ગુણાકાર ૫: ૨-અંકોની સંખ્યા ગુણ્યા ૨-અંકોની સંખ્યા

ગુણાકાર ૫: ૨-અંકોની સંખ્યા ગુણ્યા ૨-અંકોની સંખ્યા

ચાલો એક સરળ સવાલ થી શરુ કરીએ.

કે જેથી હવે જે નવી વસ્તુ શીખવા જઈ રહ્યા છે તેમાં બહુ તકલીફ ના પડે.

હવે આ દાખલા માં,

જો છેલ્લા વિડીયો મા આપણે જે કર્યુ તે તમે સમજ્યા હોય તો

અત્યારે જે આપણે કરીશુ તે તમે શમજી શક્શો.

અને આપણે ક્રમશ: આગળ જઇશુ.

છેલ્લા વિડીયો મા,

આપણે ચાર અંકની સંખ્યા સાથે એક અંક ની સંખ્યાનો ગુણાકાર ના દાખલા શીખ્યા હતા.

ચાલો હવે આપણે પાંચ અંક્ની સંખ્યા લઇએ.

ચાલો ચોસઠ હજાર ત્રણ સો ઓગણ્ત્રીસ ગુણ્યા,

ચાલો હુ સારી સંખ્યા વિચારુ.

ગુણ્યા ચાર કરીએ.

હુ તમને અત્યારે બતાવીશ કે

આપણે છેલ્લા વિડીયો મા જે પ્રક્રીયા કરી હતી તે જ અહી કરવાની છે.

આપણે પહેલા કરી હતી તેના કરતા થોડી વધારે અહી કરવાની છે.

તો ચાલો શરૂ કરીએ. ચાર ગુણ્યા નવ એટલે?

ચાર ગુણ્યા નવ બરાબર છત્રીસ.

ખરુ ને? અઠાર ગુણ્યા બે.

છત્રીસ.

તો આપણે અહી નીચે છ લખીશુ, ત્યા ઉપર ત્રણ વદી લખીશુ.

ત્યા ઉપર ત્રણ મુકો, પછી તમને ચાર ગુણ્યા બે મળશે.

ચાર ગુણ્યા બે.

અને પછી તેમા ત્રણ ઉમેરો.

તો ચાલો તે હુ અહીંયા લખુ.

વત્તા ત્રણ બરાબર , તમે પહેલા ગુણાકાર કરો.

તમારે અહીં ગાણિતિક પ્રક્રિયાના ક્રમ પણ યાદ કરી કરો શકો.

પણ તમે જાણતા હોવા જોઈએ કે તમારે પહેલા ગુણાકાર કરવાના છે.

તો ચાર ગુણ્યા બે એટલે આઠ.

વત્તા ત્રણ બરાબર અગિયાર.

એક અહી નીચે લખો અને એક દશકો ત્યા લખો.

પછી તમને ચાર ગુણ્યા ત્રણ મળશે.

ચાર ગુણ્યા ત્રણ

ત્યા ઉપરના એક તમને મળશે.

તો તમે તે એક તેમા ઉમેરશો તો તેના બરાબર,

તેના બરાબર બાર વત્તા એક,

કે જેના બરાબર તેર થશે.

તો તે તેર છે.

પછી તમારી પાસે ચાર ગુણ્યા ચાર છે.

ચાર ગુણ્યા ચાર.

આગળના ગુણાકાર માથી તમને આ બાકીનો

એક મળેલ છે.

તો તે તમે એમા ઉમેરશો,

અને તેના બરાબર સોળ વત્તા એક.

તેના બરાબર સત્તર.

સાત અહી નીચે લખો અને ત્યા ઉપર એક લખો.

બસ હવે આ પતવા જ આવ્યું છે.

અને પછી આપણી પાસે ચાર ગુણ્યા છ છે.

ચાર ગુણ્યા છ,

વત્તા એક.

તેના બરાબર કેટલા?

ચાર ગુણ્યા છ એટલે ચોવીસ.

