Inverse Trig Functions: Arctan

Əvvəlki videoda arcsin x

anlayışının nə demək olduğunu

öyrəndik.

Arcsin x = ?

Bu o deməkdir ki, hər hansı bir bucağın sinusu

x-a bərabərdir.

Əvvəlki vidoeda bunun necə həll
olunduğuna aid nümunələr gördük.

Gəlin indi fərqli formada yazaq.

Bunu belə də yaza bilərik:
tərs sinx funksiyası

?-a bərabərdir.

Bunlar bərabər ifadələrdir.

Tərs sinus funksiyasını yazmağın
iki fərqli üsulu.

Bu tərs sinus funksiyasıdır.

Bu -1 qüvvət demək deyil.

Burada hansı bucağın sinusunun

x olduğu soruşulur.

Bunu əvvəlki videoda həll etmişdik.

Təsəvvür edin ki, sizdən

tərs tangens x-in

nəyə bərabər olduğu soruşulur.

Bu zaman dərhal bunun nə demək olduğunu
yadınıza salmalısınız.

Bu, o deməkdir ki, hansısa bucağın tangensi

x-a bərabərdir.

Bu bucağın qiymətini tapmalısınız.

Gəlin bir nümunəyə baxaq.

Təsəvvür edin ki, yolda sizinlə qarşılaşıram.

Küçələrdə qarşılaşmalar tez-tez baş verir.

Sizdən belə bir sual soruşuram:

arctan -1 nəyə bərabərdir?

Başqa sözlə desək, -1-in

tərs tangensi nəyə bərabərdir?

Bunların hər ikisi eyni sualdır.

Əgər bunu fikrinizdə şifahi olaraq həll edə

bilmirsinizsə, vahid bir çevrə çəkin.

Ümumiyyətlə, gəlin tangensin nə olduğunu

yadımıza salaq.

Teta bucağının tangensi, bu tərs tangens deyil,

adi tangensdir, sin teta/cos teta

ifadəsinə bərabərdir.

Sin teta vahid çevrədəki y qiymətinə

bərabərdir.

Cos teta isə x-in qiymətinə bərabərdir.

Gəlin burada kiçik bir vahid çevrə

çəkək.

Bu, bizim vahid çevrəmizdir.

Burada hər hansı bir bucaq verilib.

Bunun teta bucağı olduğunu hesab edək.

Bunlar bizim (x, y) koordinatlarımızdır.

Y qiymətinin sin tetaya bərabər olduğunu

bilirik.

Gəlin burada bir qədər yer açaq.

SinΘ.

Buradakı x qiyməti isə cosΘ-dır.

Bəs tangens nəyə bərabərdir?

Tangens bu məsafə böl bu məsafəyə bərabərdir.

Bəlkə də, bu sizə cəbr dərslərindən
öyrəndiklərinizi xatırlada bilər.

Çünki başlanğıc nöqtəmiz (0, 0)-dır.

Bu y-də olan dəyişiklik/x-də olan dəyişiklikdir.

Yəni, buradakı tərəflərin nisbəti nəzərdə tutulur.

TanΘ buradakı xəttin əmsalı

hesab edilə bilər.

Bucaq əmsalı.

Bucaq əmsalı = tanΘ kimi yaza bilərik.

İndi isə bizə verilən nümunəyə qayıdaq.

Bizdən -1-in tərs tangensinin nəyə

bərabər olduğu soruşulur.

Bunu belə də yaza bilərik:

Arctan -1.

Vahid çevrədə hansı bucağın əmsalı

-1-ə bərabərdir?

Gəlin vahid çevrə çəkək.

Bu bizim vahid çevrəmizdir.

Bunlar qrafik oxlarıdır.

Əmsal -1 olmalıdır.

Həmin əmsal belə görünür.

O zaman, bu müsbət 1 əmsalı da belə görünərdi.

Bu hansı bucaqdır?

Əmsalın -1 olmağı üçün bu məsafə

bu məsafəyə bərabər olmalıdır.

Gördüyünüz kimi burada düzbucaqlı üçbucaq var.

Odur ki, bu bucaqlar bərabər olmalıdır.

Bu üçbucağın bucaqları 45, 45, 90 dərəcədir.

Bu, bərabəryanlı üçbucaqdır.

Bu iki bərabər bucağı topladıqda,
90 dərəcə olmalıdır.

Belə ki, bu 45, 45, 90-dır.

Əslində bu üçbucağın tərəflərinin

uzunluğunu bilməsək də olar.

Əvvəlki videolarımızda öyrəndik ki,

buradakı məsafə

kökaltında 2/2-ə bərabərdir.

Odur ki, y istiqamətindəki bu koordinat

kökaltında 2/2-dir.

X istiqamətindəki bu koordinat da

kökaltında 2/2-dir. Çünki bu uzunluq

bu uzunluğa bərabərdir.

Belə ki, kökaltında 2/2-nin kvadratı üstəgəl

kökaltında 2/2-nin kvadratı, 1 kvadratına bərabərdir.

Burada diqqət etməli olduğumuz əsas məqam

45, 45 ,90 ölçülü üçbucaqdır.

