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Hablemos ahora del que es fácilmente uno de los
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más famosos teoremas en todas las matemáticas
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y ese es el Teorema de Pitágoras
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El Teorema Pitagórico
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y funciona con triángulos rectángulos
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un triángulo rectángulo es un triángulo
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que contiene un ángulo de 90 grados
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asi, en la forma que yo lo dibujo aquí,
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este es nuestro ángulo de 90 grados
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si usted nunca antes había visto un ángulo de 90 grados
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la forma en que lo reconocemos es, si este lado va recto derecha a izquierda y
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este lado recto arriba y abajo
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Estos lados son perpendiculares,
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o el ángulo entre ellos mide 90 grados, o es un ángulo recto.
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Y el Teorema Pitagórico nos dice que si tratamos
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con un triángulo rectángulo -- déjeme escribir esto--
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si estamos tratando con un triángulo rectángulo
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no otro tipo de triángulo
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si estamos tratando con un triángulo rectángulo, el cual es un
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triángulo que tiene un ángulo recto, o contiene un ángulo de 90 grados
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entonces la relación entre sus lados es esta
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así, este lado es a, este lado es b, y este lado es c.
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y recuerde, el c con el que estamos tratando aquí
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es el lado opuesto al ángulo de 90 grados
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es importante tener en mente cual lado es este.
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El Teorema Pitagórico nos dice que si y si lo si este es
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un triángulo rectángulo, entonces el cuadrado de a más
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el cuadrado de b será igual al cuadrado de c
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y nosotros podemos usar esta información.
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Si conocemos dos de estos, entonces podemos usar este teorema,
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esta fórmula para hallar el tercer lado
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y aquí le daré otra pieza de terminología:
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este lado largo, el lado que es el más largo de nuestro
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triángulo rectángulo, ese lado que es opuesto a nuestro
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ángulo recto, --este de aquí-- es c en el ejemplo--
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este lado es llamado hipotenusa
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HIPOTENUSA
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una palabra muy ostentosa para una idea muy simple
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El lado más largo de un triángulo rectángulo, el lado que
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es opuesto al ángulo de 90 grados, es llamado hipotenusa
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Ahora que conocemos el teorema Pitagórico,
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aprendamos a usarlo
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Porque una cosa es saber algo, pero
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más divertido es usarlo
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digamos que tengo el siguiente triángulo rectángulo
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déjeme dibujarlo un poco parecido
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El siguientre triángulo rectángulo
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el triángulo rectángulo
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Este lado de aquí tiene longitud 9
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Este lado de aquí tiene longitud 7
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y mi pregunta es,¿ cuál es este lado de acá?
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quizá podemos llamarlo -- bien, podemos llamarlo c.
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bien, c, en este caso, una vez más, es la hipotenusa
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es el lado más largo
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como sabemos que la suma de los cuadrados de los otros lados
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va a ser igual al cuadrado de c
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por el teorema Pitagórico, el cuadrado de 9 más el cuadrado de 7
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será igual al cuadrado de c
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9 al cuadrado es 81, más el cuadrado de 7 es 49,
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80 más 40 es 120
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nosotros tendremos el 1 más el 9, eso es otro 10,
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así esto será igual a 130.
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déjeme escribirlo así:
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El lado izquierdo será igual a 130, y eso es
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igual al cuadrado de c.
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bueno, a qué va a ser igual c?
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déjeme re-escribirlo aquí
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c cuadrado es igual a 130, o podemos decir que
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c es igual a la raíz cuadrada de 130
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y note que, aquí, solo estoy tomando la raíz principal
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porque c tiene que ser positiva dado que estamos
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tratando con una distancia, entonces no podemos tomar tomar
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la raíz cuadrada negativa
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así que aquí, solo tomaremos
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la raíz cuadrada principal
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y si queremos simplificar esto un poco,
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ya sabemos como simplificar nuestras radicales
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130 es 2 por 65, el cual es 5 por 13
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bien, todos esos son números primos, así que eso es
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para nosotros tan simple como obtener c igual
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c igual a la raíz cuadrada de 130
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Hagamos otro de estos.
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Tal vez quiero conservar este teorema Pitagórico por
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ahí, de tal forma que siempre recordemos
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a lo que nos estamos refiriendo
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Así que supongamos que tengo un triángulo que se ve como este
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veamos
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Digamos que luce como este
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se parece a este
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y este es el ángulo recto, este.
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Digamos que este lado, voy a llamarlo a
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El lado, va a tener una longitud 21
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y este lado de aquí va a tener una longitud 35
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así, su instinto para resolver para a, puede ser, hey,
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21 al cuadrado más 35 al cuadrado será igual al cuadrado de a
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pero note que, en esta situación, 35 es la hipotenusa
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35 es nuestra c
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es el lado más largo de nuestro triángulo rectángulo
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así que el teorema Pitagórico nos dice que
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a al cuadrado más el otro lado --no el más largo--
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el otro lado distinto de la hipotenusa-- al cuadrado
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esto es a al cuadrado será igual al cuadrado de 35
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usted tiene que recordar siempre, el cuadrado de c, aquí,
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lado c, del que estamos hablando, es y será siempre el lado más
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largo de nuestro triángulo rectángulo
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el lado que es opuesto a nuestro ángulo recto.
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Este es el lado que está opuesto al ángulo recto
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así, a al cuadrado más 21 al cuadrado es igual a 35 al cuadrado
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¿y qué tenemos aquí?
