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Ya te he contado en múltiples ocasiones que la derivada de una curva
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en un punto es la pendiente de la recta tangente, pero nuestro
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amigo ¿Akosh?
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me envió un problema donde hay que encontrar
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la ecuación de la recta tangente
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Y me di cuenta que, no habíamos hecho esto todavía
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Asi que merece la pena
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Hagámoslo
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El enunciado dice, encuentra la ecuación de la recta tangente a la
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función f de x igual a x por e elevado a x para x igual a 1
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Vamos a imaginarnos que es lo que estamos buscando
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Así que esta función va a ser algo parecido a...
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he hecho un gráfico con el ordenador, porque no es una función fácil de representar
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Así que esto es x e elevado a x, tiene esta forma
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Simplemente estoy usando una calculadora gráfica, y puedes
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ver, solo escribí la función dentro
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Y esto es lo que nos está preguntando
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En el punto donde x es igual a 1.
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Este es el punto donde x es igual a uno
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f de x estará en un lugar aquí arriba, y
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en realidad, f de x va a ser igual a e, correcto?
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Porque f de 1 ¿es igual a qué?
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1 por e elevado a 1
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Que es igual a e
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Estarmos diciendo que en el punto 1 coma e, esto es en
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el punto 1 coma 2.71, lo que sea, blah blah
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Cuál es este punto?
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Es este punto
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Que esta justo aquí
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2 punto, este es e justo aquí, el punto 1 coma e
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Entonces lo que queremos averiguar es la ecuación de
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la recta tangente en este punto
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Lo que vamos a hacer es que, vamos a resolverlo
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averiguando su pendiente, que es justo la derivada
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en este punto
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Así que tenemos que averguar la derivada en
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este punto exactamente
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Y luego usar o que hemos aprendido en algebra 1 para averiguar
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su ecuación, y la dibuajremos aquí, para confirmar que
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efectivamente hemos averiguado la ecuación de la recta tangente
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La primera cosa que queremos saber es la pendiente de la
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recta tangente, y esto es justo la derivada en ese punto.
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Cuando x es igual a 1, o en el punto 1 coma e.
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¿Cúal es la derivada de esto?
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f prima de x.
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f prima de x es igual a, bien, esto parece un
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trabajo apra la regla del producto.
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Porque sabemos como hacer la derivada de x, nosotros
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sabemos como resolver la derivada de e elevado a x, y
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y se están multiplicando entre ellos.
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Así que la regla del producot nos ayudará.
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La derivada de esto va a ser igual a
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la derivada de la primera expresión del la
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primera función.
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La derivada de x que es 1, por la segunda función
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esto es, por e elevado a x, más la primera función, x, por la
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derivada de la segunda función
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¿Cúal es la derivada de e elevado a x?
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Y esto es o que encuentro tan fascinante sobre el número e, o
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la función e elevado a x, es que la derivada de e
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elevado a x es e elevado a x
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La pendiente en cualquier punto de esta curva es igual al
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valor de la función.
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Esta es la derivada.
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¿Cual es la derivada de esta función el el punto x
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igual a 1, or lo que es lo mismo en el punto 1 coma e?
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Simplemente evaluamos la función.
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Decimos que f prima de 1 es igual a 1 por e elevado a 1 mas
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1 por e elevado 1, bien, esto es simplemente e más e
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Y esto es igual a 2 e
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Y como sabes, podemos resolver que este número, e es
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un número constante, pero escribimos e porque es más fácil de escribir
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e que 2.7 etc..., y un número de decimales infinito,
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así que escribimos 2e.
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Esta es la pendiente de la ecuación, o esta es la pendiente
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de la curva cuando x es igual a uno, o en el punto
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1e, o 1 f de 1.
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¿Cuál es la ecuación de la recta tangente?
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Sigamos adelante con esta forma, la ecuación va a ser
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y es igual a, solo estoy escribendo en, ya sabes,
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de la forma punto-pendiente, con mx más b que
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aprendiste en álgebra.
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La pendiente será 2e.
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Acabamos de ver aquí.