વત્તા એક એટલે પચ્ચીસ.

પાચ અહી નીચે લખો.

ત્યા બે મુકવા કંઇ નથી--

અહી વધારે ગુણાકાર કરવા માટે કોઈ વધારે આંકડા નથી--

તે બે અહીંયા નીચે મૂકીશું.

તો સાઇઠ હજાર ત્રણ સો ઓગણત્રીસ ગુણ્યા ચાર

એટલે બે લાખ, સત્તાવન હજાર, ત્રણ સો સાઇઠ.

અને જો તમને પ્રશ્ન થતો હોય તો , આ અલ્પવિરામ નો કંઇ ખાસ મતલબ નથી,

તે ફક્ત મને આ સંખ્યા વાચવામા મદદ કરે છે.

તેને હું અમેરિકન પદ્ધતિ પ્રમાણે, હુ દરેક ત્રણ અંક પછી મુકુ છુ.

તો હુ જાણુ છુ, ઉદાહરણ તરીકે, આના પછી દરેક આંકડા હજાર મા છે.

આ સાત હજાર છે.

જો હુ બીજુ અલ્પવિરામ અહી મુકુ તો, તે મિલિયન (દસ લાખ) થાય તે હુ જાણુ છુ.

તો તે મને સવાલ વાચવા મા થોડી મદદ કરે છે.

જો આ તમે સમજી ગયા હોય તો

તમે થોડા વધારે ક્રમશઃ અઘરા દાખલા કરવા તૈયાર છો.

તો આપણે જે કરવા જઇ રહ્યા છીએ તે પહેલી રીત

ખરેખર તો ખાસ કંઇ મુશ્કેલ નથી..

તેમા ફક્ત એક ડગલુ વધારે કરીશું.

તો અત્યાર સુધી જે આપણે કર્યુ તેમા

અંકોના સમૂહ સાથે એક અંક્નો ગુણાકાર કર્યો.

તો ચાલો હવે અંકોના સમૂહ સાથે બે અંકોનો ગુણાકાર કરીએ.

તો ચાલો આપણે છત્રીસ ગુણ્યા --

એક અંક ની સંખ્યા મુકવાને બદલે અહી બે અંકની સંખ્યા મુકીએ.

અહી બે અંકની સંખ્યા મુકીએ.

-- ગુણ્યા ત્રેવીસ.

તો આ દાખલા ની શરુઆત તમે એ રીતે જ કરશો

કે જેમકે અહી નીચે ત્રણ હોય તો તમે કરી હોત.

થોડી વાર માટે તમે અહી બે છે તેની અવગણના કરો

તો ત્રણ ગુણ્યા છ બરાબર અઢાર.

તો તમે આઠ અહી મુકો અને દશ ત્યા મુકો, અથવા એક ત્યા મૂકો.

કારણકે તે દશ વત્તા આઠ છે.

ત્રણ ગુણ્યા ત્રણ એટલે નવ.

વત્તા એક, તો ત્રણ ગુણ્યા ત્રણ વત્તા એક બરાબર--

એટલે કે નવ વત્તા એક બરાબર દશ.

તો તમે દશ ત્યા મુકો.

હવે કંઇ વધ્યુ નથી.

તમે શુન્ય અહીંયા મુકો.

ઉપર એક મુકવા માટે કંઇ વધ્યુ નથી માટે દશ ત્યા મુકો.

તો ખરેખર તમે આ દાખલાનો ઉકેલ મેળવી લીધો છે
.

ચાલો હુ આ બીજા રંગથી કરુ--

તો છત્રીસ ગુણ્યા ત્રણ બરાબર એક સો આઠ.

તે આપણે અત્યાર સુધી ઉકેલ્યું.

પણ આપણી પાસે અહી વીસ છે.

આપણી પાસે આ વીસ છે.

આપણી અહી વીસ ગુણ્યા ત્રણસો સાઇઠ નું શું કરવું તે વિચારવું પડશે.

