Sequenze e Serie (parte 2)

Calcolo della sommatoria di una serie geometrica infinita.

Bentornato.

Quindi dove ci siamo fermati nell'ultimo video ti ho mostrato

questa cosa chiamata serie geometrica.

E, sai, potremmo avere una qualche base a.

Potrebbe essere un qualsiasi numero.

Potrebbe essere 1/2, potrebbe essere 10.

Ma e' semplicemente --- un qualche numero.

E continuiamo ad elevarlo a potenze crescenti e

lo sommiamo e questa cosa si chiama serie geometrica.

E percio' voglio calcolare la sommatoria di una serie geometrica di,

sai, quando ho una qualche base a e arrivo ad un qualche

numero a alla n.

Quanto --- questo e' a alla --- perche' ho scritto

a alla n meno 2 la'?

Dovrebbe essere a alla N maiuscola.

Il cervello deve avermi funzionato male nel

video precedente.

Mi succede sempre quando comincio a finire il tempo.

Ma comunque.

Torniamo a questo.

Percio' ho definito S come questa sommatoria geometrica.

Ora definisco un'altra somma.

E questa somma la definisco come a * S.

E questa e' uguale --- beh, sara' semplicemente uguale ad a per

questa somma esatta, giusto?

E questa a e' la stessa di questa a, giusto?

Questa a e' la stessa di questa a.

Quindi quanto fa a per tutta questa cosa?

Beh, e' a per a^0 --- fammetelo

scrivere.

Quindi questo sara' a perche' ho semplicemente distribuito la a, giusto?

a * a^0 + (a * a^1) + (a * a^2)

piu' tutta la strada fino ad arrivare ad a * a^(N-1)

piu' a * a^N.

Ho semplicemente preso una a e l'ho distribuita lungo

tutta questa sommatoria.

Ma a quanto e' uguale?

Beh, questo e' uguale ad a * a^0.

Questo e' un 1 --- a alla prima potenza --- piu' a^2 piu'

a al cubo, piu' a^N, giusto?

Perche' sommi semplcemente gli esponenti, a^N.

Piu' a^(N + 1).

Percio' questo e' aS.

E come abbiamo visto prima la S e' semplicemente la nostra somma originale.

E' semplicemente a^0 + a^1 +

a^2 + su, su, su, su.

Fino ad arrivare ad a^N, giusto?

Fammiti porre una domanda.

Che succede se sottraggo questo da quello?

Che succede?

Se dico aS - S.

Beh, ho sottratto questo da qui, sul lato sinistro.

Che succede sul lato sinistro?

Beh, tutti questi diventano negativi, giusto?

Fammelo fare in grassetto.

Questo diventa --- visto che sto sottraendo --- negativo,

negativo, questi sono tutti negativi.

Negativo.

Negativo.

Beh, a^1 - a^1.

Questo si annulla. a^2 - a^2 si annulla.

a^3 - a^3, si annulla tutto.

Tutto fino ad arrivare ad a^N, giusto?

Quindi che ci rimane?

Ci rimane -a^0, giusto?

Ci rimane quel termine.

E ci resta quel termine.

Piu' a^(N + 1).

E ovviamente quanto fa a^0?

Fa 1.

Quindi abbiamo a * S - S =

a^(N + 1) - 1.

E adesso distribuiamo la S.

Quindi otteniamo S * (a - 1) = a^(N + 1)

meno 1, giusto?

E poi cosa otteniamo?

Beh, possiamo dividere entrambi i lati per a - 1.

Fammi cancellare un po' di questa roba qui sopra.

Penso proprio di poter cancellare tutta questa cosa senza pericolo.

Beh, non voglio cancellare cosi' tanto.

Voglio cancellare questa roba.

A posto cosi'.

Ok.

Percio' ho solo --- dividendo entrambi i lati di questa equazione per

a - 1, ottengo S = a(N + 1) - 1

fratto a - 1.

Allora, questo dove ci porta?

Abbiami definito la serie geometrica come uguale alla sommatoria.

Per k che va da 0 a n di a^k.

E ora abbiamo derivato una formula per come diventa

questa sommatoria.

Uguale ad (a(N + 1) - 1) / (a - 1).

E perche' e' utile?

Adesso sappiamo, se dicessi: beh, quanto fa --- fammi pulire

anche tutto questo.

Fammi pulire tutto questo e possiamo --- Ok.

Quindi ho detto: calcola la sommatoria di, non lo so,

le potenze di 3 fino a 3 alla, non lo so, 3 alla

decima potenza.

Quindi sai, 3.

