< Return to Video

Inradius Perimeter and Area

  • 0:00 - 0:07
    Vi blir fortalt at trekant ABC har omkrets p, og radius av innskrevet sirkel er r.
  • 0:07 - 0:12
    Vi trenger å finne arealet av ABC uttrykt ved p og r.
  • 0:12 - 0:15
    Omkretsen av trekanten er de 3 siders lengde lagt sammen.
  • 0:15 - 0:18
    Det er lengden hele veien rundt hele trekanten.
  • 0:18 - 0:21
    Innskrevet sirkelens sentrum er funnet ved
  • 0:21 - 0:27
    å trekke halveringlinje for alle de tre hjørnene i trekanten.
  • 0:27 - 0:29
    Sentrum er det punktet, hvor de krysser hverandre.
  • 0:29 - 0:31
    En halveringlinje her
  • 0:31 - 0:33
    og en halveringlinje her.
  • 0:33 - 0:36
    Den her vinkelen er like stor som denne vinkelen.
  • 0:36 - 0:39
    De her 2 vinklene er også like store.
  • 0:39 - 0:42
    Det samme gjelder for de her 2.
  • 0:42 - 0:47
    Det her er punktet, hvor de 3 vinkelhalveringlinjene skjærer hverandre.
  • 0:47 - 0:50
    Det kalles sentrum i den innskrevne sirkel.
  • 0:50 - 0:53
    Det punktet er nøyaktig samme avstand fra alle tre sider.
  • 0:53 - 0:57
    Avstanden fra midten til den ene siden er radien av den innskrevne sirkel.
  • 0:57 - 0:59
    Det tegner vi her.
  • 1:00 - 1:01
    Når du trenger å finne avstanden mellom sentrum og siden,
  • 1:01 - 1:03
    tegner man en linje vinkelrett fra siden.
  • 1:03 - 1:05
    Dette er radius.
  • 1:05 - 1:08
    Dette er også den radius.
  • 1:09 - 1:12
    og dette er den radius.
  • 1:12 - 1:17
    Vi kan tegne den innskrevne sirkelen her.
  • 1:17 - 1:21
    Det er den innskrevne sirkel, og radius r.
  • 1:21 - 1:23
    I denne oppgaven trenger vi faktisk ikke tegne sirkelen,
  • 1:23 - 1:25
    men vi gjør det likevel.
  • 1:26 - 1:28
    Det er den innskrevne sirkel.
  • 1:28 - 1:30
    Hvordan kan vi finne arealet
  • 1:31 - 1:33
    uttrykt med omkretsen og radius?
  • 1:33 - 1:36
    Radien av den innskrevne sirkel
  • 1:37 - 1:39
    ser ut til å være høyden i denne trekanten.
  • 1:39 - 1:45
    Det er hva vi kaller trekanten A. Vi kaller sentrum av sirkelen av I.
  • 1:45 - 1:49
    Dette er r. R er høyden i trekanten AIC.
  • 1:50 - 1:53
    Denne r'en er høyden i trekanten BIC.
  • 1:53 - 1:55
    Til slutt er denne r'en
  • 1:55 - 1:59
    høyden i trekanten AIB.
  • 1:59 - 2:05
    Vi kan nå finne arealet av hver trekant uttrykt med r og deres grunnlinje.
  • 2:05 - 2:08
    Kanskje kan vi, hvis vi legger alle arealene sammen,
  • 2:08 - 2:11
    uttrykke det totale arealet med omkretsen og radius.
  • 2:11 - 2:13
    La oss prøve det.
  • 2:13 - 2:19
    Arealet av hele trekanten ABC
  • 2:19 - 2:20
    vil være lik
  • 2:20 - 2:24
    arealet av AIC,
  • 2:24 - 2:33
    som vi markerer med lilla,
  • 2:33 - 2:39
    pluss arealet av BIC, som er trekanten her.
  • 2:39 - 2:42
    Det markerer vi med
  • 2:42 - 2:45
    orange farge.
  • 2:45 - 2:52
    BIC er dette området.
  • 2:52 - 2:57
    Til slutt skal vi også legge
  • 2:58 - 3:03
    arealet av den her lyserøde
  • 3:03 - 3:12
    trekanten AIB til.
  • 3:12 - 3:13
    Det er altså summen av arealene av de 3 trekantene,
  • 3:13 - 3:16
    som utgjør arealet av hele den store trekanten.
  • 3:16 - 3:22
    Arealet av AIC er lik en halv ganger grunnlinjen ganger høyden.
  • 3:22 - 3:27
    Grunnlinjen er AC, så vi sier en halv ganger AC ganger høyden.
  • 3:28 - 3:30
    Høyden er her,
  • 3:30 - 3:33
    og den kalte vi for r.
