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分部积分法求解定积分

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    在这个视频中，我们要
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    尝试计算定积分从 0
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    到 π，x 乘以 cos(x) dx
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    像往常一样，暂停视频
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    试一试自己是否能计算
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    刚看到这道题时
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    你很难直接看出
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    它的反导数，然后
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    代入 π 处求值
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    再减去 0 处的值，所以我们可能需要
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    使用稍微复杂一点的技巧
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    通常，如果你看到这里是两个函数乘起来
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    而其中一个函数
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    的反导数很容易
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    不会变复杂，比如 cos(x)
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    而另一个函数，比如 x
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    求导之后会变简单
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    这道题中它变成 1
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    如果这样就说明，我们应该用
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    分部积分法
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    我们来回顾一下分部积分法
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    分部积分法，我在这里写
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    如果有积分，我写成不定积分
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    但不定积分在
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    π 和 0 处求值
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    如果我有 f(x)
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    乘以 g'(x) dx
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    它等于，其他视频中
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    我们证明过，它实际上直接来自
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    乘法法则，你在微积分中学过
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    它就等于
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    f(x) 乘以 g(x) 减去，然后交换
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    减去 f'(x)，g(x) dx
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    并且我之前提到
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    你要找一个 f(x) 求导之后
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    会变简单，会简化
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    你要找一个 g'(x)
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    求它的反导数时
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    它不会变得更复杂
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    不会更复杂
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    因为如果 f(x) 求导之后
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    会变简单，而 g'(x) 求反导数
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    并没有变复杂
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    那么这个表达式求反导数
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    总体来说就更容易了
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    我们在这里做
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    在 x 和 cos(x) 之间，哪一个
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    求导会变简单？
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    x 的导数是 1，所以它就是
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    我的 f(x)，我可以写在这里
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    所以我的 f(x) 就是 x，在这种情况下
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    f'(x) 就是 1
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    那么我的 g'(x) 是什么？
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    我的 g'(x)，cos(x)
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    求它的反导数，它也没有增加复杂度
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    cos(x) 的反导数是 sin(x)
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    所以它就是我的 g'(x)
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    g'(x) 等于 cos(x)
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    那么 g(x)，cos(x) 的反导数
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    就是 sin(x)，或者这么想
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    sin(x) 的导数是 cos(x)
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    然后可以考虑加上常数 C 什么的
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    但请记住，这是定积分
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    所有的任意常数都会被
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    抵消掉
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    那现在我们来思考一下
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    这里使用分部积分法
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    在这道题中，所有这些
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    就等于，我们说就等于这个
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    我写在这里，它会等于
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    f(x) 乘以 g(x)
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    也就是 f(x) 是 x ，g(x) 是 sin(x)
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    f(x) 乘以 g(x) ，减去积分
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    f'(x) ，f'(x) 就是 1
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    我们可以这样写，1 乘以 g(x)
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    g(x) 是 sin(x)，我这么写
  • 3:58 - 4:01
    但是 1 乘以 sin(x)，可以写为
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    sin(x)，这样简单些
  • 4:03 - 4:10
    sin(x) dx ，然后记住，这是一个定积分
  • 4:10 - 4:14
    所以我们要把 π 和 0 代入
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    这整个东西，然后计算
  • 4:16 - 4:18
    两者之间的差
  • 4:18 - 4:22
    但 sin(x) dx 的不定积分等于什么？
  • 4:22 - 4:25
    嗯，或者说它的反导数
  • 4:25 - 4:29
    我们知道余弦的导数是负的 sin(x)
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    所以实际上，我们可以把
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    这个负的正弦带入积分，我们可以说
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    加上负的 sin(x) 的积分
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    很明显，反导数
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    是 cos(x)，所以这是
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    cos(x)，现在我们只需要
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    代入这两个点求值
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    我们先在 π 处求值这整个式子
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    它等于 π 乘以 sin(π)
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    π 乘以 sin(π)，加上 cos(π)
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    然后再减去整个式子
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    在 0 处的值，我换种颜色来算 0
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    代入 0，就等于 0 乘以 sin(0)
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    加上 cos(0)，我们来看
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    sin(π) 就是 0 ，所以这就
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    没有了
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    cos(π)，等于 -1
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    然后这是 0 ，cos(0)
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    等于 1 ，所以有负一减一
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    所有东西就等于 -2
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    我们完成了
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    使用部分积分法，我们计算了
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    这个定积分
Title:
分部积分法求解定积分
Description:

用分部积分法求解定积分，首先要计算反函数（与解不定积分一样），但是在此之后，我们要把积分上下界代入计算，并相减。

马上在 KhanAcademy.org 网站上练习本课内容：
https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-antiderivatives-ftc/bc-integration-by-parts/e/integration-by-parts?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

在这里观看下一课：https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-antiderivatives-ftc/bc-partial-fractions/v/partial-fraction-expansion-to-integrate?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

错过了上一课吗？
https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-antiderivatives-ftc/bc-integration-by-parts/v/integration-by-parts-of-e-x-cos-x-1?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
05:43

Chinese, Simplified subtitles

Incomplete

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