માફ કરશો, વીસ ગુણ્યા છત્રીસ એટલે,

તો ગુણાકાર કરવા,તમે, આ બે એ ખરેખર વીસ છે.

અને

આપણે એવું કરીશું કે આ શૂન્ય ને અહી નીચે રાખીશું.

આપણે અહી શુન્ય મુકીએ.

આપણે ખરેખર અહી શુ કર્યુ તે હુ હમણા જ તમને સમજાવુ છુ

તો ચાલો આપણે આ જ પ્રક્રીયા કરીએ

કે જે આપણે ત્રણ પહેલા કરી.

હવે આપણે તે બે સાથે કરીશુ, પણ આપણે અહી થી લખવાની શરુઆત કરીશુ.

અને ડાબી બાજુ ખશીશુ.

તો બે ગુણ્યા છ,

બે ગુણ્યા છ

આ સહેલુ છે.

તે બાર થાય.

તો બે ગુણ્યા છ એટ્લે બાર.

આપણે અહી ઉપર એક મુકીશુ અને આપણે ખુબ કાળજી રાખવી પડશે

કારણ કે આ એક આપની પાસે આગળના દાખલા માથી છે.

કે જેનો અહીંયા કોઈ ઉપયોગ નથી.

તો આપણે તેને ભુશી શકીએ અથવા આપણે તેને કાઢી નાખી શકીએ.

જો તમારી પાસે તેને ભુશવા રબ્બર હોય તો તેને કાઢી નાખો.

અથવા તો તમારા મગજ મા તેને યાદ રાખી શકો

કે તમે જે એક લખવા જઈ રહ્યા છો તે જુદા છે.

તો આપણે ક્યાં હતા?

આપણે છ ગુણ્યા બે એટલે બાર લખ્યા હતા.

બે અહી મુક્યા

એક અહી ઉપર મુક્યા

અને આગળના એક ને કાઢી નાખ્યા

કારણ કે તેને મને મૂંઝવણ માં મૂકી દીધો હોત.

હવે મારી પાસે બે ગુણ્યા ત્રણ છે.

બે ગુણ્યા ત્રણ બરાબર છ.

પણ પછી આપણી પાસે અહી ઉમેરવા માટે એક છે, તો હુ આ એક ઉમેરુ.

તો મને સાત મળ્યા.

તો તેના બરાબર સાત થાય.

બે ગુણ્યા ત્રણ વત્તા એક બરાબર સાત.

તો આ સાત સો વીસ નો આપણે ઉકેલ મેળવ્યો, તે ખરેખર

ચાલો હુ નીચે લખુ.

તે શુ છે.

તે છત્રીસ ગુણ્યા વીસ છે.

છત્રીસ ગુણ્યા વીસ બરાબર સાત સો વીસ.

અને આશા રાખુ કે આપણે તે શુન્ય

અહી શા માટે લખ્યુ એ સમજાવુ જોઇએ.

જો આપણે અહી શુન્ય ના મુકીએ તો

આપણને સાત સો વીસ ના બદલે અહી બોત્તેર જ મળશે.

અને બોત્તેર એ છત્રીસ ગુણ્યા બે છે.

પણ આ બે નથી.

આ બે એ દશક ની જગ્યા પર છે.

આ વીસ છે.

તો આપણી પાસે છત્રીસ ગુણ્યા વીસ નો ગુણાકાર કરવો જોઇયે

અને તેથી આપણને અહીં સાત સો વીસ મળ્યા છે.

તો છત્રીસ ગુણ્યા ત્રેવીસ

ચાલો તે આ રીતે લખુ.

તો ચાલો મને અહી થોડી જગ્યા રાખવા દો

તો આપણે અહી ત્રીસ લખી શકીએ.

ખરેખર તો, મને અહી આ દાખલો પુરો કરવા દો

અને પછી તમને સમજાવુ કે તે કઇ રીતે કામ કરે છે.

તો હવે, તેને પુરો કરવા ફક્ત આપણે એકસો આઠ મા સાત સો વીસ ઉમેરીએ.

