Vector Triple Product Expansion (very optional)
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0:00 - 0:03本次課我要講的是
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0:03 - 0:04三重積展開
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0:04 - 0:07它有一定的使用範圍和相應的公式
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0:07 - 0:09它實際上是三個向量的
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0:09 - 0:12外積的一種化簡
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0:12 - 0:12如果我取
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0:12 - 0:18a b和c的外積
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0:18 - 0:20我要做的是將其表示出來
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0:20 - 0:21我要把它表示成
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0:21 - 0:25向量的內積的差的形式
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0:25 - 0:26不僅僅是內積
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0:26 - 0:28而是用內積乘以不同的向量的形式
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0:28 - 0:29你將我明白我的意思
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0:29 - 0:31這將表達式化簡了一些
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0:31 - 0:33因爲外積一般是不容易算的
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0:33 - 0:34需要大量的計算
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0:34 - 0:36至少我對此容易弄亂
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0:36 - 0:38對於計算處理一些向量
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0:38 - 0:40這不是必須知道的知識
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0:40 - 0:42但是我講這個知識點的
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0:42 - 0:45原因是我看到
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0:45 - 0:48印度理工大學的入學試題中
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0:48 - 0:50會考察大家
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0:50 - 0:52對不同形式的公式
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0:52 - 0:53以及三重積展開的掌握程度
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0:54 - 0:55我們來看看如何化簡它
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0:55 - 1:02我們先做b與v的外積
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1:02 - 1:05在所有的情況下 我都假設……
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1:05 - 1:07假設已知向量a
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1:07 - 1:09我稱之爲―― 它將是
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1:09 - 1:12向量a的x分量乘以單位向量i
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1:12 - 1:16加上y分量 不是b
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1:16 - 1:21加上向量a的y分量乘以單位向量j
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1:21 - 1:24加上向量a的z分量
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1:24 - 1:26乘以單位向量k
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1:26 - 1:28我可以對b和c做相同的處理
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1:28 - 1:30如果我稱by
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1:30 - 1:31就是說
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1:31 - 1:34關於b向量在j分量方向上的長度
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1:35 - 1:38那麽我們先來求這個外積
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1:38 - 1:41如果我取這個外積
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1:41 - 1:43就需要求這個行列式
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1:43 - 1:45我寫在這
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1:45 - 1:47於是b×c
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1:47 - 1:51就等於一個行列式
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1:51 - 1:54我把i j k寫在上面
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1:54 - 1:58i j k 這都是由外積的定義得到的
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1:58 - 2:01沒有關於它的證明
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2:01 - 2:03這是是記錄內積的一種形式
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2:03 - 2:04如果你還記得
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2:04 - 2:06如何求三階行列式的值
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2:06 - 2:12然後我寫出b的x項 b的y項
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2:12 - 2:15和b的z項
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2:15 - 2:20然後對於c做同樣處理 有cx cy cz
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2:20 - 2:22於是它等於……
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2:22 - 2:24第一項是i分量
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2:24 - 2:29於是有i乘以b
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2:29 - 2:32忽略這一列和這一行
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2:32 - 2:39從而有bycz-bzcy
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2:39 - 2:41我就是忽略了這一列和這一行
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2:41 - 2:42只看這個二階的子行列式
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2:42 - 2:48這是減去bzcy
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2:48 - 2:52然後我們減去j分量
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2:52 - 2:54記住求行列式的值時符號是交替的
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2:54 - 2:56減去
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2:56 - 2:59我們忽略這一列和這一行
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2:59 - 3:01就得到bxcz
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3:04 - 3:05這是下標
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3:05 - 3:07希望能得到有趣的結果
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3:07 - 3:16從而減去bzcx
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3:16 - 3:19最後加上k分量
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3:19 - 3:25於是有bx乘以cy
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3:25 - 3:33減去bycx
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3:33 - 3:36這樣我們就處理了這個內積\N【口誤：應該是外積】
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3:36 - 3:38現在我要做的是……
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3:38 - 3:40抱歉 是處理了這個外積
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3:40 - 3:41我把大家弄暈了
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3:41 - 3:44我們剛剛求的是b和c的外積
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3:44 - 3:45現在我們要
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3:45 - 3:47取其與a的外積
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3:47 - 3:50要求a與這一項的外積
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3:50 - 3:52我們來算一下
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3:52 - 3:55我再建立一個矩陣
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3:55 - 3:59我把i j k寫在這
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3:59 - 4:01在寫上a的分量
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4:01 - 4:07就是ax ay和az
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4:07 - 4:09然後我們把這裡的向量擦去
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4:09 - 4:12我把它塗成黑色
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4:12 - 4:15用黑色的來做
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4:18 - 4:21這是負的j乘以x
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4:21 - 4:24我要做的是…… 這是減去j
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4:24 - 4:29我要把符號調換一下重新寫
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4:29 - 4:32這裡要變號
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4:32 - 4:34就有bzcx
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4:34 - 4:41減去bxcz
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4:41 - 4:43我把其他的都刪去
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4:43 - 4:46我就是把這個負號乘進來
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4:46 - 4:48這裡不能算錯
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4:48 - 4:51我把刷子的型號擴大一些
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4:51 - 4:53這樣擦起來方便
