Introduktion til invers-tangens

I den forrige video viste jeg dig,

hvis nogen kom hen til dig og sagde
hvad er arcsinx?

Dette svarer til at hvad?

Det er det samme som at sige,

sinus til hvilken vinkel er lig x?

Vi løste den i et par eksempler.

Jeg kunne også have skrevet dette som
den inverse sinus til x er lig hvad?

Disse er tilsvarende udsagn.

To måder at skrive den
inverse sinus funktion på.

Dette betyder den inverse sinus funktion.

Du opløfter ikke dette til -1.

Hvad er spørgsmålstegnet?

Hvilken vinkel er lig med x?

Det så vi i den forrige video.

På samme måde kan jeg gå
hen til dig på gaden og sige,

hvad er den inverse tanges til x?

Du bør så øjeblikkeligt tænke,

han spørger mig tangens til
hvilken vinkel er lig x.

Jeg skal finde ud af, hvad vinklen er?

Lad os lave et eksempel.

Jeg går hen til dig på gaden.

Vi går rundt på mange gader her.

Jeg siger til dig, hvad er arctan(-1)?

Eller jeg kan spørge dig,
hvad er den inverse tangens til -1?

Dette er tilsvarende spørgsmål.

Hvis du ikke kan huske dette,
så kan du tegne en enhedscirkel.

Lad mig lige hurtigt gennemgå,
hvad tangens egentlig er.

tanθ er lig sinθ over cosθ.

Sinθ er y-værdien af på enhedscirklen.

Cosθ er x-værdien.

Hvis jeg tegner en linje.

Lad mig først lave en enhedscirkel.

Når jeg har en enhedscirkel og en vinkel.

Lad os kalde den θ.

Den har koordinatsættet (x,y).

Vi ved allerede, at y-værdien er sinθ

-- lad mig lige gå herover --

sinθ

Og vi ved allerede,
at denne x-værdi er cosθ.

Hvad er så tangensværdien?

Det er denne afstand
divideret med denne afstand.

Eller fra algebra 1 kan du måske huske,

når vi starter i orgio i (0,0), så er det
ændringen i y over ændrigen i x,

eller stigning over fremdrift.

Eller du kan sige at tanθ er
hældningen af denne linje.

Du kan skrive hældningen er lig tanθ.

Lad os huske på det,
når vi laver vores eksempel.

Når jeg spørger dig,

hvad er den inverse tangens til -1
eller arctan(-1)?

Jeg siger, hvilken vinkel giver mig
hældningen -1 på enhedscirklen.

Lad mig tegne enhedscirklen, således.

Så har jeg mine akser.

Jeg vil have en hældning på -1.

En hældning på -1 ser således ud.

Hvis den gik denne vej,
så har den hældningen +1.

Hvad er denne vinkel?

For at have en hældning på -1,

så er denne afstand
den samme som denne afstand.

Du kan måske allerede se,
at dette er en ret vinkel.

Disse vinkler er ens.

Dette er derfor en 45 45 90 trekant.

Det er en ligebenet trekant.

Disse to har en sum på 90
og de er lige store.

Dette er 45 45 90.

Vi behøver faktisk ikke kende dens sider.

I en tidligere video så vi, at denne
afstand er kvadratroden af 2 over 2.

Denne koordinat i y-retningen er
minus kvadratroden af 2 over 2.

Denne koordinat her i x-retningen
er kvadratroden af 2 over 2.

(kvadratroden af 2 over 2)² +
(kvadratroden af 2 over 2)² er lig 1².

Men det vigtige er at indse,
at det er en 45 45 90 trekant.

I trekanten er dette en 45-graders vinkel.

Men fordi vi går med uret under x-aksen,
så er denne vinkel -45 grader.

Lad mig skrive det ned.

Når jeg bruger grader,
som er sådan jeg tænker,

så kan jeg skrive, at tan(-45) er lig med

denne negative værdi
minus kvadratroden af 2 over 2

over kvadratroden af 2 over 2 er lig -1.

