Vector Triple Product Expansion (very optional)

O que quero fazer neste vídeo é
cobrir algo chamado

Expansão de Produtor Triplo,
ou Fórmula de Lagrange, algumas vezes.

Que na verdade é apenas uma simplificação
do produto vetorial de três vetores.

Se eu tomar o produto vetorial de A e
então B produto vetorial C.

Agora, o que vamos fazer é expressar isto,

podemos expressar isso como soma
e diferenças de produtos escalares.

Não apenas produto escalare mas
produtos com diferentes vetores.

Você vai ver.

Mas simplifica bem esta expressão pois
produtos vetoriais são difíceis de obter.

São computacionalmente extensos, e para
mim pelo menos, confusos.

Isto não é algo que você tem
que saber se irá lidar com vetores.

Mas é útil saber.

Minha motivação para fazer este vídeo é
que vi exercícios no vestibular do

Instituto de Tecnologia Indiano, que
parecem esperar que você saiba

a Fórmula de Lagrange ou a
Expansão de Produto Triplo.

Vejamos como podemos simplificar isto.

Para fazer isto, vamos começar
fazendo o produto vetorial, de B e C.

E em todas as situações assumirei
que tenho o vetor A.

Vou chamar isto de A, a componente
x de A, vezes o vetor unitário i,

mais a componente y do vetor A
vezes o vetor unitário j,

mais a componente z do vetor A
vezes o vetor unitário k.

E posso fazer o mesmo para B e C.

Então, se eu disser B subescrito y,

estou falando do que escala a
componente j no vetor B.

Primeiro vamos tomar este
produto vetorial aqui,

e se você me viu fazendo
produtos escalares,

sabe que gosto de fazer estes
pequenos determinantes.

E -- vou pegar tomar bem aqui --

Então, B produto vetorial C, será igual ao
determinante, e ponho i j k aqui em cima.

Esta é a definição de produto vetorial.

Então não é preciso mostrar
porque isso é verdade.

Este é só um jeito de
lembrar produto vetorial.

Se você lembra como tomar
determinantes de matrizes três por três.

E colocamos os termos B x,
coeficientes B y, e componentes B z.

E faça o mesmo para os Cs.

Cx, Cy, Cz.

E isto será igual a --

Primeiro você terá a componente i,

será a componente i vezes B,

então você ignora esta
coluna e esta linha,

então By, Cz,

menos, Bz, Cy, menos --

estou ignorando tudo isso e
olhando esta dois por dois aqui --

menos Bz, Cy .

E então queremos subtrair
a componente j.

Lembre-se que alternamos sinais
quando calculamos determinantes.

Subtraia aquilo, e tiramos aquela
coluna e aquela linha.

Então será, Bx, Cz.

Está um pouco monótono mas
terá um resultado interessante.

Bx, Cz, menos Bz, Cx.

E finalmente, mais a componente k.

k, teremos, Bx vezes Cy, menos By, Cx.

Então isto é, fizemos apenas
o produto escalar.

Agora queremos fazer --
desculpa fizemos o produto vetorial --

Não quero te confundir.

Tomamos o produto vetorial de B e C.

Agora faremos o produto
vetorial disto com A.

Ou, o produto vetorial de A
com esta coisa bem aqui.

Vamos fazer isto.

Ao invés de reescrever o vetor,
vou fazer outra matriz aqui.

Vou escrever meu i, j, k aqui em cima.

E então vou escrever as
componentes de A, teremos,

A sub x, A sub y, A sub z.

E vamos limpar isto um pouco.

Vamos ignorar, estamos olhando apenas

-- Não, eu quero fazer em preto.

Vamos fazer isto em preto para
que possamos apagar isto.

Isto é um menos j vezes isto.

Então o que farei é me
livrar do menos e do j,

mas o que farei é reescrever
isto com os sinais trocados.

Isto será --

Isto será se trocarmos os sinais,

Bz, Cx, menos Bx, Cz.

Então vou deletar todo o resto.

Apenas peguei o negativo e
multipliquei por isto.

Se não estiver fazendo
nenhum erro descuidado

--Vou deixar o pincel um pouco maior para
poder apagar mais eficientemente.--

Aí está. E então queremos nos
livrar daquilo também.

-- Vou colocar meu pincel
no tamanho normal de novo --

Agora vamos tomar este
produto vetorial.

Então novamente, monte
como um determinante.

E no que irei me focar,

porque eu levaria a eternidade se
fizesse as componentes i, j e k,

focarei apenas na componente i, apenas
na componente x deste produto vetorial

e então podemos verificar que teremos
o mesmo resultado para j e k

e esperançosamente veremos no
que isto se simplifica.

Então se nos focássemos
apenas na componente i.

Isto será, i vezes, e olhamos apenas
para esta matriz dois por dois.

Ignoramos a coluna i
e a linha i.

E temos,

Ay vezes tudo isto.

Vou fazer toda a multiplicação.

Ay vezes Bx, Cy, menos, Ay vezes By, Cx.

E então queremos subtrair,

teremos menos Az vezes isto.

Vamos fazer isto então.

Então é menos, ou negativo Az, Bz, Cx,

e então temos um Az negativo vezes isto,

que é mais Az, Bx, Cz.

Agora o que vou fazer,

e isto é um truque para
esta prova bem aqui.

Apenas para obter os
resultados que eu quero.

Vou adicionar e subtrair
exatamente a mesma coisa.

Vou somar um Ax, Bx, Cx,

e então vou subtrair um Ax, Bx, Cx.

Então claramente não
mudei esta expressão.

Eu apenas somei e
subtrai a mesma coisa.

E vejamos o que posso simplificar.

Lembre-se, isto é apenas a
componente x do nosso produto triplo,

apenas a componente x.

