Introduction to special relativity and Minkowski spacetime diagrams | Khan Academy

지난 수업에서는

약간 어려운 문제들을 생각해 봤었죠

제가 우주 속을 떠다니고 있었고

시각이 0일 때

친구가 제 옆을 지나갔죠

광속의 절반으로 운동하는 우주선 안에서

저에 대해 +x방향으로 말이죠

시각이 0일 때

그녀는 정확히 제 위치에 있었어요

그녀는 계속 나아갑니다

지금 그리는 것이 그녀가 가는 경로입니다

1초 후에는 여기 있을 것이고

2초 후에는 여기 있겠죠

이제 좌표축을 설정합니다

저의 시간축 상에서 1초는

저의 x축 상에서 3×10^8 m와 같습니다

이렇게 해서, 적어도 제 좌표계에서는

빛의 경로는 45도를 이루게 될 것입니다

즉 기울기가 1이 되겠죠

그런데 우리가 부딪힌 문제는

빛의 속력이,

제가 세운 모형에 따르면,

여러분이 있는 좌표계에 따라 다르게 보일 거라는 겁니다

시각이 0일 때 제가 광자를 방출하면

저는 광자가 +x방향, 광속으로 운동하는 것으로 보겠죠

그러나 제 친구는 이미 광속의 절반, +x방향으로
운동하고 있기 때문에

뉴턴 역학이 성립한다고 가정한다면

그녀는 광속의 절반으로 운동하는 광자를 볼 것입니다

마찬가지로, 그녀가 광자를 방출했다면

그녀에게는 광자가 광속으로
운동하는 것으로 보일 겁니다

그러나 저에게는, 광자가
빛보다 빨리 운동하는 것처럼 보이겠죠

이것이 어려운 문제인 이유는

우리 주변의 우주에 대한 관찰로부터 알 수 있는데

심오하고도 재미있는 문제입니다

이는 우리의 일상적인 직관에 어긋나죠

그러나 관찰로부터 알 수 있듯이

빛의 속력은 절대적이며

여러분의 관성계와는 무관합니다

여러분이 관성계에 있기만 하면 됩니다

다른 관성계에 대한 상대속력과는 아무 관련이 없죠

여러분은 항상 광속을 3×10^8 ㎧로 측정할 것입니다

그러나 이는 우리의 결과와 직접적으로 모순이 됩니다

따라서 우리의 모든 가정에 대해 의문을 제기해야 하죠

그렇다면 이러한 뉴턴 역학 체계에서
우리가 가정한 것은 무엇일까요?

우리는 시간이 절대적이라고 가정했습니다

"시간이 절대적이다"

이것은 무엇을 의미할까요?

우리는 제가 느끼는 1초가

제 친구에게도 1초일 것이라고 가정했습니다

이는 우리의 일상적인 생각입니다

만약 제가 차 안에, 여러분이 밖에 있고

저와 여러분이 동기화된 시계를 갖고 있다면

시계들은 동기화된 상태로 유지될 것처럼 생각되죠

그러나 이 가정은 폐기해야 할 것 같습니다

우리는 공간 또한 절대적이라고 가정했습니다

"공간이 절대적이다"

이것은 무엇을 의미할까요?

