Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa

Pomówmy teraz o tej, która jest zdecydowanie jedną z najbardziej znanych

teorii w całej matematyce.

Jest to Twierdzenie Pitagorasa.

Mówi ona o trójkącie prostokątnym.

Więc trójkąt prostokątny jest to trójkąt, który w jednym kącie

ma 90 stopni.

Narysowałem go tutaj, to jest

nasz kąt o miarze 90 stopni.

Jeśli nigdy wcześniej nie widziałeś kąta o 90 stopniach

pomyśl o tym tak: jeżeli ten bok idzie prosto od lewej do prawej,

a ten bok idzie prosto z góry na dół.

To te proste są prostopadłe, a kąt między nimi ma 90 stopni,

i jest to kąt prosty.

Twierdzenie Pitagorada mówi nam, że jeżeli mamy do czynienia

z trójkątem prostokątnym - pozwól mi go narysować na dole -

mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym - nie "złym" trójkątem (żart) -

mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym, który

jest trójkątem mającym kąt prosty lub 90 stopni w kącie,

wtedy zachodzi zależność między jego bokami.

Więc to jest bok a, to jest bok b i to jest bok c.

I pamiętaj, że bok c, z którym mamy do czynienia tutaj

jest naprzeciwko kąta o miarze 90 stopni.

To jest ważne, aby śledzić która strona jest która.

Twierdzenie Pitagorasa mówi nam, że tylko jeżeli jest to

kąt prosty, wtedy kwadrat długości boku a dodać kwadrat dł. boku b

równe jest kwadratowi dł. boku c.

I możemy wykorzystać tę infromację.

Jeżeli znamy dwa z nich, możemy użyć tego twierdzenia

jako wzór do rozwiązania trzeciego boku.

Dam ci tutaj jeszcze jedną definicję.

Ten długi bok, bok, który jest najdłuższym bokiem

naszego trójkąta prostokątnego, który leży naprzeciw naszego

kąta prostego, jest tutaj - w tym przykładzie to bok c - jest on

nazywany przeciwprostokątną.

Bardzo fantazyjne słowo dla bardzo prostej rzeczy.

Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego - bok, który jest

naprzeciw kąta o 90 stopniach, nazywany jest przeciwprostokatną.

Teraz, kiedy już znamy Twierdzenie Pitagorasa,

użyjmy go w rzeczywistości.

Bo jedno to coś wiedzieć, a drugie umieć tego używać.

Więc, powiedzmy, że mam następujący trójkąt prostokątny.

Pozwól mi narysować go trochę bardziej schludnego niż ten.

To jest trójkąt prostokątny.

Ten bok tutaj ma długość 9.

Ten bok tutaj ma długość 7.

I moje pytanie brzmi, jaką długość ma ten bok tutaj?

Możemy go nazwać - nazwijmy go c.

Dobrze, c, w tym przypadku ponownie jest przeciwprostokątną.

Jest to najdłuższy bok.

Więc wiemy, że suma kwadratów innych boków jest

równa kwadratowi c.

Więć, według Twierdzenia Pitagorasa, 9x9 plus 7x7

jest równa kwadratowi c.

9x9 to 81, a 7x7 to 49.

80 plus 40 to 120

Zamierzamy mieć 1 plus 9, to jest jedna dziesiątka.

więc to jest równe 130.

Pozwól mi napisać to w ten sposób.

Lewa strona będzie równa 130

i jest to równe kwadratowi c.

Więc, ile będzie równać się c?

Pozwól mi przepisać to tutaj.

Kwadrat c jest równy 130, chociaż moglibyśmy także powiedzieć, że c jest równe

pierwiastkowi kwadratowemu z 130.

I zauważ, że biorę tylko główny pierwiastek,

ponieważ c musi być dodatnie.

Mamy do czynienia z odległością (długością), wiec nie możemy wziąć

ujemnego pierwiastka kwadratowego.

Więc weźmiemy tutaj tylko główny

pierwiastek kwadratowy.

