-
Vi får at vide, at trekant ABC har omkredsen p, og radius i den indskrevne cirkel er r.
-
Vi skal finde arealet af ABC udtrykt med p og r.
-
Omkredsen af trekanten er de 3 siders længde lagt sammen.
-
Det er længden hele vejen rundt om trekanten.
-
Den indskrevne cirkels centrum findes ved
-
at tegne vinkelhalveringslinjerne til alle 3 vinkelspidser i trekanten.
-
Centrum er det punkt, hvor de krydser hinanden.
-
En halveringslinje her
-
og en halveringslinje her.
-
Den her vinkel er lige så stor som den her vinkel.
-
De her 2 vinkler er også lige store.
-
Det samme gælder for de her 2.
-
Det her er punktet, hvor de 3 vinkelhalveringslinje skærer hinanden.
-
Det kaldes centrum i den indskrevne cirkel.
-
Dét punkt er præcis lige langt væk fra alle 3 sider.
-
Afstanden fra centrum til en side er radius i den indskrevne cirkel.
-
Den tegner vi her.
-
Når man skal finde afstanden mellem centrum og siden,
-
tegner man en vinkelret linje fra siden.
-
Det her er radius.
-
Det her er også radius,
-
og det her er radius.
-
Vi kan tegne den indskrevne cirkel her.
-
Det er den indskrevne cirkel, og radius er r.
-
I den her opgave behøver vi faktisk ikke at tegne cirklen,
-
men vi gør det alligevel.
-
Det er den indskrevne cirkel.
-
Hvordan kan vi finde arealet
-
udtrykt med omkredsen og radius?
-
Radius i den indskrevne cirkel
-
ser ud til at være højden i den her trekant.
-
Den kalder vi for trekant A. Vi kalder centrum i cirklen for I.
-
Det her er r. r er højden i trekant AIC.
-
Det her r er højden i trekant BIC.
-
Til sidst er det her r
-
højden i trekant AIB.
-
Vi kan nu finde arealet af hver trekant udtrykt med r og deres grundlinje.
-
Måske kan vi, hvis vi lægger alle arealerne sammen,
-
udtrykke det samlede areal med omkredsen og radius.
-
Lad os prøve det.
-
Arealet af hele trekant ABC
-
vil være lig med
-
arealet af AIC,
-
som vi markerer med lilla,
-
plus arealet af BIC, som er den her trekant.
-
Den markerer vi med
-
orange farve.
-
BIC er det her område.
-
Til sidst skal vi også lægge
-
arealet af den her lyserøde
-
trekant AIB til.
-
Det er altså summen af arealerne af de 3 trekanter,
-
der udgør arealet af hele den store trekant.
-
Arealet af AIC er lig med en halv gange grundlinje gange højde.
-
Grundlinjen er AC, så vi siger en halv gange AC gange højden.
-
Højden er den her,
-
og den kaldte vi for r.
-
AIC er lig med en halv gange AC gange r.
-
Arealet af BIC er en halv gange grundlinjen, som er BC,
-
gange højden, som er r.
-
Til sidst har vi AIB, som er lig med en halv gange grundlinjen,
-
der er AB,
-
gange højden, som igen er r.
-
Vi kan fjerne en halv r i alle leddene.
-
Vi får altså en halv r gange AC plus BC plus AB.
-
Måske kan man allerede nu se, hvor vi havner.
-
AB er det lyserøde område her.
-
Hvad er AC plus BC plus AB?
-
Det er lig med omkredsen p. Omkredsen p er jo summen af siderne.
-
Det ser ud til, at vi er færdige.
-
Arealet af vores trekant ABC er lig med en halv gange r gange omkredsen.
-
Det er et nydeligt resultat.
-
En halv gange radius i den indskrevne cirkel gange omkredsen af trekanten.
-
Det kan også skrives som r gange p over 2.
-
Over 2 er det samme som gange en halv.
-
Omkredsen divideret med 2
-
kaldes nogle gange semiomkredsen og betegnes med s.
-
Det gør man dog ikke særligt ofte.
-
Det betyder, at man også kan skrive, at arealet er lig med r gange s.
-
Den første måde er dog den mest almindelige.
-
p er omkredsen.
-
Nu kan vi udregne arealet af en trekant,
-
hvis vi får radius i den indskrevne cirkel og omkredsen.
-
Vi kan også finde radius i den indskrevne cirkel,
-
hvis vi kender omkredsen og arealet af trekanten.
-
Hvis vi kender 2 af tingene, kan vi altid finde den tredje.
-
Vi kan tage et eksempel.
-
Den her retvinklede trekant er den mest almindelige.
-
Siderne er 3, 4 og 5 lange.
-
Det er en retvinklet trekant.
-
Det kan vi bekræfte ved hjælp af Pythagoras' læresætning.
-
Hvad er radius i den indskrevne cirkel?
-
Vi kan hurtigt udregne trekantens areal.
-
3 i anden plus 4 i anden er lig med 5 i anden.
-
Arealet er altså 3 gange 4 gange en halv.
-
Det er lig med 6.
-
Omkredsen er 3 plus 4 plus 5, og det er 12.
-
Nu kender vi arealet og omkredsen.
-
Arealet er lig med en halv gange radius gange omkreds.
-
6 er altså lig med en halv gange radius gange omkredsen.
-
Arealet er 6 og omkredsen 12.
-
6 er lig med en halv gange radius gange 12.
-
En halv gange 12 er 6.
-
Nu kan vi dividere begge sider med 6. Så er r lig med 1.
-
Nu kan vi tegne radius.
-
Lad os tegne de 3 vinkelhalveringslinjer.
-
Den her 3-4-5-trekant har en radius i den indskrevne cirkel på 1.
-
De her 3 længder er ens.
-
De er alle sammen lig med 1.