우리의 일상적인 경험들에서는,

우리의 좌표계와 상관없이,

예를 들어 기차 안에 미터자가 있다고 했을 때,

제가 기차 안에 있든 밖에 있든 그 길이는 1m입니다

그러나 속력이 더 빠른 경우를 생각하면
약간의 문제가 생깁니다

속력이 느릴 때도 같은 문제가 발생합니다

그러나 매우 작은 차이이기 때문에
우리가 알아채지 못할 뿐이죠

더욱 흥미로운 점이 있습니다

우리의 일상적인 경험에서,

우리는 시간이 공간과 매우 다른 것이라고 생각하죠

공간축 방향으로 이동하지 않은 채
시간축 방향으로만 이동하거나,

시간축 방향으로 이동하지 않은 채
공간축 방향으로 이동할 수 있는 것처럼요

그리고 여러분이 있는 관성계에 관계없이 시간과 공간은 독립적이라고 생각합니다

그러나 이들은 독립적이지 않을 수도 있습니다

사실, 이들은 모두 하나의 시공간 연속체일 겁니다

제가 말하는 것은 시간-공간이 아니라

시공간입니다

제가 뜻하는 단어는 "시공간" 입니다

시간과 공간이 특별히 다르지 않은 곳이죠

시공간이라는 하나의 연속체일 뿐입니다

제가 이 단어를 계속 빠르게 말하는 이유는

시간-공간이 아니기 때문입니다

이들은 다른 차원도 아니고

서로 다른 것도 아닙니다

시공간이라는 하나의 것을 명명하고 있는 것이죠

우리는 지금부터 이러한 것들에 대해 탐구해볼 것입니다

이 가정들을 폐기하고 , 여러분의 관성계와 무관하게
광속이 일정하다는 관찰 결과를 도입해 봅시다

이를 바탕으로 사고 실험을 하고,

광속이 불변인 상황에서
어떤 모형을 세울 수 있을지 생각해 봅시다

먼저, 기존의 좌표계를 계속 사용하고,

친구의 좌표계를 중점적으로 생각해 볼 겁니다

친구는 우주선에 타고 있고

시각이 0일 때 광속의 절반으로 제 옆을 지나가죠

우리는 그녀가 이러한 수많은 우주선들
안에 있다고 가정했죠

따라서 우리는 이미

저에 대해 광속의 절반, +x방향으로 움직이는 우주선들이 있다고 가정한 겁니다

이들은 서로 3×10^8 m씩 떨어져 있죠

이런 모습일 겁니다

먼저, 저는 이 축들을 푸른색으로 그렸습니다

이 축들이 친구의 좌표계라고 가정했기 때문이죠

S' 좌표계, 샐리의 좌표계라고도 할 수 있을 겁니다

지지난 수업에서 했던 것처럼요

그녀가 제게 도달하기 1초 전을 생각해 봅시다

그리고 이 축을 그리는
방법에 있어서도 약간의 가정을 하고 있고,

나중에 수정할 겁니다

그때는 시간과 공간에 대해
실질적으로 같은 단위를 사용할 겁니다

지금 당장은 이전의 체계를 사용하고 있습니다

시간에는 초 단위를 사용하고

공간에는 미터 단위를 사용하고 있죠

그러나 나중에는 둘 다 미터를 사용할 겁니다

나중에는 그렇게 하겠지만,
한번에 너무 많은 것을 할 필요는 없습니다

그러나 저는 공간축을 그릴 때

3×10^8 m가 1초와 같은 길이가 되도록 그렸고,

그럼으로써 이 도표상에서 빛의 경로가

45도를 이룰 수 있게 됩니다

바로 여기가 3×10^8 m 지점이 되겠죠

자, 그러면 샐리가 제게 도달하기 1초 전을 생각해 봅시다

그녀는 앞쪽의 우주선을 향해 광자 하나를 방출하죠

그 우주선은 그녀 앞쪽으로 얼마나 떨어져 있을까요?

3×10^8 m 떨어져 있습니다

그 우주선 뒤에,

거울이 있다고 해 봅시다

그녀는 손전등을 그 거울을 향해 비추고 있는 겁니다

그녀의 좌표계에서는 1초 후에 무슨 일이 일어날까요?

1초 동안, 그녀의 좌표계에서는

그녀는 정지해 있고, 1초 후에도 같은 위치에 있습니다

그녀의 좌표계에서 x'=0 인 위치에 있겠죠

앞쪽의 우주선도 여전히 3×10^8 m 떨어져 있을 겁니다

이들은 저에 대해서는 같은 속력으로 움직이고 있지만,

서로에 대해서는 정지해 있는 것으로 보입니다

그렇다면 그 광자의 경로는 어떻게 될까요?