Buradakı üçbucağa diqqətlə nəzər salsaq,

bu bucağın 45 dərəcəyə bərabər

olduğunu deyə bilərik.

Ancaq x oxundan aşağıda olduğumuz üçün

bu -45 dərəcəlik bucaqdır.

Gəlin onu burada qeyd edək.

Burada bucaqların ölçüsünü
hesabladığımıza görə

dərəcədən istifadə etməliyik.

Tan -45 dərəcə = -1,

hansı ki, kökaltında 2/2 kvadratı üstəgəl

kökaltında 2/2 kvadratına bərabərdir.

Bunu belə də yaza bilərik:
arctan -1

-45 dərəcəyə bərabərdir.

İndi isə bu ifadələri

radiana çevirməliyik.

Burada 45 dərəcə vur pi radian/180 dərəcə

alınır.

Dərəcələr ixtisar olunur.

45/180 alınır.

Bu, 4-ə bərabərdir.

Buradakı mənfi işarəsini də unutmayaq.

-pi/4 radian.

Belə ki, arctan -1 = - pi/4 radian və ya

tərs tan -1 = -pi/4 radian.

Gəlin baxaq.

-pi/4 nöqtəsi

buradadır.

Buradakı qiymət -1-dir, çünki xəttin

bucaq əmsalı -1-dir.

Vahid çevrə ətrafında dövr etməyə davam
edə bilərik.

Buna 2pi əlavə edə bilərik.

Buna yenidən 2 pi əlavə edə bilərik.

Bu bucağın tangensini hesablasaq, onun da

qiyməti -1 olar.

Yaxud yenidən 2pi əlavə etsək,
yenə -1 alınar.

Bu nöqtəyə gələ bilərik.

Burada da tangens -1 olacaq.

Çünki bucaq əmsalı eynidir.

Tərs sinus videosunda da dediyimiz kimi

bir tərs funksiyanın müxtəlif nöqtələri ola bilməz.

Yəni, tan^(-1) (x) fərqli qiymətlər

ala bilməz.

O, -pi/4 ola bilməz.

O, 3pi/4 ola bilməz

və ya

2pi - pi/4,

4pi - pi

Bütün bunların hamısnı göstərə bilməz.

Odur ki, tərs tangens funksiyasının

qiymətlər çoxluğu təyin olunmalıdır.

Bunu tərs sinus funksiyasında

etdiyimiz kimi edə bilərik.

Onu, birinci və dördüncü rüblərə məhdudlaşdıracağıq.

Belə ki, tərs tangensin cavabı həmişə

həmin rüblərdə olacaq.

Ancaq cavab bu nöqtə və bu nöqtə ola bilməz.

Çünki tangens pi/2 və -pi/2-də

qeyri-müəyyən olaraq qalır.

Çünki əmsal şaqulidir.

X-dəki dəyişiklik 0-dır.

CosΘ 0-a bərabərdir.

0-a bölmə olmadığından, bu qeyri-müəyyəndir.

Gəlin burada yazaq.

Tan^(-1) (x)-in qimətlər çoxluğu.

Tangensin ala bildiyi qiymətlər hansılardır?

TanΘ = x olduqda, x-in ala biləcəyi

müxtəlif qiymətlər hansılardır?

Bu, əmsal üçün mümkün olan bütün qiymətlərdir.

Əmsal isə istənilən ədəd ola bilər.

Odur ki, x mənfi sonsuzluq və müsbət sonsuzluq

arasında istənilən yerdə ola bilər.

X istənilən qiyməti ala bilər.

Bəs Θ necə?

Dediyimiz kimi.

Sadəcə -pi/2-dən pi/2-ə qədər

olan qiymətlər.

pi/2 və -pi/2 buraya daxil deyil.

Çünki bucaq əmsalı şaqulidir.

Bu, adi tangens

funksiyasıdır.

Tərs tangens deyil.

Tangensin təyin oblastı...

Gəlin onu burada yazmayaq.

Dediyimiz kimi tərs tangens funksiyası

müxtəlif nöqtələri göstərə bilməz.

Bunların hamısını silirik.

Θ-nı məhdudlaşdırmalıyıq. Qiymətlər çoxluğu

-pi/2-dən böyük, pi/2-dən kiçik olmalıdır.

Qiymətlər çoxluğunu məhdudlaşdırdığımız üçün

bu nöqtəni və bu nöqtəni oraya daxil etmirik.

Burada sadəcə bir cavab alına bilər.

Hansı bucağın tangensi -1-ə bərabərdir?

Bizdən soruşulan sual budur.

Burada sadəcə bir cavab var.

Çünki bu, düşür və

çevrə ətrafında yenidən dövr etdikdə

tetanın buradakı qiymətini alırıq.

Cavabın doğru olduğundan əmin olmalıyıq.

Cavab: pi/4

Gəlin kalkulyatordan istifadə edərək
cavabı yoxlayaq.

Belə ki, tan^(-1) -1 buna bərabərdir.

Bunun -pi/4-lə eyni olub-olmadığına baxaq.

-pi/4 buna bərabərdir.

Bu -pi/4-dür.

Biz cavabı kalkulyatordan istifadə etmədən tapa bildik.

Bunun -pi/4 olduğunu tapmaq çətindir.