Mas pra fazer isto, vou fatorar.

Vou fatorar um B sub x,
deixe-me fazer isto.

Temos o B sub x.

Se eu fosse fatorar.

Vou fatorar apenas este fator
que tem um B sub x,

vou fatorar deste termo,

e vou fatorar deste termo.

Então se eu tirar o B sub x,

terei um Ay, Cy.

-- vou escrever um pouco diferente --

Vou fatorar primeiro deste aqui.

Então será um Ax, Cx.

A sub x, C sub x.

Então eu usei este.

E então terei

-- farei este aqui agora --

mais, se eu fatorar B sub x,
terei A sub y, C sub Y.

Agora eu usei este aqui,

e tenho este que irei fatorar B sub x,

então me resta um mais
A sub z, C sub z.

Estes são todos, então fatorei aquilo.

E agora destes aqui,

vou fatorar um menos C sub x.

Então se eu fizer isto

-- vou pra este termo aqui --

Terei Ax, Bx, quando fatoro.

Então Ax, Bx, e riscamos aquilo.

E aqui terei um Ay, By.

Lembre-se, estou fatorando
um menos C sub x,

então terei um mais A sub y, B sub y.

E finalmente terei um
mais A sub z, B sub z.

E o que é isto!

Bem, este aqui em verde,

é exatamente a mesma coisa que
o produto escalar de A e C.

Isto é o produto escalar dos vetores A e C

É o produto escalar,

deste vetor e daquele vetor.

Então é o produto escalar de A e C,
vezes a componente x de B,

menos,

-- vou fazer no mesmo --

menos, novamente, este é o produto
escalar de A e B agora,

menos A produto escalar B,

vezes a componente x de C.

E não podemos esquecer que tudo isto
foi multiplicado pelo vetor unitário i.

Estamos olhando para a componente x,

ou para a componente i,
de todo o produto triplo.

Então é tudo isto,

é tudo isto sendo, vezes
o vetor unitário i.

Agora, se fizermos exatamente o mesmo,

eu não vou fazer porque é
computacionalmente intensivo,

mas acho que não será um grande
salto de fé para você.

Isto é para a componente x.

Se eu fosse fazer exatamente o mesmo
para a componente y, para a componente j.

Seria mais --

se eu fizesse o mesmo para a componente j.

Podemos comparar padrões.

Nós temos, B sub x, C sub x.

Isto para a componente x.

Teremos B sub y, C sub y,
para a componente j.

E isto não é específico
para componente.

Então será, A produto escalar C bem aqui,

e menos A produto escalar B aqui.

Você pode verificar isto por
si mesmo se não acredita em mim.

Mas é exatamente o mesmo
processo que fizemos.

E finalmente para a componente z,
ou a componente k.

-- vou por um parênteses aqui --

A mesma ideia!

Teremos, B sub z, C sub z.

E então você terá, A produto escalar B,

e terá A produto escalar C bem aqui.

Agora, o que isto se tornará?

Como podemos simplificar isto?

Bem isto bem aqui,

nós podemos expandir.

Podemos fatorar um
A produto escalar C

de todos estes termos.

Lembre-se que isto será multiplicado por i

-- Na verdade, não vou pular tantos passos

porque quero que acredite
no que estou fazendo --

Então se expandirmos o i aqui.

-- Ao invés de reescrever,
vou fazer desta forma.

Um pouco mais bragunçado,

apenas para eu poder escrever
este i aqui e aquele i ali.

Eu estou apenas distribuindo aquele x,

ou o vetor unitário x,
ou vetor unitário i,

e vou fazer o mesmo para j.

Então posso por o j ali, e
posso por o j bem ali.

E então posso fazer a mesma coisa para k.

Coloque o k ali, e então coloque o k ali.

E agora o que são estes?

Bem, esta parte bem aqui,

é exatamente a mesma coisa que

A produto escalar C, B sub x vezes i
mais B sub y vezes j, mais B sub z vezes k

E disto, vamos subtrair tudo isto,

A produto escalar B, iremos
subtrair A produto escalar B,

vezes exatamente a mesma coisa!

E você irá notar qe isto aqui é
a mesma coisa que o vetor B!

Isto é o vetor B, e quando você faz
aqui, você terá o vetor C!

Então vou escrever aqui.

Você terá apenas o vetor C.

E simples assim,

temos uma simplificação para
nosso produto triplo!

Nos levou muito tempo para chegar aqui,

mas isto é uma simplificação.

Pode não parecer uma,

mas computacionalmente é!

É mais fácil de se fazer.

Se eu tiver

-- vou tentar usar cores --

A produto vetorial B produto vetorial
-- vou fazer com cores diferentes -- C.

Acabamos de ver que isto é equivalente a,

e um jeito de pensar sobre isto é.

Você pega o primeiro vetor,

vezes o produto escalar do primeiro
vetor neste produto vetorial aqui,

este que temos os parênteses
em volta, o que temos que fazer primeiro.

Você pega o primeiro vetor,
então o vetor B,

e você multiplica isto vezes o
produto escalar dos outros dois vetores.

Então A produto escalar C,

e disto você subtrai o segundo vetor,

multiplicado pelo pelo produto
escalar dos outros dois vetores.

A produto escalar B.

E acabamos!

Esta é nossa expansão do produto triplo.

Novamente, isto não é uma
coisa que você tem que saber,

você sempre pode multiplicar,

você pode de fato fazer isto,

fazer isto a mão, você não
tem que saber isto.

Mas se você tiver vetores bem cabeludos,

ou se isto é um tipo de
competição matemática.

Algumas vezes isto
simplifica rápido

reduzindo a produtos escalares.

Isto é útil de se saber.

A Fórmula de Lagrange,

ou Expansão do Produto Triplo.

[traduzido por: Khallil Fernandes]