Proč je ujetá vzdálenost rovna ploše pod grafem rychlosti v čase

Na příkladech rovnoměrného a rovnoměrně zrychleného pohybu si ukážeme, proč je ujetá vzdálenost tělesa rovna ploše pod grafem rychlosti v čase

Dejme tomu, že se nějaký předmět
pohybuje konstantní rychlostí 5 m/s,

a předpokládejme,
že se pohybuje zleva doprava,

abychom měli dán směr,
protože rychlost je vektor.

Takže předmět se pohybuje
tímto směrem.

A nakresleme si průběh rychlosti v čase.

Takže toto je moje rychlost,

vynáším do grafu vlastně
jen velikost rychlosti

a zapisuju ji jako ||v||.
(V české fyzice |v|.)

Takže toto je velikost rychlosti

a na této ose budeme mít čas.

Máme tedy konstantní rychlost 5 m/s,

tedy její velikost je 5 m/s.

A je konstantní, stále stejná,
– jak sekundy běží, rychlost se nemění,

takže předmět se pohybuje rychlostí 5 m/s.

Teď se zeptám: Kam doputuje
předmět za těch 5 sekund?

Tedy za 5 sekund.
Tady máme 1..2..3..4..5 sekund.

Takže jak daleko budeme po 5 sekundách?

Můžeme na to jít dvěma způsoby.

Zaprvé víme, že rychlost se rovná
posunutí za změnu času

a že posunutí je změna polohy,

takže je to vlastně změna polohy
děleno změnou času.

Nebo si to můžeme představit takto:
Pokud vynásobíme obě strany změnou v čase,

dostaneme, že rychlost krát změna času
se rovná posunutí.

Takže jaké bude hledané posunutí?

Známe rychlost – 5 m/s,

to je tedy rychlost.
...označme si ji barevně...

A známe změnu času – ta je 5 sekund.

A sekundy se vykrátí se sekundami

a dostanete 5 * 5 = 25 metrů.

Takže to bylo vcelku jednoduché,

ale zajímavé je, že výsledek
odpovídá ploše tohoto obdélníku.

A v tomto videu vám chci ukázat,
že v obecném případě,

pokud zakreslíte graf rychlosti,
tedy velikosti rychlosti,

můžete říct i rychlosti
v závislosti na čase,

já tomu zde ale budu říkat
velikosti rychlosti v čase,

pak plocha pod křivkou rychlosti bude
rovna ujeté vzdálenosti neboli posunutí,

protože posunutí
je rychlost krát změna času,

tedy takovýto obdélník.

Nakresleme si trošku jiný příklad,
kde rychlost není konstantní.

Nakreslím tedy situaci,
kde máme konstantní zrychlení,

zrychlení nechť je 1 m/s za sekundu,
jinak zapsáno 1 m/s^2,

a nakresleme si stejný typ grafu.

Uvidíme, že to tentokrát
bude vypadat trošku jinak.

Tady je osa rychlosti.

...udělám si tu trošku víc místa...

Takže tady je osa rychlosti

a budu zde vynášet velikost rychlosti,

tady je osa času,

tedy čas, vyznačme si jeho hodnoty.

Tedy 1...2...3...4...5...6...7...8...9...10

a 1...2...3...4...5...6...7...8...9...10.

Velikost rychlosti měříme
v metrech za sekundu,

čas měříme v sekundách.

Takže jak bude graf vypadat,
pokud bude počáteční rychlost,

přesněji řečeno
velikost počáteční rychlosti,

velikost počáteční rychlosti, tedy
prakticky má počáteční rychlost, je 0.

Takže moje počáteční rychlost je nulová.

A co se stane po jedné sekundě?

Po 1 sekundě budu o 1 m/s rychlejší,
takže teď jedu rychlostí 1 m/s.

Po 2 sekundách to bude jak?
No, zase budu o 1 m/s rychlejší.

Po další sekundě,
jak čas dále postupuje,

za každou změnu času o jednu sekundu
jsem o 1 m/s rychlejší.

A pokud si pamatujete na představu
„směrnice přímky“ z Algebry 1,

tak směrnice v tomto diagramu
přesně odpovídá zrychlení.

Víme, že zrychlení je rovno
změně rychlosti za změnu času.

Tady máme čas na vodorovné ose,

takže tady je změna času.

A tady je změna rychlosti.