그 광자는 샐리의 손전등에서 출발하여

헤드램프일 수도 있고, 뭐든 간에,

그녀 앞의 우주선을 향해 갔을 겁니다

그리고 앞쪽 우주선의 거울에 막 도달했겠죠

이제 빛의 경로를 그릴 수 있습니다

제가 그려 볼게요

빛의 경로는...

이 도표상에서 이렇게 나타날 것입니다

그리고 정확히 이 순간에,

즉 t'=0 일 때,

광자는 샐리를 향해 반사될 것입니다

샐리에게 돌아가는 데 얼마나 걸릴까요?

샐리는 1초 후에 반사된 광자를 받을 것입니다

광자가 3×10^8 m 를 가는 데 1초가 걸리기 때문이죠

그래서, 제일 먼저 방출된 광자의 경로는

제일 먼저 방출된 광자의 경로는...

이렇게 나타날 겁니다

좋습니다, 다행히도 꽤 간단하네요

이것이 샐리의 좌표계에서 일어나는 일입니다

그녀가 제게 도달하기 1초 전에,

즉 t'=-1 일 때,

광자를 방출하고 이는 t=0일 때

그녀 앞 3×10^8 m 지점에 있는
우주선에 도달하게 됩니다

그녀 앞에 1광초 떨어져 있는 우주선이죠

그리고 1초 후에는,

다시 반사되고, 1초 뒤에는,

반사된 빛이 그녀에게 도달합니다

이것이 이 도표가 의미하는 내용입니다

이제 제 좌표계 위에 투영시켜서 그려 봅시다

여기서부터 아주아주 흥미로워집니다

여기 제 좌표계를 그려 놓았습니다

초, 미터 같은 단위는 일부러 표시하지 않았습니다

제 좌표계에서 1초가

그녀의 좌표계에서의 1초와 같다거나,
제 좌표계에서 1m가

그녀의 좌표계에서의 1m와 같다고
가정하지 않을 것이기 때문이죠

저는 그녀의 t'축을 전에 그렸던 각도와
같은 각도로 그렸습니다

우리가 1초씩 미래로 갈 때마다,

그녀는 +x방향으로 ½광초씩 움직일 것이기 때문이죠

그래서 축이 기울어지게 되는데,

생각해 보면,

축의 기울기가 2입니다

그녀가 x축 방향으로 한 단위만큼 갈 때마다,

시간 방향으로는 두 단위만큼 이동하겠죠

그리고 우리가 다시 할 일은

그녀의 축에,

저는 x'축을 그리지 않았죠

사실, 이것은 x'축의 위치를 생각해보기 위한 활동입니다

우리가 전에 가정했던 것처럼 x축과 일치해야 할까요?

아니면 다른 위치에 있어야 할까요?

일단은 S' 좌표계에서 그리는 1초의 길이가

3×10^8 m의 길이와 같다고 가정할 겁니다

또한, 광속이 불변이라고 가정할 겁니다

그러면 빛은 항상 45도로 움직이겠죠

두 좌표계 모두에 대해서요

여기서 약간 재미있어집니다

일단은 무슨 일이 일어나는지 보기로 하죠

-1초일 때,

샐리는 손전등을 켜고 있습니다

빛은 앞쪽의 우주선에서 반사되겠죠

광자는 두 좌표계 모두에서 광속으로 움직일 겁니다

그 경로를 그려 보겠습니다

그려 볼게요...

이렇게 나타날 겁니다

45도 각도로 그렸어요

사실, 저는 빛이 어디서 반사되는지 모릅니다

x'축과 만났을 때 반사되겠죠

하지만 저는 그게 어딘지 모릅니다

그러나 어쨌든 빛은 반사되고,

1초일 때 샐리에게 돌아오게 됩니다

따라서 광자가 돌아오는 경로는

이런 식으로 나타날 겁니다

그리고 이 점에서 빛이 방향을 바꾸겠죠

다시 그려 볼게요

잠깐만요...