Eller jeg kan skrive arctan(-1)
er lig -45 grader.

Hvis vi bruger radianer, så skal vi
blot omregne dette til radianer.

Vi ganger med pi radianer
for hver 180 grader.

Grader går ud med hinanden.

Du får 45 over 180.

Det går op i 4 gange.

Dette er lig -pi/4 radianer.

arctan(-1) er lig -pi/4

eller den inverse tangens til -1
er lig -pi/4.

Hvis -pi/4 er her, så får jeg værdien -1,
fordi hældningen af denne linje er -1.

Men jeg kan fortsætte rundt om
enhedscirklen og lægge 2pi til,

og så vil tangens til
den vinkel også være -1.

Og jeg kan lægge 2pi til igen
og det vil igen give mig -1.

Jeg kan faktisk gå til dette punkt.

Tangens vil også være -1,
fordi den har den hældning.

Ligesom jeg sagde i videoen om den inverse sinus

så kan du ikke have en funktion, der mapper til flere værdier.

Inverse tangens til x kan ikke mappe til flere værdier

s

Den kan ikke mappe til -pi/4.

Den kan ikke mappe til 3 hvad er det?
3pi/4

JEg ved det ikke.

Jeg siger bare 2pi -pi/4.

eller 4pi - pi

Den kan ikke mappe til alle disse forskellige ting.

Jeg må begrænse værdimængden

af den inverse tangens funktion.

Vi begrænser den på en lignende måde

som vi gjorde med værdimængden af den inverse sinus.

Vi begrænser den til den 1. og 4. kvadrant.

Derfor er svaret til inverse tangens

altid noget i disse kvadranter.

Det kan ikke være dette punkt eller dette punkt.

Fordi en tangens funktion ikke er defineret for

for pi/2 og minus pi/2.

Fordi så vi hældningen være lodret.

Din ændring i x er 0

cosinus til theta er 0.

Hvis du dividerer med den, så er det ikke defineret.

Lad mig skrive det ned,

f

Hvilke værdier kan tanges være?

Hvis tangens til theta er lig x,

hvilke forskellige værider kan x så tage?

Disse er alle de mulige værdier for hældningen?

Hældningen af antage

x kan være alt fra minus uendelige til positiv uendelige.

s

x kan stort set antage enhver værdi,

men hvad med theta?

Jeg har lige sagt det.

Du kan kun gå fra pi/2 hele vejen til pi/2

s

Men du kan ikke inkludere pi/2 eller -pi/2

fordi så bliver det vandret.

Det er hvis vi snakker om

almindelig tangens.

Ikke den inverse.

Definitionsmængden af tangens

der kan du rundt flere gangem så
jeg an ikke sige det.

Men når jeg vil lave den inverse tangens

så kan jeg ikke have at 1 mapper til flere.

Jeg skal strege alle disse ud.

Jeg begrænser theta eller min værdimængde til at være

større end -pi/2 og mindre end +pi/2.

Hvis jeg begrænser min værdimængde til dette her

og jeg udlukker dette punkt og dette punkt.

Så kan jeg kun få et svar.

Når jeg siger tanges til hvad giver mig hældningen -1?

Det er det spørgsmål jeg stiller lige her.

Der er kun et svar.

Denne går væk.

Naturligvis, når jeg går hele vejen rundt,

så forsvinder af den gyldige værdimængde.

For så at være sikker på at vi har gjort det rigtigt,

Vores svar er pi/4.

Lad os se, hvad vi går når vi bruger vores lommeregner.

Den inverse tangens til -1 er lig med dette.

Lad os se om det er det samme som -pi/4.

-pi/4 er lig dette

dette er -pi/4.

Det gode er at, vi løse den uden en lommeregner

fordi det er svært at se, at dette er -pi/4.