I jeżeli chcemy uproszczenia tego troszeczkę, musimy wiedzieć

jak uprościć nasz wynik.

130 to 2x65, a 65 to 5x13.

Dobrze, mamy liczby pierwsze. Więc chodzi takie uproszczenie,

jakie tylko mogę zrobić. C jest równe

kwadratowi 130.

Zróbmy jeszcze jeden z nich

Chcę zachować Twierdzenia Pitagorasa tutaj,

musimy tylko zawsze pamiętać,

do czego będziemy sie odnosić.

Więc powiedzmy, że mam trójkąt, który wygląda o tak.

Zobaczmy.

Powiedzmy, że wygląda jak ten.

I to jest kąt prosty, tutaj.

Powiedzmy, że to jest bok. Nazwę go a.

Ten bok ma długość 21.

A ten bok tutaj ma długość 35.

Więc twój instynkt, żeby rozwiązać a może powiedzieć: " Hej, kwadrat 21

plus kwadrat 35 będzie równy kwadratowi a.

Ale zauważ, że w tej sytuacji 35 jest przeciwprostokątną.

35 to nasze c.

Jest to najdłuższy bok naszego trójkąta prostokątnego.

Więc co nam mówi Twierdzenie Pitagorasa, to to, że

kwadrat a plus kwadrat drugiego, nienajdłuszego boku

- innej nieprzeciwprostokątnej (przyprostokątnej) - kwadrat a plus kwadrat 21

jest równy kwadratowi 35.

Zawsze musisz pamiętać, że kwadrat c ten tutaj,

c, o którym mówimy zawsze będzie

najdłuższym bokiem twojego trójkąta prostokątnego.

Bok który znajduje się naprzeciwko naszego kąta prostego.

To jest bok, który jest naprzeciwko kąta prostego.

Więc kwadrat a plus kwadrat 21, jest równy kwadratowi 35.

I co my tutaj zrobimy?

Kwadrat 21 - mam pokusę, aby skorzystać z kalkulatora, ale nie zrobię tego.

Więc 21x21: 1x21 to 21, a 2x21 to 42.

To jest 441.

Kwadrat 35.

Jeszcze raz mam pokusę, żeby użyć kalkulatora, ale nie zrobię tego.

35x35: 5x5 to 25

Przenosimy 2.

5x3 to 15 plus 2 to 17.

Połóż 0 tutaj, pozbyj się tej rzeczy.

3x5 to 15.

3x3 to 9, 9 plus 1 to 10.

Więc to jest 11 - pozwól mi to uporządkować - 5 plus 0 to 5,

7 plus 5 to 12, 1 plus 1 to 2, przenosimy na dół 1.

1225.

Więc to mówi nam, że kwadrat a plus 441 jest równy

kwadratowi 35, który wynosi 1225.

Teraz możemy odjąć 441 od

obu stron równania.

Po lewej stronie zostaje tylko kwadrat a.

A co mamy po prawej stronie?

Mamy 5 minus 1, to jest 4.

Chcemy - pozwól mi napisac małą argumentację tutaj.

- 441.

Więc po lewej stronie, jeszcze raz, one anulują się.

Kwadrat a jest równy - i wtedy co my mamy

po prawej stronie?

To jest większe niż to, ale 2 nie jest większe niż 4,

więc pożyczmy.

Tak, że zostaje 12 lub przegrupowane,

zależy jak chcesz na to spojrzeć.

Tu zostaje 1.

1 nie jest większe niż 4,

więc musimy pożyczyć znowu.

Pozbądźmy się tego.

I wtedy to zostaje 11.

5 minus 1 to 4.

12 minus 4 to 8.

11 minus 4 to 7.

Więc wynik kwadratu to 784

Możemy napisać, czemu jest równy

pierwiastek kwadratowy z 784.

I ponownie, mam wielką pokusę, żeby użyć kalkulatora,

ale nie.

Nie używajmy go.

Więc jest to dwukrotność czego?

392.

392 razy 2 to 784, tak.

I wtedy to jest dwukrotnością, czego?