이렇게 될 것 같네요

웁스

네, 이렇게 되겠네요

빛이 방향을 바꾸는 지점은 상당히 흥미롭습니다

그녀 앞의 우주선이

시공간의 그 지점에 있어야 하기 때문이죠

이제 시간과 공간을 합체하는 것을 생각해 볼 건데,

거기에 너무 얽매이지는 않을 겁니다

그렇다면, 이게 흥미로운 이유는 무엇일까요?

왜냐하면 샐리의 관점에서는,

샐리의 관점에서는

빛이 방향을 바꾸는 사건이,

샐리의 좌표계에서는,

그녀가 제게 도달하는 사건과 동시에 일어납니다

이것은 샐리에게는 t'=0일 때 일어납니다

샐리에게 t'=0인 사건들은

모두 x'축 위에 있어야 합니다

따라서 이 점은 반드시 x'축 위에 있어야 합니다

자, 다시 한번, 제가 이 사실을 어떻게 유추했죠?

왜냐하면, x'축 위에 있는 모든 사건들은,

x'축 위에 있는 모든 사건들은,

다른 색으로 표시해 볼게요

계속 검은색으로 하네요...

x'축 위에 있는 모든 사건들에 대해

t'=0 입니다

그리고 샐리의 좌표계에서는

x'축 위에 있는 모든 사건이
샐리가 제 옆을 지나갈 때 동시에 일어날 것입니다

이를 바탕으로 알 수 있는 사실은,

이 점,

샐리가 있는 곳이죠,

그녀의 좌표계의 원점이 될 것입니다

그리고 이 점이 x'축 위에 있는 것을 알고 있으니까,

이를 바탕으로, x'축을 그릴 수 있습니다

직선을 그리기 위해서는 두 개의 점만 있으면 되죠

한번 그려 보겠습니다

그려 볼게요...

다시 해 볼게요

x'축을...

그려 보겠습니다

아마도 이렇게...

이렇게 나타날 겁니다

이제 x'축이 그려졌습니다

여기서 이게 약간 재미있다는 것을 알아차려야 합니다

사실, 약간 재미있는 정도가 아니죠

기막힌 내용들을 보여주고 있기 때문입니다

먼저, 좌표를 어떻게 읽을지를 확실히 해 봅시다

임의의 사건에 대해,

이제부터는 시공간의 관점에서 생각할 겁니다

이제부터는 시공간의 관점에서 생각할 겁니다

시간과 공간에 서로 다른 단위를 쓰고 있긴 하지만요

나중에 바로잡을 겁니다

제 좌표계에서 이 사건의 좌표를 읽고 싶다면,

x좌표의 경우에는,

t축에 평행하게 보면 되고

t좌표의 경우에는,

x축에 평행하게 보면 됩니다

샐리의 좌표계에 대해서는,

기본적으로 같은 방법으로 하면 됩니다

x'좌표를 읽고 싶으면

t'축에 평행하게 보고

t'좌표를 읽고 싶으면

x'축에 평행하게 보면 되죠

그러나 정말로 재미있는 것은,

다음 수업들에서 더 깊이 다루겠지만,

저 사건,

바로 이 지점의 사건이,

샐리의 좌표계에서는,

그녀가 제 옆을 지나가는 것과
동시에 일어나는 것으로 보입니다

t'=0일 때 일어나는 것으로 보이죠

사실, t'=0일 때 일어나는 것이 맞습니다

그녀의 좌표계에서는,

t'=0일 때 일어나죠

우리의 좌표계에서는,

샐리가 우리를 지나간 후에 일어납니다

t＞0일 때 일어나죠

t=0일 때 일어나는 게 아닙니다

여기서부터 재미있어집니다

일 초, 동시성, 시간, 그리고 공간,

동시에 일어나는 사건들,

이것들은 우리가 어느 좌표계에 있냐에 따라
다르게 보일 겁니다

같게 보이는 것은 빛의 속력뿐입니다