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4:53 - 4:55好的
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4:55 - 4:58我們還要消去這一項
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4:58 - 5:00我把刷子換回到原來的型號
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5:00 - 5:05現在我們來算這個外積
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5:06 - 5:11把它建立成一個行列式
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5:11 - 5:12我要關注那個量呢？
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5:12 - 5:14如果要把分量i j和k都算出來
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5:14 - 5:19那要花去很多時間
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5:19 - 5:21這裡我只計算i分量
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5:21 - 5:25只求出這個外積的x分量
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5:25 - 5:28然後我們可以求出分量i和j
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5:28 - 5:30從而就能得出
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5:30 - 5:32這一項化簡成什麽樣
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5:32 - 5:35這裡我們只計算i分量
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5:35 - 5:40這就等於i乘以……
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5:41 - 5:42我們考慮
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5:42 - 5:44這個二階矩陣
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5:44 - 5:46我們忽略有i的這一行和這一列
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5:46 - 5:49從而有ay乘以這些項
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5:49 - 5:52我寫出來
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5:52 - 5:57就是ay乘以bxcy
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5:57 - 6:07減去ay乘以bycx
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6:07 - 6:10然後再減去
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6:10 - 6:13這裡是用-az乘以這項
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6:13 - 6:14我們做一下
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6:14 - 6:22從而有-azbzcx
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6:22 - 6:24然後有-az乘以這項
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6:24 - 6:30就是加上azbxcz
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6:30 - 6:31現在我要做的是――
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6:31 - 6:34要證明它需要一個小技巧
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6:34 - 6:37我們需要得到想要的結果
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6:37 - 6:38我要加上
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6:38 - 6:40在減去相同的項
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6:40 - 6:46我要加上axbxcx
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6:46 - 6:49再減去axbxcx
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6:49 - 6:58這是-axbxcx
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6:58 - 7:00顯然表達式並未改變
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7:00 - 7:02我加上並減去了同一個項
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7:02 - 7:05我們看看能夠進行化簡
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7:05 - 7:09這只是三重積中的x分量
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7:09 - 7:10只是x分量
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7:10 - 7:12爲了化簡 我要提出一些因子
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7:12 - 7:16提出因子bx
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7:16 - 7:20我處理一下 提出因子bx
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7:20 - 7:22如果提出了因子
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7:22 - 7:26我將這個含有bx的項因式分解
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7:26 - 7:28再將這一項因式分解
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7:28 - 7:31還要將這一項因式分解
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7:31 - 7:37如果把bx提出來 就得到aycy
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7:37 - 7:39我不這麽寫
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7:39 - 7:43先對這一項因式分解
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7:43 - 7:46把axcx提出來
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7:46 - 7:50從而這一項就處理完了
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7:50 - 7:52然照射燃料再處理――
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7:52 - 7:53處理這一項――
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7:53 - 7:56加上…… 如果把bx提出來
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7:56 - 7:59就得到aycy
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7:59 - 8:00這一項用過了
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8:00 - 8:02我把這一項中的bx提出來
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8:03 - 8:08就剩下了azcz
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8:08 - 8:10這就是結果 我把因子bx提出來了
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8:10 - 8:15現在由這一項
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8:15 - 8:17我來提出因子-cx
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8:17 - 8:20提出-cx
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8:20 - 8:22如果要這麽處理
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8:22 - 8:24我們來考察這一項
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8:24 - 8:26將其提出後就得到axbx
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8:26 - 8:30得到axbx 將這項劃去
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8:30 - 8:33由這一項得到ayby
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8:33 - 8:35注意提出的是-cx
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8:35 - 8:39所以這是正的ayby
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8:39 - 8:47最後有azbz
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8:47 - 8:49這等於什麽？
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8:49 - 8:52綠色的這一項
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8:52 - 8:53就等於
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8:53 - 8:56a與c的內積
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8:56 - 9:01這是a與c的內積
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9:01 - 9:06它是這兩個向量的內積
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9:06 - 9:12所以這就是a與c的內積乘以bx
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9:12 - 9:18也就是乘以b的x分量
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9:18 - 9:21再減去…… 我們要做相同的處理
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9:21 - 9:25再次說明 這是a與b的內積
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9:25 - 9:30即減去a・b
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9:30 - 9:33乘以c的x分量
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9:33 - 9:34我們不能忘了
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9:34 - 9:36所有的這些都要乘以單位向量i
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9:36 - 9:39我們現在考慮的是
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9:39 - 9:43整個三重積的x分量 或者說是i分量
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9:43 - 9:48於是我們把這一項
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9:48 - 9:52乘以單位向量i
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9:52 - 9:54下面要做相同的事情
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9:54 - 9:55我就不具體做了
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9:55 - 9:57因爲這需要大量的計算
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9:57 - 10:01但這也並不是很難吧
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10:01 - 10:02這是關於x分量的
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10:02 - 10:04如果對j分量
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10:04 - 10:06做相同的處理
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10:06 - 10:08就要加上……
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10:08 - 10:10如果對j分量做相同的處理
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10:10 - 10:11我們只需進行相應的匹配