Pokud zde zaznamenáváme změny rychlosti,
přesněji velikosti rychlosti, v čase,

směrnice této čáry odpovídá zrychlení.

A protože jsme předpokládali
konstantní zrychlení,

je i směrnice konstantní.

Takže máme rovnou čáru, ne křivku.

A teď si představme následující situaci.

Řekněme, že zrychlujeme 1 m/s^2,
a to po dobu...

Změna v čase bude 5 sekund.

A teď se vás zeptám:
Jak daleko jsme dojeli?

Malinko zajímavější otázka
než ta minulá, že?

Takže začínáme
s nulovou počáteční rychlostí

a pak 5 sekund zrychlujeme o 1 m/s^2,

takže 1...2...3...4...5. A teď jsme tady.

Takže po 5 sekundách sice známe rychlost,

ta bude 5 m/s.

Ale jak daleko jsme dojeli?

Zkusme si to představit malinko názorněji,

můžeme si zkusit nakreslit
takovéto obdélníčky,

jsme třeba zde, máme rychlost 1 m/s,

pokud tedy vezmu 1 m/s krát sekunda,
vyjde mi z toho nějaká malá vzdálenost.

A s dalším kouskem dostanu stejným
výpočtem o kousek větší vzdálenost.

Mohu pokračovat v kreslení obdélníčků.

Pak si řeknete: „Počkat!
Ty obdélníčky jsou nějak špatně,

protože jsem přeci po celou sekundu
nejel rychlostí 1 m/s.

Já přeci neustále zrychloval, takže
bych měl ty obdélníčky rozdělit na menší.“

A mohu je ještě dále rozdělit,
třeba po polovině sekundy.

Během této poloviny sekundy
budu mít takovou rychlost

a hýbu se touto rychlostí půl sekundy,

rychlost krát čas mi dá vzdálenost.

A stejně tak pro další polovinu sekundy
dostanu ujetou vzdálenost.

A tak pořad dál.

No, já myslím, že už vidíte,

že čím menší budou obdélníčky,
které nakreslíte,

tím víc se přiblížíte
skutečné ploše pod křivkou.

A stejně jako v tomto případě odpovídá
plocha pod křivkou ujeté vzdálenosti.

A naštěstí pro nás se toto
začíná měnit v trojúhelník

a my přeci umíme určit
plochu trojúhelníku.

Tedy plocha trojúhelníku
je rovna 1/2 krát základna krát výška,

což vám je doufám zřejmé –
když násobíte základnu výškou,

dostanete plochu celého obdélníku,
plocha trojúhelníku je přesně jeho půlka.

Tedy ujetá vzdálenost je v tomto případě

– nebo můžeme říci posunutí,

protože chceme zdůraznit,
že hovoříme o vektorech –

toto posunutí je

– vlastně bych měl říct velikost posunutí,
což je to samé jako vzdálenost –

je rovno 1/2 krát základna, která je 5 s,
krát výška, která je 5 m/s,

tj. krát 5 m/s.
...použiju jinou barvu...

Sekundy se nám pokrátí
a zůstává 1/2 krát 5 krát 5 metrů,

tedy 1/2 krát 25, což je 12,5 metrů.

A je tu ještě jedna zajímavá věc,

vlastně více zajímavých věcí.

Snad je vám již jasné, že když
vynášíte rychlost v závislosti na čase,

tak plocha pod křivkou za určitý čas
vám řekne, jak daleko jste dojeli.

Další zajímavá věc je, že směrnice křivky
vám udává zrychlení.

Jaká je zde tedy směrnice?

Tato křivka je vodorovná,
protože rychlost se nemění.

V tomto případě máme tedy
konstantní zrychlení.

Velikost tohoto zrychlení je přesně nula.

Rychlost se nemění.

Tady vpravo máme zrychlení 1 m/s^2,

proto je směrnice této přímky 1.

Další zajímavá věc je,
že i když je zrychlení konstantní,

můžete i tady určit vzdálenost
pomocí plochy pod křivkou.

Takže jsme dostali 12,5 metrů.

A poslední věc, kterou vám chci sdělit,

no, nechme ji až na další video.

Seznámím vás
s myšlenkou „průměrné rychlosti“

– teď, když už teď víme,

že ujetá vzdálenost je dána plochou
pod křivkou rychlosti v závislosti na čase.