Pythagorean Theorem

Pythagorean Theorem

.

Bu videomuzda, matematiğin en ünlü teoremlerinden birisi

hakkında konuşacağız.

Pisagor teoremi.

.

Pisagor teoremi, dik açılı üçgenlere ilişkin.

Dik açılı üçgen neydi hatırlayalım,

iç açılarından bir tanesi 90 derece olan üçgen.

Buraya bir tane dik açılı üçgen çizdim.

.

Eğer daha önce hiç dik açılı üçgen görmediyseniz, bunu şöyle düşünebilirsiniz:

Eğer bu kenar sağa veya sola doğru gidiyorsa,

diğer kenar aşağıya veya yukarıya doğru gitmeli.

Bu kenarlar birbirine dik, başka bir deyişle aralarındaki açı 90 derece,

yani dik açı.

.

Pisagor teoremi bize der ki,

eğer dik açılı bir üçgenden söz ediyorsak,

yani iç açılarından birisi 90 derece olan bir dikdörtgenden söz ediyorsak,

bu durumda

kenarların arasındaki ilişki bu olmalıdır.

Bu a kenarı, bu b kenarı, bu da c kenarı.

Hatırlayalım, c kenarı 90 derecelik dik açının tam

karşısındaki kenar.

Hangi kenarın hangisi olduğuna dikkat etmeliyiz.

Pisagor teoremi der ki, ancak ve ancak bu bir dik açılı üçgen ise,

bu durumda a2 artı b2,

c2'ye eşit olacaktır.

Ve biz bu bilgiyi kullanabiliriz.

eğer bunlardan iki tanesini biliyor isek,

bu teoremi kullanarak üçüncüyü bulabiliriz.

Burada bir terimden bahsetmek istiyorum.

Uzun kenar, yani dik açının tam karşısındaki kenar,

bizim örneğimizde bu kenara c demiştik,

bu kenar hipotenüs olarak adlandırılıyor.

.

.

Çok basit bir fikir için fazla havalı bir isim.

Dik açılı bir üçgenin uzun olan kenarı,

yani 90 derecelik dik açının karşısındaki kenar hipotenüs olarak adlandırılıyor.

Pisagor teoremini artık öğrendiğimize göre,

kullanmaya başlayabiliriz.

Çünkü bir şeyi öğrenmek güzel olsa da,

asıl eğlenceli olan öğrendiklerimizi kullanmak.

Diyelim ki böyle bir dik üçgenim var.

Daha düzgün çizmeye çalışayım.

..

Bu dik açılı bir üçgen.

Bu kenarın uuzunluğu 9.

Buradaki kenarın uzunluğu ise 7.

Sorum şu: buradaki kenarın uzunluğu nedir?

Bu kenarı da c olarak adlandıralım.

Bu durumda, c kenarı gene hipotenüs oldu.

Üçgenin en uzun kenarı.

İki kenarın karelerinin toplamının,

c'nin karesine eşit olacağını biliyoruz.

Yani Pisagor teoremine göre, 9'un karesi artı 7'nin karesi,

c'nin karesine eşit olacak.

9'un karesi 81, 7'nin karesi 49.

80 artı 40, 120 eder.

Sonra 1 ile 9'u toplarsak, bu da 10 eder,

yani burasının toplamı 130 olur.

Bunu şu şekilde yazayım.

Eşitliğin sol tarafı 130'a eşit olacak,

ve bu da c'nin karesine eşit.

Bu durumda c neye eşittir?

.

c kare eşittir 130 olduğuna göre,

c'nin karekök 130'a eşit olduğunu söyleyebiliriz.

Dikkat edin, burada sadece ana kökü alıyorum,

çünkü c pozitif olmak zorunda.

Bir uzaklığı bulmaya çalıştığımız için,

negatif karekökü alamayız.

Burada sadece ana kökü alacağız.

.

Bunu biraz sadeleştirebilir miyiz düşünelim, daha önce

köklü sayıları nasıl sadeleştirebileceğimizi öğrenmiştik.

130'u 2 çarpı 65 olarak yazabiliriz. 65'i de 5 çarpı 13 olarak yazabiliriz.

Bu çarpanların hepsi asal sayılar, dolayısı ile bu sayı olabilecek en sade halinde.

c eşittir karekök 130.

04:25

Bir örnek daha yapalım.

Pisagor teoremini burada bırakacağım ki,

ne yaptığımızı hatırlayabilelim.

.

Diyelim ki böyle bir üçgenimiz olsun.

.

Çizeliiim, böyle gözüküyor üçgenimiz.

.

Buradaki dik açı.

Bu kenarı a olarak adlandıracağım.

Bu kenarın uzunluğu 21 olsun.

Bu kenarın uzunluğu ise 35 olsun.

Hemen '21'in karesi artı 35'in karesi

a'nın karesine eşit olacak' diye düşünebilirsiniz.

Ancak dikkat edin, bu durumda 35 hipotenüs.

35, c kenarı.

Dik üçgenin en uzun kenarı.

Pisagor teoremi bize ne söylüyordu,

en uzun olmayan kenarların karelerinin toplamı, en uzun kenarın karesine eşit.

Yani a kare artı 21'in karesi eşittir

35'in karesi olacak.

Bunu aklınızda tutmanız çok önemli,

buradaki c, her zaman dikdörtgeninizin en uzun kenarı.

.

En uzun kenar, yani dik açının karşısındaki kenar.

.