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Que esta es la derivada cuando x es igual a 1.
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Por lo que 2e por x mas la intersección con el eje-y.
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Así que si resolvemos la intersección de la recta
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con el eje-y, habremos acabado.
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Hemos halado l acuación de la recta tangente.
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Cómo hacemos esto?
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Bien, if conocieramos la y o la x de esta ecuación
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se cumple, entonce podríamos resolverla para b.
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Y nosotros sabemos una y junto con una x que cumplen esta ecuación.
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El punto 1 coma e.
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El punto donde estamos intentando encontrar la recta tangente, correcto?
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En este punto, 1 coma e, es donde queremos
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encontrar la recta tangente.
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Y por definición, la recta tangente tocará
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en este punto.
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Sustituyamos estos puntos aqui, o este
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punto aqúi n esta ecuación, y luego obtenemos b.
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y es igual a e, igual a 2 e, que es la pendiente en
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este punto, por x mas b.
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Puede confundirte porque e, tu dirás, oh, e,
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es una variable?
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No, es un número, recuerda, es como pi.
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Es un número.
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Puedes sustituir 2.7 si quieres aquí, pero no hacemos esto
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porque es más limpio.
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Y resolvámoslo.
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Cogemos e es igual a 2e más b.
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Le restamos 2e en ambos lados.
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Quedaría b es igual a e menos 2e.
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b es igual a menos e.
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Y ya hemos acabado.
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Cúal es la ecuación de la recta tangente?
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Es y igual a 2 por e x mas b
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Pero b es menos e, así que será menos e.
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Y esta es la ecuación de la recta tangente.
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Si no te gustan estas e de aquí, puees reemplazralas
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con el número 2.7 etc. y este se convertirá en 5 punto
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algo, y esto será menos 2.7 algo.
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Pero así se ve más ordenado.
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Y ahora confirmémoslo.
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Usamos la calculadora gráfica para confirmar que
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es en realidad la ecuación de la recta tangente.
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Escribimos aquí.
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Será 2... 2 por e por x, correcto, esto es 2ex menos e.
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Y dibujemos esta recta.
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Ahí está!
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Se pintó.
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Date cuenta que esta recta, la línea verde, no se si puedes
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quizá necesite hacerla más grande para que
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la puedas ver
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No se si esto ayuda
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Pero si miras aquí, en rojo, es la ecuación
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original, x e elevado a x, esta es su curva.
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Queremos saber la ecuación de la recta tangente
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en el punto x igual a 1.
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Es el punto x es igual a 1.
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Y cuando x es igual a 1, f de x es e, correcto, puedes
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sustituir en la ecuación original para verlo.
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Este es el punto 1 coma e.
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La ecuación de la recta tangente, su pendiente va a ser
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la derivada en este punto.
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Resolvimos la derivada de esta función, y la evaluamos
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para x igual a 1.
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Esto es lo que hicimos aquí.
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Resolvimos la derivada, para x igual a 1.
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Y dijimos, ok, la pendiente.
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La pendiente en el punto donde x es igual a 1 e y es igual a e, la
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pendiente en este punto es igual a 2e
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Y hallamos esto de la derivada.
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Usando los conocimientos de algebra 1 para hallar
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la ecuación de esta recta.
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Y cómo hicimos ésto?
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Sabiamos la pendiente, porque es la derivada
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en este punto.
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Y luego tuvimos que resolver la intersección con el eje y.
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Y la forma en que lo hicimos esto es como dijimos, el punto 1 coma e
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es en la recta verde también.
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Así que sustituímos y resolvemos la intersección con el eje-y
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que da como resultado menos e, y date cuenta que esta recta
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intersecciona el eje-y a menos e, que es aproximadamente
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menos 2.7 algo.
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Y aquí lo tenemos.
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Hemos visto, y visualmente,que esta es
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la recta tangente.
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En cualquier caso, espero que lo hayas encontrado algo útil.
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Si lo has hecho, debes agradecérselo a ¿Akosh?
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por ser tan extraordinariamente persistente, y que me haya hecho hacer este problema.
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Nos vemos en el siguiente video.