  • 3:33 - 3:34
    AIC er lik en halv ganger AC ganger r.
  • 3:35 - 3:43
    Arealet av BIC er en halv ganger grunnlinjen, som er BC,
  • 3:43 - 3:46
    ganger høyden, som er r.
  • 3:46 - 3:50
    Til slutt har vi AIB, som er lik en halv ganger grunnlinjen,
  • 3:50 - 3:54
    som er AB,
  • 3:55 - 4:00
    ganger høyden, som igjen er r.
  • 4:00 - 4:04
    Vi kan gjerne en halv r i alle leddene.
  • 4:04 - 4:16
    Vi får altså en halv r ganger AC pluss BC pluss AB.
  • 4:16 - 4:18
    Kanskje kan man allerede nå se, hvor vi havner.
  • 4:18 - 4:25
    AB er det lyserøde området her.
  • 4:25 - 4:33
    Hva er AC pluss BC pluss AB?
  • 4:33 - 4:39
    Det er lik med omkretsen p. Omkretsen p er jo summen av sidene.
  • 4:39 - 4:42
    Det ser ut som, at vi er ferdige.
  • 4:42 - 4:54
    Arealet av vår trekant ABC er lik en halv ganger r ganger omkretsen.
  • 4:54 - 4:55
    Det er et fint resultat.
  • 4:55 - 5:00
    En halv ganger radien til den innskrevne sirkel ganger omkretsen av trekanten.
  • 5:00 - 5:05
    Det kan også skrives som r ganger p over 2.
  • 5:05 - 5:08
    Over 2 er det samme som gange en halv.
  • 5:08 - 5:10
    Omkretsen dividert med 2
  • 5:10 - 5:19
    kalles noen ganger halve omkretsen og betegnes med s.
  • 5:19 - 5:23
    Det gjør imidlertid ikke så veldig ofte.
  • 5:23 - 5:27
    Dette betyr at du også kan skrive at arealet er lik r ganger s.
  • 5:27 - 5:29
    Den første måten er imidlertid den mest vanlige.
  • 5:29 - 5:31
    p er omkretsen.
  • 5:31 - 5:35
    Nå kan vi regne ut arealet av en trekant,
  • 5:35 - 5:37
    hvis vi får radius i den innskrevne sirkelen og omkretsen.
  • 5:37 - 5:40
    Vi kan også finne radius i den innskrevne sirkelen,
  • 5:40 - 5:41
    hvis vi vet omkretsen og arealet av trekanten.
  • 5:41 - 5:44
    Hvis vi kjenner to av de tingene vi kan alltid finne den tredje.
  • 5:44 - 5:48
    Vi kan ta et eksempel.
  • 5:48 - 5:51
    Den her rettvinklede trekanten er den mest vanlige.
  • 5:51 - 5:55
    Sidene er 3, 4 og 5 lange.
  • 5:56 - 5:57
    Det er en rettvinklet trekant.
  • 5:57 - 5:59
    Det kan vi bekrefte ved hjelp av Pythagoras' læresetning.
  • 5:59 - 6:03
    Hva er radien av den innskrevne sirkel?
  • 6:04 - 6:06
    Vi kan raskt beregne arealet av trekanten.
  • 6:06 - 6:10
    3 i en annen pluss 4 i annen er lik 5 i annen.
  • 6:10 - 6:16
    Arealet er altså 3 ganger 4 ganger en halv.
  • 6:17 - 6:19
    Det er lik 6.
  • 6:19 - 6:27
    Omkretsen er 3 pluss 4 pluss 5. og det er 12.
  • 6:27 - 6:32
    Nå vet vi areal og omkrets.
  • 6:32 - 6:37
    Arealet er lik en halv ganger radiusen ganger omkretsen.
  • 6:38 - 6:45
    6 er altså lik en halv ganger radiusen ganger omkretsen.
  • 6:45 - 6:48
    Arealet er 6 og omkretsen 12.
  • 6:48 - 6:55
    6 er lik en halv ganger radius ganger 12.
  • 6:55 - 6:58
    En halv ganger 12 er 6.
  • 6:58 - 7:04
    Nå kan vi dele begge sider med 6. Så er r lik 1.
  • 7:04 - 7:08
    Nå kan vi tegne radius.
  • 7:08 - 7:14
    La oss tegne de 3 vinkelhalveringlinjene.
  • 7:14 - 7:18
    Denne 3-4-5 trekanten har en radius i den innskrevne sirkel på 1.
  • 7:18 - 7:21
    De her 3 lengdene er like.
  • 7:21 - 7:27
    De er alle lik 1.
Title:
Inradius Perimeter and Area
Description:

Showing that area is equal to inradius times semiperimeter

more » « less
Video Language:
English
Duration:
07:29

Norwegian Bokmal subtitles

Revisions