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21 al cuadrado --soy tentado a usar una calculadora, pero no --
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así, 21 por 21 : 1 por 21 es 21: 2 por 21 es 42, luego es 441
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21 al cuadrado es 441
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35 al cuadrado
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una vez más, estoy tentado con la calculadora, pero no la usaré
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35 por 35: 5 por 5 es 25
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llevo el 2
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5 por 3 es 15, más 2 es 17
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pongo un 0 aquí, tengo en cuenta esto
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3 por 5 15
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3 por 3 es 9, más 1 por 10
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eso es 11--déjeme hacer esto en orden-- 5 más 0 es 5,
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7 más 5 es 12, 1 más 1 es 2,
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1225
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esto nos dice que el cuadrado de a más 441 será
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igual al cuadrado de 35, que nos da 1225
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Ahora, podemos restar 441 a ambos
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lados de esta ecuación
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El lado izquierdo comienza a ser justo un cuadrado
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en el lado derecho, qué tenemos?
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tenemos 5 menos 1 que es 4
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queremos -- déjeme escribir esto un poco más cerca aquí--
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menos 441
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el lado izquierdo, de nuevo se cancelan
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un cuadrado es igual a ---y entonces en el lado derecho
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qué tenemos que hacer?--
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Eso es mayor que --- , pero 2 no es mayor que 4, así que
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vamos a tener que prestar
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luego esto se convierte en 12, o reagrupado, --dependendiendo
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de como usted lo quiera ver--
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eso se convierte en 1
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1 no es mayor que 4, así que tenemos que
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prestar de nuevo
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Lleve la cuenta de eso
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y luego esto se convierte en 11
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5 menos 1 es 4
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12 menos 4 es 8
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11 menos 4 es 7
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así a al cuadrado es igual a 784
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y podemos escribir, entonces, que
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a es igual a la raíz cuadrada de 784
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y una vez más, estoy tentado a usar la calculadora,
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pero,... bien, mejor no
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no la usemos
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así, esto es 2 por ... , cuánto?
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392
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y luego este 390 por 2 es 780, si
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y luego esto es 2 por --- cuánto?
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esto es 2 por 19 6
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eso es correcto
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190 por 2 es -- si si-- eso es 2 por 196
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196 es 2 por --quiero estar seguro
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de no cometer un error de descuido
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196 es 2 por 98
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continuemos bajando aquí
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98 es 2 por 49
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y, claro está, nosotros sabemos que es esto
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note que, tenemos 2 por 2 por 2 por 2
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osea, esto es 2 a la potencia 4
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luego esto es 16 por 49
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o sea a es igual a la raíz cuadrada de 16 por 49
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yo escogí estos números porque ambos son cuadrados perfectos
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así esto es igual a la raíz cuadrada de 16, o sea 4 por
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la raíz cuadrada de 49, eso es 7
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luego eso es igual 28
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por tanto, este lado derecho de aquí será igual a 28
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´por el teorema Pitagórico.
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Hagamos otro de estos.
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entre más practica será mejor.
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digamos que tenemos otro triángulo
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voy a dibujar este grande
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ahí va
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este es mi triángulo
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este es el ángulo recto
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este lado es 24
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este lado es 12
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llamaremos a este lado b
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ahora, una vez más, identifiquemos siempre la hipotenusa
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eso es, el lado más largo
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el lado opuesto al ángulo de 90 grados
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usted puede decir, hey, yo no se se que ese sea el lado más largo
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yo no conozco a b todavía.
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Cómo sé que este es el más largo?
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y allí, en esa situación, usted puede decir, bueno,
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es el lado opuesto al ángulo de 90 grados.
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o sea, si esa es la hipotenusa, justo esa.
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luego, este cuadrado más ese cuadrado
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será igual a 24 al cuadrado.
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por el teorema Pitagórico, b cuadrado más 12 cuadrado es
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igual a 24 al cuadrado
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o podemos restar 12 cuadrado a ambos lados
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decimos, b cuadrado es igual a 24 cuadrado menos 12 cuadrado,
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el cual sabemos es 144, y que b es igual a
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la raíz cuadrada del cuadrado de 24 menos el cuadrado de 12
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ahora estoy tentado a usar la calculadora, y
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me dejaré llevar de la tentación.
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bien, usemos la calculadora
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La última fue tan penosa, todavía me estoy recuperando
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bien, 24 al cuadrado menos 12 al cuadrado es igual a 24 punto78
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esto se vuelve realmente en -- déjeme hacerla sin--
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bien, la haré a medias
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24 al cuadrado menos 12 al cuadrado es igual a 432
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así b es igual a la raíz cuadrada de 432
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y factoricemos esto de nuevo
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decimos que la respuesta es, --pero tal vez podamos escribir
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esto en forma de un radical simplificado
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así, esto es 2 por 216
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216, yo creo, es, -- déjeme ver--
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yo creo que es un cuadrado perfecto.
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bien, déjeme tomar la raíz cuadrada de 216
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noo, no era un cuadrado perfecto.
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así 216, -- simplemente sigamos--
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216 es 2 por 108
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108 es, podemos decir, 4 por cuánto?
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25 más otro 2 -- 4 por 27, el cual es 9 por 3
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tenemos 2 por 2, por 4, así esto aquí es un 16
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16 por 9 por 3
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es eso correcto?
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estoy usando una calculadora diferente
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16 por 9 por 3 es igual a 432
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16 por 9 por 3 es igual a 432
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así que esto va a ser igual a -- b es la raíz cuadrada de
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16 por 9, por 3, la cual es igual a la raíz cuadrada de
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de 16, la cual es 4 por la raíz cuadrada de 9
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la cual es 3, por la raíz cuadrada de 3, lo cual es
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igual a 12 raíces de 3
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así b es 12 por la raíz cuadrada de 3
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Espero que usted encuentre esto muy útil.