To jest 2 razy 196

Dobrze.

Tak, to 196 razy 2.

196 to 2 razy - nie jestem pewien czy nie zrobiłem

jakiegoś błędu w obliczeniach.

196 to 2 razy 98.

Zjeźdźmy trochę niżej, tutaj.

98 to 2 razy 49.

I oczywiście, wiemy co to jest.

Zauważ, że mamy 2 razy 2 razy 2 razy 2.

Więc tj. 2 do czwartej potęgi.

Więc to jest 16 razy 49.

Czyli wynik pierwiastka kw. to 16x49.

Wybrałem te liczby, bo są one doskonałymi kwadratami.

Wynik pierwiastka kw. z 16 to 4,

razy pierwiastek z 49, czyli 7.

Więc jest on równy 28.

Więc ten bok tutaj jest równy 28,

według Twierdzenia Pitagorasa.

Zróbmy jeszcze jeden przykład.

Ćwiczeń nigdy dość.

Powiedzmy, że mam inny trójkąt.

Narysuję tutaj duży.

Proszę.

To mój trójkąt.

To jest kąt prosty.

Ten bok ma 24.

Ten bok ma 12.

Wyliczmy ten bok tutaj, bok b.

Teraz, jeszcze raz, jak zawsze zidentyfikujemy przeciwprostokątną.

Jest to najdłuższy bok, bok naprzeciwko

kąta 90 stopni.

Możesz powiedzieć: "Hej, nie wiem że to jest najdłuższy bok.

Nie wiem jeszcze czym jest b.".

Jak się dowiedzieć, który jest najdłuższy?

Tutaj, w tej sytuacji powiesz, dobrze, to jest bok

naprzeciwko kąta 90 stopni.

Więc jeśli to jest przeciwprostokątna, wtedy ten kwadrat plus

ten kwadrat jest równy 24^2

Więc według Teorii Pitagorasa b kwadrat plus 12 kwadrat

jest równe 24 kwadrat.

Możemy też odjąć 12 kwadrat od obu stron.

Powiedzmy, że b^2 jest równe 24^2 odjąć 12^2 (b^2=24^2 - 12^2)

jak wiemy to jest 144 i wtedy

b jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z 24^2 - 12^2.

Teraz mam ochotę użyć kalkulatora i ulegnę pokusie.

Więc zróbmy to.

ostatni raz był tak bolesny, że wciąż zdrowieję.

Więc 24^2 - 12^2 jest równe 24,78.

Więc rzeczywiście zmienia w - pozwól mi zrobić to bez (nawiasu) - dobrze,

zrobię to w połowie.

24^2 - 12^2 jest równe 432.

Więc b równa się pierwiastek kwadratowy z 432

Spójrzmy na ten czynnik ponownie.

Widzimy jaka jest odpowiedź, ale możemy ją napisać w rodzaju

uproszczonej radykalnie formy.

To jest 2 razy 216.

216 - pozwól mi zobaczyć.

Sądzę, że jest perfekcyjnym kwadratem.

Pozwól mi wziąć pierwiastek kwadratowy z 216.

Nie, nie jest perfekcyjnym kwadratem.

Więc idziemy dalej.

216 to 2 razy 108

108, możemy powiedzieć, jest 4 razy co?

25 plus reszty 2 - 4 razy 27, które jest równe 9 razy 3.

Więc co my tu mamy?

Mamy 2 x 2 x 4, wiec tutaj jest 16.

16 x 9 x 3

Racja?

Użyję innego kalkulatora.

16 x 9 x 3 jest równe 432.

Więc to będzie wynik. b jest równe pierwiastek kw.

z 16 x 9 x 3, co jest równe pierwiastek kw.

z 16 (który jest równy 4) x pierwiastek. kw. z 9

(który wynosi 3) x pierwiastek kw. z 3, który jest równy

12 pierwiastków z 3.

Więc b wynosi 12 x pierwiastek kw. z 3.

Mam nadzięję, że będzie to użyteczne.