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10:11 - 10:15關於x分量有bx和cx
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10:15 - 10:19關於j分量有by和cy
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10:19 - 10:22這不是特殊的分量
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10:22 - 10:27這裡是a・c
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10:27 - 10:30這裡是-a・b
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10:30 - 10:32如果你不相信的話
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10:32 - 10:33可以自己驗證一下
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10:33 - 10:35這與我們之前所做的是一樣的
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10:35 - 10:38最後求z分量 或者說是k分量
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10:38 - 10:41這裡還有個括號
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10:41 - 10:47同樣的道理 這裡有bz和cz
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10:47 - 10:52這裡是a・b
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10:52 - 10:57這裡是a・c
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10:57 - 11:03這變成什麽？ 我們怎麽化簡？
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11:03 - 11:08我們可以將其展開
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11:08 - 11:10從這些項裏
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11:10 - 11:12提出a・c
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11:12 - 11:14注意這一項後面還要乘以i
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11:14 - 11:17我不應該跳這麽多步
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11:17 - 11:20我要大家理解我講的內容
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11:20 - 11:23如果把含有i這項展開
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11:23 - 11:24我不這麽寫
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11:24 - 11:26我這樣寫
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11:26 - 11:27這有些亂
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11:27 - 11:28讓我……
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11:28 - 11:32把i寫在這 這也是i
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11:32 - 11:34我只是將x分量分配進來
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11:34 - 11:35就是這個x單位向量
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11:35 - 11:36或者說是i單位向量
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11:36 - 11:39我對j做同樣的處理
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11:39 - 11:41我把j寫到這裡
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11:41 - 11:43可以把j放到這裡
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11:43 - 11:46對k也做同樣的處理
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11:46 - 11:50把k放在這 把k放在這
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11:50 - 11:51那麽這等於什麽？
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11:51 - 11:54這個部分
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11:54 - 11:57這個部分
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11:57 - 12:06就等於a・c乘以……
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12:06 - 12:07我寫出來
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12:07 - 12:11即等於bx<i>i</i>
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12:11 - 12:13加上by<i>j</i>
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12:13 - 12:16加上by<i>j</i>
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12:16 - 12:21再加上bz<i>k</i>
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12:21 - 12:23然後由此
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12:23 - 12:26我們再減去這些含有a・b的項
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12:27 - 12:28即減去
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12:28 - 12:33減去a・b乘以相同的東西
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12:33 - 12:35你會注意到
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12:35 - 12:36這一項就是向量b
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12:36 - 12:39當你處理這項時 這是向量b
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12:39 - 12:41你會得到向量c
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12:41 - 12:42我寫在這裡
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12:42 - 12:45將會得到向量c
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12:45 - 12:46就像這樣
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12:46 - 12:50我們化簡了這個三重積
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12:50 - 12:53這花了我們很長時間
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12:53 - 12:55但是這是一種化簡
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12:55 - 12:56它可能看起來不像
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12:56 - 12:58但是這需要進行計算 很容易處理
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12:58 - 13:01我用不同的顏色來區分
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13:01 - 13:07如果有a叉乘b 再叉乘――
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13:07 - 13:09我換一種顏色――
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13:09 - 13:10再叉乘c
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13:10 - 13:13我剛講過它等於……
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13:13 - 13:16一種考慮方式是它等於：
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13:16 - 13:17取第一個向量
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13:17 - 13:21乘以這兩個向量的
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13:21 - 13:22內積
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13:23 - 13:24這裡有個括號
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13:24 - 13:26我們要先算括號裏的項
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13:26 - 13:27這裡取第一個向量
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13:27 - 13:29就是向量b
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13:29 - 13:31然後將它乘以
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13:31 - 13:33其他兩個向量的內積
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13:33 - 13:39就是a・c
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13:39 - 13:41然後再減去
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13:41 - 13:44減去第二個向量
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13:44 - 13:47減去第二個向量乘以
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13:47 - 13:49其他兩個向量的內積
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13:49 - 13:54就是a・b
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13:54 - 13:55這樣就做完了
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13:55 - 13:57這就是三重積
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13:57 - 14:00這就是三重積展開
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14:00 - 14:01再次說明
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14:01 - 14:04你不必記住這些
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14:04 - 14:06你總可以……
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14:06 - 14:08你可以通過筆算
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14:08 - 14:10自己算出來
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14:10 - 14:11你不用記住它
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14:11 - 14:14但是如果向量非常複雜
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14:14 - 14:16或者這出現在數學競賽中
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14:16 - 14:18你就會很快地將它化簡成
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14:18 - 14:19內積的形式
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14:19 - 14:22這個三重積展開公式
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14:22 - 14:24是非常有用的
- Title:
- Vector Triple Product Expansion (very optional)
- Description:
-
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- Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 14:25
|
Fran Ontanaya edited Chinese (Traditional, Taiwan) subtitles for Vector Triple Product Expansion (very optional) |