
-
Når du trenger å finne avstanden mellom sentrum og siden,
-
tegner man en linje vinkelrett fra siden.
-
Dette er radius.
-
Dette er også den radius.
-
og dette er den radius.
-
Vi kan tegne den innskrevne sirkelen her.
-
Det er den innskrevne sirkel, og radius r.
-
I denne oppgaven trenger vi faktisk ikke tegne sirkelen,
-
men vi gjør det likevel.
-
Det er den innskrevne sirkel.
-
Hvordan kan vi finne arealet
-
uttrykt med omkretsen og radius?
-
Radien av den innskrevne sirkel
-
ser ut til å være høyden i denne trekanten.
-
Det er hva vi kaller trekanten A. Vi kaller sentrum av sirkelen av I.
-
Dette er r. R er høyden i trekanten AIC.
-
Denne r'en er høyden i trekanten BIC.
-
Til slutt er denne r'en
-
høyden i trekanten AIB.
-
Vi kan nå finne arealet av hver trekant uttrykt med r og deres grunnlinje.
-
Kanskje kan vi, hvis vi legger alle arealene sammen,
-
uttrykke det totale arealet med omkretsen og radius.
-
La oss prøve det.
-
Arealet av hele trekanten ABC
-
vil være lik
-
arealet av AIC,
-
som vi markerer med lilla,
-
pluss arealet av BIC, som er trekanten her.
-
Det markerer vi med
-
orange farge.
-
BIC er dette området.
-
Til slutt skal vi også legge
-
arealet av den her lyserøde
-
trekanten AIB til.
-
Det er altså summen av arealene av de 3 trekantene,
-
som utgjør arealet av hele den store trekanten.
-
Arealet av AIC er lik en halv ganger grunnlinjen ganger høyden.
-
Grunnlinjen er AC, så vi sier en halv ganger AC ganger høyden.
-
Høyden er her,
-
og den kalte vi for r.
-
AIC er lik en halv ganger AC ganger r.
-
Arealet av BIC er en halv ganger grunnlinjen, som er BC,
-
ganger høyden, som er r.
-
Til slutt har vi AIB, som er lik en halv ganger grunnlinjen,
-
som er AB,
-
ganger høyden, som igjen er r.
-
Vi kan gjerne en halv r i alle leddene.
-
Vi får altså en halv r ganger AC pluss BC pluss AB.
-
Kanskje kan man allerede nå se, hvor vi havner.
-
AB er det lyserøde området her.
-
Hva er AC pluss BC pluss AB?
-
Det er lik med omkretsen p. Omkretsen p er jo summen av sidene.
-
Det ser ut som, at vi er ferdige.
-
Arealet av vår trekant ABC er lik en halv ganger r ganger omkretsen.
-
Det er et fint resultat.
-
En halv ganger radien til den innskrevne sirkel ganger omkretsen av trekanten.
-
Det kan også skrives som r ganger p over 2.
-
Over 2 er det samme som gange en halv.
-
Omkretsen dividert med 2
-
kalles noen ganger halve omkretsen og betegnes med s.
-
Det gjør imidlertid ikke så veldig ofte.
-
Dette betyr at du også kan skrive at arealet er lik r ganger s.
-
Den første måten er imidlertid den mest vanlige.
-
p er omkretsen.
-
Nå kan vi regne ut arealet av en trekant,
-
hvis vi får radius i den innskrevne sirkelen og omkretsen.
-
Vi kan også finne radius i den innskrevne sirkelen,
-
hvis vi vet omkretsen og arealet av trekanten.
-
Hvis vi kjenner to av de tingene vi kan alltid finne den tredje.
-
Vi kan ta et eksempel.
-
Den her rettvinklede trekanten er den mest vanlige.
-
Sidene er 3, 4 og 5 lange.
-
Det er en rettvinklet trekant.
-
Det kan vi bekrefte ved hjelp av Pythagoras' læresetning.
-
Hva er radien av den innskrevne sirkel?
-
Vi kan raskt beregne arealet av trekanten.
-
3 i en annen pluss 4 i annen er lik 5 i annen.
-
Arealet er altså 3 ganger 4 ganger en halv.
-
Det er lik 6.
-
Omkretsen er 3 pluss 4 pluss 5. og det er 12.
-
Nå vet vi areal og omkrets.
-
Arealet er lik en halv ganger radiusen ganger omkretsen.
-
6 er altså lik en halv ganger radiusen ganger omkretsen.
-
Arealet er 6 og omkretsen 12.
-
6 er lik en halv ganger radius ganger 12.
-
En halv ganger 12 er 6.
-
Nå kan vi dele begge sider med 6. Så er r lik 1.
-
Nå kan vi tegne radius.
-
La oss tegne de 3 vinkelhalveringlinjene.
-
Denne 3-4-5 trekanten har en radius i den innskrevne sirkel på 1.
-
De her 3 lengdene er like.
-
De er alle lik 1.
