-
Pojďme si nyní promluvit o asi nejznámější
-
matematické poučce.
-
A tou je Pythagorova věta.
-
Zabývá se pravoúhlým trojúhelníkem.
-
Pravoúhlý trojúhelník
je takový trojúhelník,
-
který má jeden úhel
o velikosti 90 stupňů.
-
To, co právě kreslím,
-
je náš úhel o velikosti 90 stupňů.
-
Pokud jste nikdy neviděli pravý úhel,
-
tak si všimněte,
že spodní strana vede zleva doprava,
-
a tato strana vede shora dolů.
-
Tyto dvě strany jsou navzájem kolmé,
úhel mezi nimi má velikost 90 stupňů.
-
Říkáme mu pravý úhel.
-
Pythagorova věta říká,
že pokud se zabýváme pravoúhlým trojúhelníkem...
-
S dovolením to napíšu.
-
Pokud se tedy zabýváme
pravoúhlým trojúhelníkem,
-
což je trojúhelník,
který má jeden vnitřní pravý úhel,
-
čili úhel o velikosti 90 stupňů,
-
je vzájemný vztah
mezi stranami trojúhelníku následující.
-
Nazvěme si strany, tato strana je "a",
strana "b" a strana "c".
-
Pamatujte si, že strana,
kterou jsme označili "c",
-
se nachází naproti pravému úhlu.
-
Je důležité si uvědomit,
která strana je která.
-
Pythagorova věta říká:
Pouze a jedině v pravoúhlém trojúhelníku platí,
-
že "a" na druhou plus "b" na druhou
-
se rovná "c" na druhou.
-
Teď to můžeme použít.
-
Pokud známe dvě z proměnných,
můžeme použít Pythagorovu větu
-
a pomocí této rovnice
určit třetí z proměnných.
-
Teď se naučíme trochu terminologie.
-
Tato dlouhá strana,
nejdelší strana pravoúhlého trojúhelníku,
-
strana, která se nachází
naproti pravému úhlu,
-
ta, kterou jsme si nazvali "c",
-
ta se nazývá přepona.
-
Skutečně nóbl název pro
jednoduchou věc.
-
Nejdelší strana pravoúhlého trojúhelníku,
-
strana naproti pravému úhlu,
se nazývá přepona.
-
Teď, když už známe Pythagorovu větu,
-
pojďme ji použít.
-
Protože je fajn něco znát,
ale je mnohem zábavnější
-
umět to použít.
-
Řekněme, že máme pravoúhlý trojúhelník.
-
Nakreslím hezčí trojúhelník
než ten předchozí.
-
Toto je pravoúhlý trojúhelník.
-
Tato strana má délku 9.
-
Tato strana má délku 7.
-
A já se ptám, jak dlouhá je tato strana?
-
Měli bychom jí říkat strana "c".
-
Zopakujme si,
strana "c" je přepona.
-
Je to nejdelší strana.
-
Už víme, že součet druhých
mocnin obou dvou stran
-
je roven druhé mocnině strany "c".
-
Podle Pythagorovy věty
9 na druhou plus 7 na druhou
-
je rovno "c" na druhou.
-
9 na druhou je 81, plus
7 na druhou je 49
-
80 plus 40 je 120,
-
zbývá nám 1 plus 9, což je 10.
-
Součet dohromady nám dává 130.
-
Napíši to následujícím způsobem.
-
Levá strana se rovná 130,
-
a to se rovná "c" na druhou.
-
A čemu se tedy rovná "c"?
-
Přepíšu to sem nahoru.
-
"c" na druhou se rovná 130,
nebo také můžeme napsat,
-
že "c" se rovná druhé odmocnině ze 130.
-
Budeme brát v úvahu pouze
kladné řešení odmocniny,
-
protože "c" musí být kladné.
Mluvíme přece o délce.
-
Proto nebudeme brát v úvahu
záporné řešení odmocniny.
-
Budeme brát v úvahu pouze
-
kladné řešení odmocniny.
-
Pokud bychom to chtěli trochu zjednodušit,
-
víme, jak na to.
-
130 je 2 krát 65
a to je 5 krát 13.
