Derivace logaritmů o různých základech

Z předešlého videa víme,

že derivace podle 'x' z přirozeného
logaritmu x je rovna 1 děleno x.

To, co zde chci dělat,
je použít znalosti,

které jsme získali dříve, k
tomu, abychom zjistili,

čemu je rovna derivace podle 'x'
z logaritmu o libovolném základu.

Takže tento logaritmus nazvu
logaritmus čísla 'x' o základu 'a'.

Takže jak toto vyřešíme?

Klíčová věc je to,

co už můžete znát z algebry nebo
úvodu do diferenciálního počtu.

A to je změna základu logaritmu.

Takže pokud mám nějaký…

Udělám to tady.

...logaritmus čísla 'b' o základu 'a'
a chtěl bych to změnit na jiný základ,

řekněme na základ 'c',

tak je to stejné jako:

logaritmus čísla 'b' o základu 'c' lomeno
logaritmus čísla 'a' o základu 'c'.

Logaritmus 'b' o základu 'c' lomeno
logaritmus 'a' o základu 'c'.

Toto je opravdu užitečná věc,

a pokud jste ji nikdy předtím neviděli,
tak jsem vám ji právě ukázal.

A dokázali jsme ji v ostatních
videích na Khanově akademii.

A je skutečně užitečná, protože například
vaše kalkulačka má tlačítko logaritmu.

Logaritmus na vaší kalkulačce je
logaritmus o základu 10.

Takže pokud stisknete na kalkulačce 100
a stisknete logaritmus, vyjde vám číslo 2.

Takže kdykoliv uvidíte
logaritmus ze 100,

je to implicitně o základu 10.

Máte tlačítko pro přirozený logaritmus,
což je logaritmus o základu 'e'.

Přirozený logaritmus x je roven
logaritmu 'x' o základu 'e'.

Ale někdy chcete najít všechny
druhy logaritmů o různých základech

a tohle je způsob, jak to udělat.

Takže pokud používáte svou
kalkulačku a chcete najít,

čemu se rovná logaritmus
čísla 8 o základu 3,

napsali byste do kalkulačky
log 8 a log 3.

Napíšu to takto…

Přičemž oba z nich mají
implicitně základ 10

a dostali byste
stejnou hodnotu,

kdybyste vydělili přirozený logaritmus
z 8 přirozeným logaritmem ze 3.

Což možná také
máte na své kalkulačce.

A my v tomto videu budeme
využívat přirozeného logaritmu,

protože víme, čemu je rovna
derivace přirozeného logaritmu.

Takže tato derivace je to
samé jako derivace podle 'x'…

Logaritmus čísla 'x' o základu 'a'
může být přepsán takto:

přirozený logaritmus 'x' lomeno
přirozený logaritmus 'a'.

Přirozený logaritmus 'a'
je jen číslo, můžu ho přepsat jako…

Napíšu to takto:

1 děleno přirozený logaritmus 'a'
krát přirozený logaritmus 'x'.

Čemu je rovna
derivace tohoto?

Můžeme si dát
dopředu konstantu.

1 děleno přirozený logaritmus 'a'
je jen číslo.

Takže dostaneme 1 děleno
přirozený logaritmus 'a',

a to vynásobíme derivací podle 'x'
z přirozeného logaritmu 'x'.

Což už víme,
že je 1 děleno x.

Takže tento výraz
je 1 děleno x.

Takže nám vyjde 1 děleno přirozený
logaritmus 'a' krát 1 děleno x,

což můžeme zapsat jako 1
děleno (přirozený logaritmus 'a' krát x).

Což je velice
užitečné vědět.

Takže teď umíme počítat
všechny druhy derivací logaritmů.

Takže kdybych vám řekl, že f(x) je
rovno logaritmu čísla 'x' o základu 7,

tak teď můžeme říct,

že f'(x) bude 1 lomeno
(přirozený logaritmus 7 krát x).

Kdybychom měli konstantu,
například g(x)…

g(x) je rovno −3 krát logaritmus
o základu, řekněme o základu π.

π je číslo.

Logaritmus čísla 'x' o základu π.

g'(x) by bylo rovno 1 lomeno…

Musím být opatrný,
mám tady tuto konstantu.

Takže by to bylo −3 lomeno…

Je to tato −3.

…lomeno přirozený logaritmus π.

Toto je přirozený logaritmus
tohoto čísla.

…krát x.

Doufám, že vám to nějak pomohlo.