તો આઠ વત્તા શુન્ય એટલે આઠ.

શુન્ય વત્તા બે એટલે બે.

એક વત્તા સાત એટલે આઠ.

તો છત્રીસ ગુણ્યા ત્રેવીસ એટલે આઠ સો અઠ્ઠ્યાવીસ.

હવે તમે કહેશો કે, તે કેવી રીતે કામ કરે છે?

છત્રીસ ગુણ્યા ત્રણ બરાબર એક સો આઠ, એ ગુણાકાર

શા માટે આપણે અલગ અલગ કર્યો?

અને પછી છત્રીસ ગુણ્યા વીસ બરાબર સાત સો વીસ, તે પણ અલગથી કર્યું .

અને પછી તે બેનો આ રીતે સરવાળો કર્યો?

કારણકે આપણે આ દાખલો આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ.

આપણે આ સવાલ ફરીથી લખી શકીએ કે --

આ આપણો અસલ દાખલો હતો

આપણે છત્રીસ ગુણ્યા વીસ વત્તા ત્રણ એમ અહી ફરીથી લખીએ.

અને આ, અને હુ જાણતો નથી કે તમે વિભાજનનો ગુણધર્મ હજુ સુધી શીખ્યા છો કે નહીં.

પણ આ ફક્ત વિભાજન નો ગુણધર્મ છે.

આ છત્રીસ ગુણ્યા વીસ વત્તા

છત્રીસ ગુણ્યા ત્રણ ના સરખા જ થાય.

જો તમે ગુચવાયા હોય તો, તેના વિશે ચિંતા ન કરો.

પણ તેમ ના હોય, તો આ સારુ છે.

તે ખરેખર તો તમને કંઇક શીખવે છે.

છત્રીસ ગુણ્યા વીસ એ સાત સો વીસ થાય તે આપણે જોયુ.

છત્રીસ ગુણ્યા ત્રણ એ એક સો આઠ થાય એ આપણે શીખ્યા.

અને જ્યારે આપણે તે બન્ને ને એકબીજા સાથે ઉમેરયા , તો આપણને શુ મળ્યું?

આઠ સો અઠ્ઠ્યાવાસ?

કે જે આપણને મળ્યુ?

આપણને આઠ સો અઠ્ઠ્યાવીસ મળ્યા.

અને તમે તેને આગળ વધારી શકો.

કે જે આપણે અગાઉના વિડીયો મા જોયુ.

તમે ત્રીસ વત્તા છ ગુણ્યા વીસ વત્તા ત્રણ એમ પણ લખી શકો.

ખરેખર તો, ચાલો હુ તેને તે રીતે કરુ.

કરણકે હુ માનુ છુ કે તે તમને થોડી મદદ કરશે.

પણ જો તમે ગુચવાતા હોય તો, તેને જવા દો.

જો એમ ના હોય તો સારુ.

તો આપણે ત્રણ ગુણ્યા છ કરીએ.

ત્રણ ગુણ્યા છ એટલે અઢાર.

અઢાર એટલે દશ વત્તા આઠ.

તો તે આઠ છે, પછી અહી આપણે દશ મુકીશુ.

અને અહી આગળનુ જવા દો.

ત્રણ ગુણ્યા ત્રીસ.

ત્રણ ગુણ્યા ત્રીસ એટલે નેવુ.

નેવુ વત્તા દશ એટલે એકસો.

તો એક સો એટલે શુન્ય વખત દશ વત્તા એક સો.

મને ખબર નથી કે આ તમને મુઝવશે કે નહી.

જો એમ હોય તેને જવા દો.

જો એમ ના હોય તો, સારુ હુ આ મુદ્દો મુશ્કેલ બનાવવા માગતો નથી.

અને હવે આપણે વીસ ઉમેરી શકીએ.

આપણે જે આગળ કરી તે વસ્તુ આપણે અહી જવા દઇશુ.

વીસ ગુણ્યા છ એટલે એક સો વીસ.

તો તે વીસ વત્તા એક સો છે.