-
To jsou prvočísla.
Zjednodušili jsme to nejvíce,
-
co to šlo.
-
"c" se rovná druhá odmocnina ze 130.
-
Pojďme si vyzkoušet podobný příklad.
-
Měl bych nechat Pythagorovu větu takto,
-
abychom měli stále na očích,
-
čím se zabýváme.
-
Mějme trojúhelník, který vypadá takto.
-
Podívejme.
-
Řekněme, že vypadá nějak takto.
-
Toto je pravý úhel, nahoře.
-
Tuto stranu označme "a".
-
Tato strana má délku 21.
-
A tato strana má délku 35.
-
Výpočet "a" se přímo nabízí,
21 na druhou plus 35 na druhou
-
se rovná "a" na druhou.
-
Ale pozor! V této situaci
je 35 přepona.
-
35 je naše "c".
-
Je to nejdelší strana
pravoúhlého trojúhelníku.
-
Pythagorova věta nám říká,
že "a" na druhou
-
plus druhá strana trojůhelníku,
která není nejdelší, na druhou,
-
(česky těm kratším stranám říkáme odvěsny).
"a" na druhou plus 21 na druhou
-
se rovná 35 na druhou.
-
Vždy musíte mít na paměti,
že "c" na druhou,
-
to "c", o kterém mluvíme,
-
je vždy nejdelší stranou pravoúhlého
trojůhelníku.
-
Je to strana protilehlá k pravému úhlu.
-
Strana, která leží naproti pravému úhlu.
-
Takže "a" na druhou plus 21 na druhou
se rovná 35 na druhou.
-
A zde vlastně máme?
-
21 na druhou - jsem v pokušení použít kalkulačku,
ale neudělám to.
-
Takže 21 krát 21. 1 krát 21 je 21,
2 krát 21 je 42.
-
Výsledek je 441.
-
35 na druhou.
-
Opět jsem v pokušení použít kalkulačku,
ale neudělám to.
-
35 krát 35.
5 krát 5 je 25.
-
Dvojka zůstává.
-
5 krát 3 je 15.
plus 2 je 17.
-
Sem si napíšeme 0 a tím se toho zbavíme.
-
3 krát 5 je 15.
-
3 krát 3 je 9,
plus 1 je 10.
-
A teď pokračujeme
5 plus 0 je 5,
-
7 plus 5 je 12, 1 plus 1 jsou 2,
jedničku přepíšu dolů.
-
1225.
-
Takže dostáváme,
že "a" na druhou plus 441
-
se rovná 35 na druhou, což je 1225.
-
Teď můžeme odečíst 441
-
od obou stran rovnice.
-
Na levé straně zůstalo "a" na druhou.
-
Na pravé straně zůstane co?
-
Zůstává 5 mínus 1 jsou 4.
-
Napíšu to s dovolením ještě jednou
o něco níže.
-
Mínus 441.
-
Zopakujme si,
na levé straně se nám čísla vyruší.
-
"a" na druhou se rovná...
Zde na pravé straně,
-
co musíme udělat?
-
Toto je větší než toto,
ale 2 není větší, než 4, takže...
-
si budeme muset vypůjčit
-
nebo přeskupit.
Záleží, jak se na to díváte.
-
Dostáváme 12.
-
Zde nám zůstane 1.
-
1 není větší než 4,
-
proto si musíme půjčit ještě jednou.
-
Tohoto se zbavíme
-
a dostáváme 11.
-
5 mínus 1 jsou 4.
-
12 mínus 4 je 8.
-
11 mínus 4 je 7.
-
"a" na druhou se rovná 784.
-
A to můžeme přepsat,
že "a" se rovná
-
druhé odmocnině ze 784.
-
A znovu jsem ve velkém pokušení
použít kalkulačku
-
ale neudělám to.
-
Nepoužiju kalkulačku.
-
Tohle se rovná dvakrát co?
-
392
-
A 390 je 2 krát 78.
-
A to je dvakrát co?
-
Toto je 2 krát 196.
-
To je v pořádku.
-
2 krát 196.
