Inverse Trig Functions: Arctan

Iepriekšējā video mēs runājām,

kā rīkoties, ja kāds tev uz ielas
pajautā, cik ir arksinuss –

arksinuss no x.

Un šis tātad būs vienāds ar kaut ko.

Tas ir tas pats, kas sacīt,
ka kaut kāda leņķa sinuss

ir vienāds ar x.

Un iepriekšējā video
mēs atrisinājām pāris piemēru.

Tādā pašā veidā...

parādīšu vēlreiz.

Šo var pārrakstīt arī šādi:

ar ko ir vienāds inversais sinuss no x?

Tās ir ekvivalentas izteiksmes.

Divi veidi, kā pierakstīt
inversā sinusa funkciju.

Šī ir inversā sinusa funkcija.

To nekāpina mīnus pirmajā pakāpē,

mēs vienkārši jautājam,
kāda leņķa sinuss –

kāda leņķa sinuss ir vienāds ar x.

Šis bija iepriekšējā video.

Tādā pašā veidā,
ja es tev uz ielas pajautātu –

pajautātu, ar ko ir vienāds tangenss –

ar ko ir vienāds inversais tangenss no x,

tev tūlīt pat būtu jāsaprot,
ka es vaicāju –

ka es gribu zināt,
kura leņķa tangenss ir vienāds ar x,

un tev tikai jāizrēķina,
kurš leņķis tas ir.

Apskatīsim piemēru.

Es tātad pieeju tev uz ielas un jautāju –

sanāk ļoti daudz pieiešanas
uz ļoti daudzām ielām –

un es tātad jautāju:

"Klau, cik ir arktangenss no mīnus 1?"

Tikpat labi es varētu vaicāt,

cik ir inversais tangenss no mīnus 1.

Tie ir ekvivalenti jautājumi.

Un, ja atbildi nezini no galvas,

jāuzzīmē vienības riņķis.

Patiesībā atkārtosim arī to,
kas īsti ir tangenss.

Tangenss no tētas –

šis ir visparastākais,
neinversais tangess –

tas ir vienāds ar sinusu no tētas
dalīts ar kosinusu no tētas.

Un sinuss no tētas ir y vērtība

uz vienības riņķa līnijas,

savukārt kosinus no tētas ir x vērtība.

Ja novelkam taisni...

uzzīmēšu te nelielu vienības riņķi.

Tātad, ja mums ir šāds vienības riņķis

un kaut kāds leņķis –

sauksim to par tētu –

šī punkta koordinātas būs (x; y).

Mēs jau zinām, ka y vērtība

atbilst sinusam no tētas –

mazliet atbrīvošu vietu –

tas ir sinuss no tētas.

Tāpat mēs zinām, ka x vērtība
atbilst kosinusam no tētas.

Tātad – cik būs tangenss?

Tas būs šis attālums
dalīts ar šo attālumu.

Varbūt atceries no algebras,

ka sākam koordinātu sākumpunktā (0; 0),

un šis ir y vērtības pieaugums
dalīts ar x vērtības pieaugumu –

funkcijas pieauguma
un argumenta pieauguma attiecība.

Tangenss no tētas

būtībā ir šīs taisnes
virziena koeficients.

Virziena koeficients.

Virziena koeficients
ir vienāds ar tangensu no tētas.

Paturēsim to prātā, risinot šo piemēru.

Tātad es tev jautāju –

pārrakstīšu to šeit –

cik ir inversais tangenss no mīnus 1.

Pierakstīsim to arī šādi –
cik ir arktangenss no mīnus 1?

Abās izteiksmēs jautāts,

kādam leņķim vienības riņķī
atbilst virziena koeficients mīnus 1.

Uzzīmēsim vienības riņķi.

Lūk, vienības riņķis.

Novelkam koordinātu asis.

Mums vajag virziena koeficientu mīnus 1,
un tas izskatās šādi.

Tas izskatās šādi.

Ja taisne ietu šādi,
koeficients būtu plus 1.

Tātad – cik plats ir šis leņķis?

Lai virziena koeficients būt mīnus 1,

šim attālumam
jābūt vienādam ar šo attālumu.

Un tu, iespējams, jau pamanīji,
ka šis ir taisns leņķis,

tātad šiem leņķiem jābūt vienādiem.

Tam jābūt trijstūrim
ar 45, 45 un 90 grādu leņķiem.

Tas ir vienādsānu trijstūris.

Šie abi leņķi ir vienādi,
un to summa ir 90 grādi.

Tātad 45, 45 un 90 grādi.

Un šādā trijstūrī

tev pat nav jāzina malu garumi.

Iepriekšējā video redzējām,

ka šis attālums būs
kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2.

Tātad y vērtība

būs mīnus kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2.

Savukārt x vērtība

ir kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2,

jo tas ir šis te attālums.

Kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2 kvadrātā

plus kvadrātsakne no 2
dalīts ar 2 kvadrātā

ir vienāds ar 1 kvadrātā.

Bet svarīgi atcerēties,

ka šis trijstūris ir
ar 45, 45 un 90 grādu leņķiem.

Tātad šis leņķis...

ja paskatāmies uz šo trijstūri atsevišķi,

mēs teiktu, ka šis ir 45 grādu leņķis,

taču mēs ejam pulksteņrādītāja virzienā
lejup no x ass,

tāpēc šeit tas būs mīnus 45 grādu leņķis.

Tātad tangenss no mīnus 45...
pierakstīsim šo.