Yani a2 artı 21'in karesi eşittir 35'in karesi olacak.

Bu sayı nedir?

Hesap makinesi kullanmadan bulalım.

21'in karesi. 21 çarpı 21.

1 kere 21, 21 eder ve 2 kere 21,42 eder.Bu 441.

35'in karesi.

Bunu da hesap makinesi kullanmadan bulalım.

35 çarpı 35: 5 kere 5, 25.

2'yi taşıyalım.

5 kere 3 eşittir 15, artı 2, eşittir17.

Buraya bir 0 koyup bundan kurtulalım.

3 kere 5, 15.

3 kere 3, 9 artı 1, 10 eder.

5 artı 0, 5 eder. 7 artı 5, 12. 1 artı1, 2.

1'i de aşağı indirelim.

1225.

Bu bize a kare artı 441'in

35'in karesine yani 1225'e eşit olacağını söylüyor.

Şimdi, bu eşitliğin her iki tarafından da

441'i çıkartabiliriz.

.

Sol tarafta sadece a kare kaldı.

Sağ tarafta durum nedir?

5 eksi 1, 4 eder.

.

.

eksi 441.

.

.

.

Bu bundan daha büyük, ancak 2, 4'ten daha büyük değil,

ödünç almamız gerekecek.

Burası 12 oldu.

.

Bu da 1 oldu.

1, 4'ten daha büyük değil yani gene borç almamız gerekecek.

.

Bundan kurtulalım.

Burası 11 olur.

5 eksi 1, 4.

12 eksi 4, 8 eder.

11 eksi 4, 7 eder.

Yani a kare eşittir 784.

Bu durumda,

a eşittir karekök 784 yazabiliriz.

Bunu da hesap makinesi kullanmadan bulalım.

.

.

Bu sayının asal çarpanlarını bulacağız. 2 çarpı kaç olarak yazabiliriz?

392.

.

Peki bunu 2 çarpı kaç olarak yazabiliriz?

Bu da 2 çarpı 196 olarak yazılabilir.

.

.

196'yı da 2 çarpı 98 olarak yazabiliriz.

.

Dikkatli olalım da hata yapmayalım.

Devam edelim.

98'i 2 çarpı 49 olarak yazabilirim.

Bunun ne olduğunu da eminim biliyorsunuz.

Dikkat edin, burada 2 çarpı 2 çarpı 2 çarpı 2 var.

Yani 2'nin dördüncü kuvveti.

Yani burası 16 çarpı 49.

a eşitir karekök 16 çarpı 49.

Bu sayıları, tam kare oldukları için seçmiştim.

16'nın karekökü 4, çarpı,

49'un karekökü de 7.

Bu 28'e eşit.

Yani, Pisagor teoremine göre bu kenarın uzunluğu 28'e eşit olacak.

.

Başka bir örnek yapalım.

.

Diyelim ki üçgenimiz bu olsun.

Bunu daha büyük çizeyim.

.

.

Bu dik açılı bir üçgen.

Bu kenar 24.

Bu kenar 12.

Bu kenara b diyelim.

Hatırlayalım, hangi kenarın hipotenüs olduğuna dikkat etmemiz gerekiyor.

En uzun kenar, 90 derecelik

açının karşısındaki kenar.

Diyebilirsiniz ki, en uzun kenarın bu olduğunu bilmiyorum.

b'nin ne olduğunu henüz bilmiyorum,

hangisinin en uzun olduğunu nasıl bilebilirim?

Bu durumda, dik açının karşısındaki kenarın

en uzun olduğunu hatırlayın.

Eğer bu hipotenüs ise, bunun karesi artı bunun karesi

eşittir 24'ün karesi olacak.

b'nin karesi artı 12'nin karesi

eşittir 24'ün karesi.

Eşitliğin her iki tarafından 12'nin karesini çıkartabiliriz.

Eşitlik bkare eşittir 24'ün karesi eksi 12'nin karesi halini aldı.

b eşittir karekök 24'ün karesi artı 12'nin karesi.

.

Bu kez hesap makinesi kullanarak hesaplayalım.

.

.

Geçtiğimiz sefer akıldan hesaplarken epey uğraştım, ancak kendime geliyorum.

.24'ün karesi eksi 12'nin karesi, bunun karekökü, 24.78.

Çok hızlı gittik, geri dönüp adım adım devam edelim.

.

24'ün karesi eksi 12'nin karesi, 432'ye eşit.

Yani b, karekök 432'ye eşit.

Bu ifadeyi sadeleştirebiliyor muyuz bakalım.

Cevabın ne olduğunu gördük, ancak bize gene de devam edelim.

.

Bunu 2 çarpı 216 olarak yazabiliriz.

.

.

.

.

.

216'yı 2 çarpı 108 olarak yazabilirim.

108'i 4 çarpı ne olarak yazabilirim?

25 kere 4 olsa 100 eder, demek ki 2 tane daha 4 gerekecek, 27 çarpı 4.

27'yi de 9 çarpı 3 olarak yazabilirim.

Burada 2 çarpı 2 var, çarpı 4, demek ki burası 16.

16 çarpı 9 çarpı 3.

.

.

.

Burası,

b eşittir karekök 16 çarpı 9 çarpı 3 halini aldı.

16'nın karekökü 4, ve 9'un karekökü de 3.

çarpı 3'ün karekökü,

bu da eşittir 12 kök 3.

Yani b eşittir 12 karekök 3.

Umarım bu videoyu yararlı bulmuşsunuzdur.