-
196 je 2 krát - rád bych se přesvědčil,
-
že jsem neudělal nějakou
chybu z nepozornosti.
-
196 je 2 krát 98.
-
A pokračujeme stále níž.
-
98 je 2 krát 49.
-
Samozřejmě víme, co to je.
-
Všimněte si, že teď máme
2 krát 2 krát 2 krát 2.
-
To je 2 na čtvrtou.
-
Čili 16 krát 49.
-
Takže "a" se rovná druhé odmocnině
z 16 krát 49.
-
Vybral jsem tato čísla,
protože obě jsou druhé mocniny.
-
Tedy je to rovno druhé odmocnině z 16,
to jsou 4
-
krát druhou odmocninou ze 49, což je 7.
-
To je celkem rovno 28.
-
Pravá strana se rovná 28,
-
jak nám vyšlo podle Pythagorovy věty.
-
Pojďme si vyzkoušet ještě jeden příklad.
-
Cvičení není nikdy dost.
-
Mějme jiný trojúhleník.
-
Namaluju ho velký.
-
Tady ho máme.
-
Toto je náš trojúhelník
-
a zde je pravý úhel.
-
Tato strana má 24.
-
Tato strana má 12.
-
Tuto stranu nazvěme "b".
-
A ještě jednou,
vždy je potřeba najít odvěsnu.
-
Je to ta nejdelší strana,
-
která leží naproti úhlu
o velikosti 90 stupňů.
-
Možná chcete říct:
"Ale já nevím, která strana je nejdelší."
-
Nevím zatím nic o straně "b".
-
Jak můžu vědět, že tahle je nejdelší?
-
A v chvíli si zopakujte, že přepona
-
je strana, která leží
naproti úhlu o velikosti 90 stupňů.
-
Toto je přepona.
Potom toto na druhou plus
-
toto na druhou se rovná 24 na druhou.
-
Podle Pythagorovy věty
"b" na druhou plus 12 na druhou
-
se rovná 24 na druhou.
-
Nebo můžeme odečíst 12 na druhou
od obou stran rovnice.
-
"b" na druhou se rovná
24 na druhou mínus 12 na druhou.
-
což víme, že je 144.
A proto "b" je rovno odmocnině
-
z 24 na druhou mínus 12 na druhou.
-
I nyní jsem v pokušení použít kalkulačku
-
a podlehnu svému pokušení.
-
Jdeme na to.
-
Naposled to bylo tak bolestivé,
že se stále ještě zotavuji.
-
24 na druhou mínus 12 na druhou
je rovno 24,78.
-
Tím se situace trochu mění.
Udělám to bez...
-
Udělám to napůl.
-
24 na druhou mínus 12 na druhou
se rovná 432.
-
"b" je tedy rovno
druhé odmocnině z 432.
-
A pojďme to rozložit na celočíselné dělitele.
-
Už víme, jak vypadá výsledek, ale možná
se nám podaří ho zapsat přívětivěji.
-
Takže to je 2 krát 216.
-
216 je, jak si myslím...
nechte mě se podívat.
-
Myslím si, že je to druhá mocnina
celého čísla.
-
Vypočítám druhou odmocninu z 216.
-
Ne, není druhá mocnina celého čísla.
-
Takže máme 216 a pokračujeme.
-
216 je 2 krát 108.
-
108 je 4 krát co?
-
25 plus 2 - 4 krát 27,
což je 9 krát 3.
-
Takže, co zde teď máme?
-
Máme 2 krát 2, krát 4,
zde vpravo máme 16.
-
16 krát 9 krát 3.
-
Je to správně?
-
Použiju jinou kalkulačku.
-
16 krát 9 krát 3
se rovná 432.
-
Čili "b" se rovná druhé odmocnině
-
z 16 krát 9 krát 3,
což je rovno druhé odmocnině z 16,
-
z toho dostáváme 4 krát odmocnina z 9,
-
to je 3. Krát druhá odmocnina ze 3,
-
a to je rovno 12 krát odmocnina ze 3.
-
Takže "b" se rovná
12 krát druhá odmocnina ze 3.
-
Doufám, že to pro vás bylo užitečné.
