Introduktion til invers-tangens

Sal introducerer arcus-tangens (arctan), som er den inverse funktion af tangens, og diskuterer dens værdimængde.

Lær om de inverse funktioner til sinus, cosinus og tangens, og hvordan de er defineret, selv om funktionerne ikke er egentlig inverterbare. Disse funktioner er meget nyttige, når du løser trigonometriske ligninger.

I opvarmning til infinitesimalregning skal du bygge ovenpå mange af de færdigheder, du allerede har. Vi skal arbejde med: sammensatte funktioner, trigonometriske funktioner, vektorer, matricer, keglesnit samt sandsynlighedsregning og kombinatorik. Der er dog også to nye emner om talrækker samt grænseværdier og kontinuitet. I opvarmning til infinitesimalregning fra Khan Academy får du en omfattende, oplysende og spændende introduktion til infinitesimalregning. Glæd dig!

Khan Academy har en mission om at give gratis, verdensklasse undervisning til hvem som helst, hvor som helst. Vi tilbyder quizzer, opgaver, videoer og artikler inden for områder som matematik, kunst, computerprogrammering, økonomi, fysik, kemi, biologi, medicin, finans, historie, og meget mere. Vi giver lærere værktøjer og data som de kan bruge til at hjælpe deres elever med at udvikle deres færdigheder, vaner og tankegang, så de fremover kan have succes både i skolen og senere i livet. Khan Academy er oversat til mange sprog og over 15 millioner mennesker verden over lærer via Khan Academy hver måned. Khan Academy er et 501(c)(3) nonprofit selskab.

Giv en donation eller Bliv frivillig i dag!

https://www.khanacademy.org/donate

https://www.khanacademy.org/contribute

I den forrige video viste jeg dig,

hvis nogen kom hen til dig og sagde
hvad er arcsinx?

Dette svarer til at hvad?

Det er det samme som at sige,

sinus til hvilken vinkel er lig x?

Vi løste den i et par eksempler.

Jeg kunne også have skrevet dette som
den inverse sinus til x er lig hvad?

Disse er tilsvarende udsagn.

To måder at skrive den
inverse sinus funktion på.

Dette betyder den inverse sinus funktion.

Du opløfter ikke dette til -1.

Hvad er spørgsmålstegnet?

Hvilken vinkel er lig med x?

Det så vi i den forrige video.

På samme måde kan jeg gå
hen til dig på gaden og sige,

hvad er den inverse tangens til x?

Du bør så øjeblikkeligt tænke,

han spørger mig tangens til
hvilken vinkel er lig x.

Jeg skal finde ud af, hvad vinklen er?

Lad os lave et eksempel.

Jeg går hen til dig på gaden.

Vi går rundt på mange gader her.

Jeg siger til dig, hvad er arctan(-1)?

Eller jeg kan spørge dig,
hvad er den inverse tangens til -1?

Dette er tilsvarende spørgsmål.

Hvis du ikke kan huske dette,
så kan du tegne en enhedscirkel.

Lad mig lige hurtigt gennemgå,
hvad tangens egentlig er.

tanθ er lig sinθ over cosθ.

sinθ er y-værdien af på enhedscirklen.

cosθ er x-værdien.

Hvis jeg tegner en linje.

Lad mig først lave en enhedscirkel.

Når jeg har en enhedscirkel og en vinkel.

Lad os kalde den θ.

Den har koordinatsættet (x, y).

Vi ved allerede, at y-værdien er sinθ

-- lad mig lige gå herover --

sinθ

Og vi ved allerede,
at denne x-værdi er cosθ.

Hvad er så tangensværdien?

Det er denne afstand
divideret med denne afstand.

Eller fra algebra 1 kan du måske huske,

når vi starter i origo i (0, 0), så er det
ændringen i y over ændringen i x,

eller stigning over fremdrift.

Eller du kan sige at tanθ er
hældningen af denne linje.

Du kan skrive hældningen er lig tanθ.

Lad os huske på det,
når vi laver vores eksempel.

Når jeg spørger dig,

hvad er den inverse tangens til -1
eller arctan(-1)?

Jeg siger, hvilken vinkel giver mig
hældningen -1 på enhedscirklen.

Lad mig tegne enhedscirklen, således.

Så har jeg mine akser.

Jeg vil have en hældning på -1.

En hældning på -1 ser således ud.

Hvis den gik denne vej,
så har den hældningen +1.

Hvad er denne vinkel?

For at have en hældning på -1,

så er denne afstand
den samme som denne afstand.

Du kan måske allerede se,
at dette er en ret vinkel.