તો હુ અહી ઉપર એકસો મુકુ છુ.

વીસ ગુણ્યા ત્રીસ, તમે કદાચ નહીં જાણતા હોય,

એટલે બે ગુણ્યા ત્રણ અને ત્યા બે શુન્ય તમારી પાસે છે.

અને મને લાગે છે કે મે કદાચ થોડુ કંઇક કુદાવી રહ્યો છું,

હું ઘણું બધુ ધરી રહ્યો છું.

પણ વીસ ગુણ્યા ત્રીસ એ છસો થશે.

અને પછી તમે બીજા સો તેમા ઉમેરો, તે સાતસો થશે.

અને પછી તમે તેને ઉપરના દરેક મા ઉમેરો.

તમને આઠસો મળશે.

એક સો વત્તા સાતસો.

વત્તા વીસ વત્તા આઠ, કે જેના બરાબર આઠ સો અઠ્ઠ્યાવીસ થશે.

હુ તમને બતાવવા માગુ છુ કે આ રીતે ગુણાકાર કરીયે તો તે સાચું કેમ પડે.

આપણે અહી સરુઆત મા શા માટે શુન્ય ઉમેરીએ છીએ

પણ જો તે તમને ગુંચવતુ હોય તો, અત્યારે તેના વીશે ચિંતા કરશો નહી.

કેવી રીતે તે કરાય એ શીખો અને કદાચ આ વિડીયો ફરીથી જુઓ.

ચાલો બીજા થોડા ઉદાહરણ કરીએ.

કારણ કે હુ વિચારુ છુ કે વધારે ઉદાહરણ કરવાથી

તમને આ વસ્તુ ની વધારે ખબર પડશે.

તો ચાલો સીત્તોત્તેર લઇએ.

ચાલો એક રમુજી દાખલો કરીએ.

સીત્તોત્તેર ગુણ્યા સીત્તોત્તેર

સાત ગુણ્યા સાત એટલે ઓગણપચાસ.

ચાર અહી નીચે મુકો

સાત ગુણ્યા સાત , તે ઓગણપચાસ થાય્

વત્તા ચાર, તે ત્રેપ્પન થાય.

અહી પાચ મુકવા જગ્યા નથી તો, તે આપણે અહી નીચે મુકીએ.

સાત ગુણ્યા સાત એટલે ઓગણપચાસ.

વત્તા ચાર એટલે ત્રેપ્પન.

શુન્ય અહી મુકો.

હવે આપણે આ સાત કરીશુ.

તો અહી શુન્ય મુકો.

ચાલો તેને જવા દઇએ

કારણકે તે આપણને અસ્ત વ્યસ્ત કરી દેશે.

સાત ગુણ્યા સાત એટલે ઓગણપચાસ.

ત્યા નવ લખો.

ચાર ત્યા મુકો.

સાત ગુણ્યા સાત એટલે ઓગણપચાસ.

વત્તા ચાર, કે જે ત્રેપ્પન થાય.

તો ધ્યાન આપો, જ્યારે આપણે સાત ગુણ્યા સીત્તોત્તેર કર્યા તો આપણને પાચ સો ઓગણ ચાલીસ મળ્યા.

જ્યારે આપણે સીત્તેર ગુણ્યા સીત્તોત્તેર કર્યા તો આપણને પાચ હજાર ત્રણ સો નેવુ મળ્યા.

અને તે બરાબર પણ છે.

તેમા ફક્ત શુન્ય નો જ ફરક છે.

દશ ના ગુણાંક મા.

અને ચાલો આપણે તેને ઉપર ઉમેરીએ, અને આપણને શુ મળશે?

નવ વત્તા શુન્ય એટલે નવ.

ત્રણ વત્તા નવ એટલે બાર.

વદી એક થશે.

એક વત્તા પાચ એટલે છ.

છ વત્તા ત્રણ એટલે નવ.

અને પછી આપણી પાસે આ પાચ છે.

તો તે પાચ હજાર નવ સો ઓગણત્રીસ થશે