Allora, 3^0 + 3^1 + 3^2

piu' tutti i valori fino a 3^10.

Percio' questo e' come la sommatoria per k che va da 0

a 10 di 3^k.

Giusto?

Percio' questa formula che abbiamo appena calcolato, a e' 3 e N e' 10.

Quindi questa sommatoria sara' uguale a 3^11

meno 1 fratto 3 - 1.

Che e' uguale --- beh, non lo so quanto fa

3 alla undicesima potenza.

Meno 1 fratto 2.

Percio' e' piuttosto utile.

E' un numero.

Sebbene dovresti sapere a memoria le tabelline degli esponenti fino

all'undicesima potenza per poterlo fare.

Ma penso tu abbia capito.

E' specialmente utile quando hai a che fare con --- beh, se

la base fosse una potenza di 10 sarebbe molto molto facile.

Ma in realta' quello che voglio fare adesso e' che voglio prendere questo e

dire: beh, che succede quando n arriva a infinito?

Ti faccio vedere.

Allora, che succede?

Allora ci sono due tipi di serie di cui possiamo --- non

era questo che volevo fare.

Ci sono due tipi di serie che possiamo prendere di cui

possiamo trovare la sommatoria.

Ci sono serie finite e serie infinite.

E affinche' una serie infinita esca fuori con una sommatoria

che non e' infinita, deve --- si dice cosi' ---

deve essere convergente.

E se pensi a cosa deve succedere affinche' converga,

ogni numero successivo deve essenzialmente essere

sempre piu' piccolo man mano che andiamo verso infinito.

Diciamo che a e' una frazione.

a = 1/2.

Quindi com'e' fatta la serie geometrica se qui abbiamo 1/2?

Quindi diciamo che stiamo prendendo la serie geometrica per k

che va da 0 a infinito.

Quindi questo e' fico.

Stiamo per prendere una somma infinita, un numero infinito di

termini e vediamo che possiamo ottenere un vero e proprio numero.

Sai, prendiamo una cosa infinita, la sommiamo e

la somma fa una cosa finita.

Questo mi ha sempre affascinato.

E la base ora sara; 1/2.

E 1/2 sara' 1/2 alla potenza di k.

Quindi sara' quanto?

(1/2)^0 + 1/2 + --- quant'e' (1/2)^2 ?

+ 1/2 + 1/8 + 1/16.

Quindi come vedi ogni termine diventa molto molto piu' piccolo.

Diventa la meta' del termine precedente.

Beh, diciamo, che sarebbe successo se questo non fosse stato infinito?

Che sarebbe successo se fosse stato n?

Beh, avremmo ottenuto + (1/2)^N, giusto?

(1/2)^N e' uguale a 1/(2^N).

E guardando la formula che abbiamo calcolato diremmo:

beh, e' semplicemente uguale a 1/2^(N + 1) - 1

fratto 1/2 - 1.

E questa sarebbe la nostra risposta.

Dovremmo sapere quant'e' N.

Ma ora vogliamo capire che succede se andiamo a infinito.

Quindi essenzialmente e' un problema sui limiti.

Che succede --- qual e' il limite per n che tende a infinito,

di 1/2^(N - 1) / (1/2 - 1)?

Beh, tutti questi sono termini costanti, quindi non succede niente.

Quindi che succede quando questo termine qui va a infinito?

Quant'e' 1/2 alla potenza di infinito?

Beh, e' 0.

E' un numero incredibilmente piccolo.

Eleva 1/2 ad esponenti arbitrariamente grandi, va semplicemente a 0.

E quindi che cosa ci resta?

Ci serta con questo uguale -1 / (1/2 - 1),

o potremmo moltiplicare sopra e sotto per -1.

E otteniamo 1 / (1 - 1/2).

Che e' uguale a 1 fratto 1/2, che e' uguale a 2.

Lo trovo affascinante.

Se sommo 0 + 1/2 + 14/ + 1/6 e non mi fermo mai ---

arrivo a infinito --- e non infinito, ma vado a 1

fratto essenzialmente 2 alla infinito --- finisco con

questo numero pulito e carino.

2.

E potrebbe essere un progettino per te, quello di

disegnarlo tipo in una torta e vedere che succede quando

continui a sommare pezzi sempre piu' piccoli della torta.

Ma non cessa mai di stupirmi, che gli sommo un numero

infinito di termini, giusto?

Questo era infinito.

E ho ottenuto un numero finito.

Ho ottenuto un numero finito.

Ad ogni modo, mi e' finito il tempo.

Ci vediamo presto.