Disse vinkler er ens.

Dette er derfor en 45 45 90 trekant.

Det er en ligebenet trekant.

Disse to har en sum på 90
og de er lige store.

Dette er 45 45 90.

Vi behøver faktisk ikke kende dens sider.

I en tidligere video så vi, at denne
afstand er kvadratroden af 2 over 2.

Denne koordinat i y-retningen er
minus kvadratroden af 2 over 2.

Denne koordinat her i x-retningen
er kvadratroden af 2 over 2.

(√2 / 2)² + (√2 / 2)² = 1².

Men det vigtige er at indse,
at det er en 45 45 90 trekant.

I trekanten er dette en 45° vinkel.

Men fordi vi går med uret under x-aksen,
så er denne vinkel -45°.

Lad mig skrive det ned.

Når jeg bruger grader,
som er sådan jeg tænker,

så kan jeg skrive, at tan(-45) er lig med

denne negative værdi
- √2 / 2

over √2 / 2 = -1.

Eller jeg kan skrive arctan(-1)
er lig -45°.

Hvis vi bruger radianer, så skal vi
blot omregne dette til radianer.

Vi ganger med π radianer
for hver 180°.

Grader går ud med hinanden.

Du får 45 over 180.

Det går op i 4 gange.

Dette er lig -π/4 radianer.

arctan(-1) er lig -π/4

eller den inverse tangens til -1
er lig -π/4.

Hvis -π/4 er her, så får jeg værdien -1,
fordi hældningen af denne linje er -1.

Men jeg kan fortsætte rundt om
enhedscirklen og lægge 2π til,

og så vil tangens til
den vinkel også være -1.

Og jeg kan lægge 2π til igen
og det vil igen give mig -1.

Jeg kan faktisk gå til dette punkt.

Tangens vil også være -1,
fordi den har den hældning.

Ligesom jeg sagde i videoen
om den inverse sinus

så kan du ikke have en funktion,
hvor ét input giver flere svar.

tan⁻¹ (x) må ikke give flere svar.

Den kan ikke give -π/4 og
den kan ikke give 3π/4

eller 2π - π/4 og 4π - π/4.

Den kan ikke give
alle disse forskellige svar.

Jeg må begrænse værdimængden
af den inverse tangens funktion.

Vi begrænser den på en tilsvarende måde,

som vi gjorde med værdimængden
af den inverse sinus.

Vi begrænser den til den 1. og 4. kvadrant.

Derfor er svaret til inverse tangens
altid noget i disse kvadranter.

Men det kan ikke være
dette punkt eller dette punkt.

Fordi en tangens funktion er ikke
defineret for π/2 og -π/2.

Fordi så er hældningen lodret.

Din ændring i x er 0.

cosθ er 0.

Hvis du dividerer med den,
så er det ikke defineret.

Lad mig skrive det ned.

Hvilke værdier kan tangens være?

Hvis tanθ er lig x,
hvilke forskellige værdier kan x så være?

De er alle mulige værdier for hældningen.

Hældningen kan være hvad som helst.

x kan være alt fra minus uendelige
til positiv uendelige.

x kan stort set antage enhver værdi,
men hvad med θ?

Jeg har lige sagt det.

θ kan kun gå fra -π/2 hele vejen til π/2,

men du kan ikke inkludere π/2 eller -π/2,

fordi så bliver det vandret.

Hvis vi snakker om almindelig tangens,
ikke den inverse.

Definitionsmængden af tangens,
der kan du rundt flere gange.

Men når det er inverse tangens,

så kan jeg ikke have,
at 1 mapper til flere og

jeg skal strege alle disse ud.

Jeg begrænser θ eller
min værdimængde til at være

større end -π/2 og mindre end π/2.

Hvis jeg begrænser min
værdimængde til dette her

og jeg udlukker dette punkt og
dette punk, så kan jeg kun få et svar.

Når jeg siger tanges til
hvad giver mig hældningen -1?

Det er det spørgsmål jeg stiller lige her.

Der er kun et svar.

Denne går væk.

Hvis jeg går hele vejen rundt,
så er jeg udenfor den gyldige værdimængde.

Lad os sikre os,
at vi har gjort det rigtigt.

Vores svar er -π/4.

Lad os se, om vi får det,
når vi bruger vores lommeregner.

Den inverse tangens til -1
er lig med dette.

Lad os se, om det er
det samme som -π/4.

-π/4 er lig det her, så det er -π/4.

Men det er godt at løse
den uden en lommeregner,

fordi det er svært at se,
at dette er -π/4.