Midpoint and distance on complex plane

Chúng ta có hai số phức ở đây.

Số phức z bằng 2 cộng 3i

và số phức w bằng âm 5 trừ i.

Trong video này, tôi muốn

biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức,

và rồi tìm khoảng cách giữa hai điểm

trên mặt phẳng tọa độ, và tìm

trung điểm biểu diễn số phức
của đoạn thẳng tạo bởi hai đầu mút

là điểm z và w, nói cách khác,
điểm biểu diễn số phức

nào nằm giữa hai điểm này.

Vì vậy, tôi khuyến khích bạn
tạm dừng video này và tự suy nghĩ

về nó trước khi tôi hướng dẫn
bạn cách giải.

Đầu tiên, chúng ta sẽ biểu diễn
những số phức này trên một hệ tọa độ.

Trục này sẽ là,

tôi sẽ vẽ trục Oy để biểu diễn phần ảo.

Trục tung sẽ ở đây, và tôi sẽ vẽ

trục Ox ở đây để biểu diễn phần thực.

Trục Ox sẽ ở đây, và, xem nào,

giá trị lớn nhất của phần thực là 2

và giá trị nhỏ nhất là âm 5.

Xem nào, tôi sẽ đánh dấu như thế này.

Một, hai, ba, bốn, năm.

Dọc theo trục Oy, chúng ta
có giá trị lớn nhất là 3

và giá trị nhỏ nhất là âm 1.

Vậy chúng ta có thể vẽ như thế này,
một, hai, ba,

và dưới này cũng một, hai, ba.
Đương nhiên, tôi có thể

tiếp tục vẽ các mốc ở trên này cho đẹp,
nhưng chúng ta

sẽ không sử dụng đến chúng đâu.

Bây giờ chúng ta sẽ vẽ
hai điểm trên hệ tọa độ.

Phần thực của z là 2 và

phần ảo của z là 3i, vậy

điểm biểu diễn số phức
sẽ nằm ở đây.

Vậy hoành độ sẽ có giá trị là 2
và tung độ sẽ có giá trị là 3.

2 cộng 3i, vậy điểm này
đại diện cho số phức z.

Còn điểm w, w là âm 5.

Một, hai, ba, bốn, năm, âm 5

trừ i, vậy tung độ của điểm w
sẽ là âm 1.

Đấy sẽ là điểm w.

Đầu tiên, chúng ta có thể suy nghĩ
về khoảng cách giữa hai điểm

biểu diễn số phức này, khoảng cách của
chúng trên mặt phẳng tọa độ.

Một cách để nghĩ về nó

chính là độ dài của đoạn
thẳng này, ngay đây.

Và để tìm được độ dài ấy thì
chúng ta chỉ cần

sử dụng công thức Py-ta-go.

Nếu bạn đã biết về công thức tính độ dài
đoạn thẳng trong không gian Oxy,

thật sự đây chỉ là một ví dụ khác của

định lý Py-ta-go mà thôi.

Chúng ta có thể xét sự thay đổi

theo trục hoành, chính là khoảng cách
này, ngay đây.

Đây là khoảng cách giữa hai điểm
theo trục hoành.

Vậy nếu chúng ta đi từ điểm w
đến điểm z, chúng ta đi từ

âm 5 đến 2 trên trục hoành,
biểu diễn phần thực của số phức.

2 trừ âm 5 bằng bao nhiêu?

Đáp án là âm 7, tức là nếu chúng
ta đi từ âm 5 đến 0 trên trục hoành của

mặt phẳng tọa độ, và chúng ta đi thêm
2 đơn vị nữa để đến 2,

thì độ dài khoảng này sẽ là 7.

Và độ dài của cạnh này là bao nhiêu?

Trên trục tung biểu diễn
phần ảo, chúng ta

đi từ âm 1 tới 3, vì thế độ dài
cạnh này sẽ là 4.

Bây giờ chúng ta có thể áp dụng được
định lý Py-ta-go.

Đây là một tam giác vuông, nên
độ dài cạnh này sẽ bằng,

chà, độ dài cạnh này sẽ bằng,

giả sử độ dài cạnh này bằng x đi.

x bình phương bằng 7 bình phương,

và hãy nhớ rằng đây chỉ là định
lý Py-ta-go thôi,

cộng 4 bình phương, nói cách khác là
x bằng căn bậc hai của

49 cộng 16.

Tôi sẽ viết chúng ra thành từng bước
để tôi không bỏ lỡ bước nào.

49 cộng 16 bằng bao nhiêu nhỉ?

Kết quả là 65, vì 59 cộng 6
sẽ bằng 65.

x bằng căn bậc hai của 65.

Xem nào, 65, bạn không thể
phân tích ra thừa số nguyên tố được

Không có thừa số nào là số
chính phương cả,

đây chỉ là 13 nhân 5 nên chúng
ta có thể

để chúng như vậy.

x bằng căn bậc hai của 65 nên

khoảng cách giữa hai điểm biểu
diễn của số phức trên mặt phẳng

phức này là căn bậc hai của 65,
và hình như là nó lớn hơn 8 một chút.

Bây giờ, số phức nào nằm

ở chính giữa hai số phức này?

Để tìm ra số phức ấy, chúng ta chỉ cần

tìm số phức nào có phần thực

nằm ở giữa hai phần thực
của hai số phức w và z

và phần ảo nằm ở giữa

hai phần ảo của hai số
phức w và z.

Giả sử chúng ta có một
điểm biểu diễn số phức,

hãy gọi điểm ấy là a đi, sao cho
a là trung điểm, phần thực

của a là bình quân của hai
phần thực này.

Vậy nó sẽ là 2 cộng âm 5.

2 cộng âm 5 chia 2, và

phần ảo của a sẽ bằng bình quân

của hai số này, vậy ta có 3 trừ 1.

3 trừ 1 tất cả chia 2 nhân i,

và biểu thức này sẽ bằng, xem nào,
2 cộng âm 5 bằng

âm 3 nên đây là âm 3 phần 2, cộng,

đây là 3 trừ 1 là, xem nào,

để tôi kiểm tra lại xem có làm đúng không,

3 trừ 1 bằng 2,

chia 2 bằng 1, vậy ta có

âm 3 phần 2 cộng i là trung điểm
của điểm biểu diễn hai số phức đã cho,

và nếu ta biểu diễn điểm ấy trên mặt phẳng
phức, ta có thể thấy nó rõ ràng hơn.

Phần thực là âm 3 phần 2, đây là
âm 1,

đây là âm 1 phần 2, vậy hoành độ
của điểm này sẽ ở đây, và

tung độ là i vậy nó sẽ ở đây.

Và hình nó sẽ không đẹp cho lắm,

nhưng bạn có thể nhìn thấy được rằng

đây chính xác

là trung điểm rồi.