Ja runājam grādos –

un es parasti domāju grādos –

varam rakstīt šādi:
tangenss no mīnus 45 grādiem

ir vienāds ar šo negatīvo vērtību
mīnus kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2,

dalīta ar kvadrātsakni no 2 dalīts ar 2,

un tas ir vienāds ar mīnus 1.

Vai varam to pierakstīt arī šādi:

arktangenss no mīnus 1
ir vienāds ar mīnus 45 grādiem.

Ja gribam šo pārvērst radiānos,

mums tas jāpareizina

ar pī radiāniem uz katriem 180 grādiem.

Grādus varam noīsināt,

paliek 45 dalīts ar 180.

Tas ietilpst 4 reizes,

tātad šis būs vienāds,

neaizmirsīsim mīnus zīmi,

ar mīnus pī dalīts ar 4 radiāniem.

Arktangenss no mīnus 1 ir vienāds
ar mīnus pī dalīts ar 4 radiāniem

jeb inversais tangenss no mīnus 1

ir vienāds ar mīnus pī
dalīts ar 4 radiāniem.

Tagad tu varētu teikt:

"Labi, šeit ir mīnus pī dalīts ar 4.

Šeit mums ir vērtība mīnus 1,
jo virziena koeficients ir mīnus 1.

Bet var taču turpināt apkārt
vienības riņķim un pieskaitīt šim 2 pī.

Varbūt pieskaitām 2 pī,

un arī tā leņķa tangenss būtu mīnus 1.

Un tad varam pieskaitīt vēl 2 pī
un atkal iegūt mīnus 1.

Arī šajā punktā varam iegūt
tangensu mīnus 1,

jo virziena koeficients ir tāds pats."

Un, kā jau teicu inversā sinusa video,

nepastāv funkcija, kur vienam argumentam
atbilst vairākas vērtības.

Inversais tangenss no x

nevar atbilst vairākām vērtībām.

Tas nevar atbilst mīnus pī dalīts ar 4.

Tas nevar atbilst 3 pī dalīts ar 4,

labāk teikšu 2 pī mīnus pī dalīts ar 4.

Vai 4 pī mīnus pī dalīts ar 4.

Tas nevar atbilst visām šīm vērtībām.

Tātad mums jāierobežo inversā tangensa
funkcijas vērtību apgabals.

Un mēs to ierobežosim ļoti līdzīgi,

kā ierobežojām inversā sinusa
funkcijas vērtību apgabalu.

Vērtību apgabals būs
pirmais un ceturtais kvadrants.

Tātad inversā tangensa atrisinājums

vienmēr atradīsies šajos kvadrantos.

Bet tas nevar būt šis punkts
un tas punkts,

jo tangensa funkcijai nav atrisinājuma

pie vērtībām pī dalīts ar 2
un mīnus pī dalīts ar 2,

jo šeit taisne kļūst vertikāla,

delta x ir 0,

kosinuss no tētas būtu 0

un dalījumiem ar 0 nav atrisinājuma.

Tātad funkcijas vērtību apgabals...
šo pierakstīsim.

Ja mums ir inversais tangenss no x...

Vispirms – kādas ir
iespējamās tangensa vērtības?

Ja tangenss no tētas ir vienāds ar x,

kādas ir iespējamās x vērtības?

Šīs ir visas iespējāmās
virziena koeficienta vērtības.

Šī koeficienta vērtība var būt jebkāda.

X var būt jebkurš skaitlis
starp mīnus bezgalību

un plus bezgalību,

x var būt jebkura vērtība.

Bet kā ar tētu?

Kā jau teicu, tēta var būt
tikai no mīnus pī dalīts ar 2

līdz pī dalīts ar 2.

Neder pat pī dalīts ar 2
vai mīnus pī dalīts ar 2,

jo tad taisne ir vertikāla.

Tātad, ja runa ir par parasto tangensu,

nevis inverso,

tangensa funkcijas definīcijas apgabals

iekļauj vairākus lokus
ap vienības riņķi,

tāpēc šādi nerakstīsim.

Taču inversā tangensa gadījumā

vienam argumentam
nevar atbilst vairākas vērtības

un tētas vērtību apgabals

būs lielāks nekā mīnus pī dalīts ar 2

un mazāks nekā plus pī dalīts ar 2.

Un, ja vērtību apgabals
ir šādi ierobežots

un tiek izslēgts šis punkts un tas punkts,

iespējama ir tikai viena atbilde.

Uz jautājumu, kādam leņķa tangensam
atbilst virziena koeficients mīnus 1, –

un tas ir tas jautājums,
ko šeit uzdevām, –

atbilde ir tikai viena,

jo šis punkts, kā arī punkti, ko atrodam,
apmetot vairāk nekā vienu loku,

neietilpst tētas vērtību apgabalā.

Noslēgumā pārbaudīsim,
vai iegūtā atbilde ir pareiza.

Mums sanāca mīnus pī dalīts ar 4.

Paskatīsimies,
vai ar kalkulatoru sanāks tas pats.

Tātad inversais tangenss no mīnus 1

ir vienāds ar šo.

Pārbaudīsim, vai tas ir tas pats,
kas mīnus pī dalīts ar 4.

Mīnus pī dalīts ar 4 ir vienāds ar šo.

Tātad mīnus pī dalīts ar 4 ir pareizi,

bet labi, ka mēs to atrisinājām
bez kalkulatora,

jo šo ir grūti atpazīt
kā mīnus pī dalīts ar 4.