-
-
-
ตอนนี้ผมจะแนะนำให้รู้จักแนวคิดเรื่องสมการแม่นตรง
-
และมั่นเป็นแค่อีกวิธีหนึ่งในการแก้
-
สมการอนุพันธ์ประเภทหนึ่ง
-
ขอผมเขียนมันลงไปนะ
-
สมการแม่นตรง (exact equations)
-
-
-
ก่อนที่ผมจะแสดงว่าสมการแม่นตรงคืออะไร, ผม
-
อยากให้คุณเห็นองค์ประกอบที่จำเป็น, เพื่อ
-
ตอนที่ผมพิสูจน์, หรือให้สัญชาตญาณ
-
เบื้องหลังกับคุณ, มันจะได้ไม่
-
ข้ามขั้นเกินไป
-
สมมุติว่าผมมีฟังก์ชันของ x กับ y, และเรา
-
จะเรียกมันว่าไซ, เพราะนั่นคือสิ่งที่คนมัก
-
ใช้ในสมการแม่นตรงพวกนี้
-
ไซเป็นฟังก์ชันของ x กับ y
-
-
-
คุณอาจไม่ค่อยคุ้นเคยกับกฎลูกโซ่
-
กับอนุพันธ์ย่อยเท่าไหร่, แต่ผมจะแสดงให้ดูเดี๋ยวนี้
-
และผมจะแสดงสัญชาตญาณให้ดู, แม้ว่า
-
ผมจะไม่พิสูจน์มัน
-
แล้วถ้าผมหาอนุพันธ์ของเจ้านี่เทียบกับ
-
x, โดย y เป็นฟังก์ชันของ x ด้วย, ผมก็
-
เขียนนี่เป็น y -- ขอโทษที, ไม่ใช่ y, ไซ
-
ยกเลิก
-
ผมสามารถเขียนนี่เป็น ไซ, เป็น x กับ y, ซึ่ง
-
เป็นฟังก์ชันของ x
-
ผมก็เขียนมันได้แบบนั้น
-
มันแค่วิธีเขียนของอย่างเดียวกัน
-
สองวิธีต่างกัน
-
ตอนนี้, ถ้าผมหาอนุพันธ์ของไซ เทียบกับ
-
x -- และนี่เป็นแค่เครื่องมือพื้นฐาน -- ถ้าผมอยาก
-
หาอนุพันธ์ของไซ เทียบกับ x, มันจะ
-
เท่ากับ -- นี่ก็แค่กฎลูกโซ่ที่ใช้อนุพันธ์ย่อย
-
ผมจะไม่พิสูจน์มัน, แต่ผมจะแสดงให้
-
คุณเห็นสัญชาตญาณตรงนี้
-
นี่จะเท่ากับ อนุพันธ์ย่อยของ
-
ไซเทียบกับ x บวกอนุพันธ์ของไซ
-
เทียบกับ y คูณ dy dx
-
-
-
นี่ควรตรงกับสัญชาตญาณพอสมควร
-
ผมหาอนุพันธ์เทียบกับ x,
-
และถ้าคุณบอกได้ว่า, ผมรู้ว่าคุณบอกไม่ได้, เพราะ
-
อนุพันธ์ย่อย เทียบกับ y, กับ dy, พวกมัน
-
ไม่เหมือนกันเสียทีเดียว
-
แต่ถ้ามันตัดกันไป, คุณจะได้
-
อนุพันธ์ย่อยเทียบกับ x
-
และถ้าคุณบวกสองตัวนี้เข้า, คุณจะได้
-
อนุพันธ์เต็ม เทียบกับ x
-
นั่นใช่ไม่สัญชาตญาณเสียทีเดียว, นั่นก็แค่ให้คุณเห็นว่า
-
แม้แต่อันนี้ก็ดูคล้ายกับสัญชาตญาณนิดหน่อย
-
ทีนี้ สัญชาตญาณตรงนี้, สมมุติว่าไซ, และไซไม่
-
จำเป็นต้องอยู่ในรูปนี้, แต่คุณสามารถใช้
-
หลักการเดียวกันเพื่อเขียน ไซ เป็นรูปที่ซับซ้อนกว่านี้ได้
-
สมมุติว่าไซนั่น, ผมจะไม่เขียนว่ามันเป็น
-
ฟังก์ชันของ x กับ y
-
เรารู้ว่ามันเป็นฟังก์ชันของ x กับ y
-
สมมุติว่ามันเท่ากับฟังก์ชันของ x, เราจะเรียกมันว่า
-
f1 ของ x, คูณฟังก์ชันของ y ตัวหนึ่ง
-
และสมมุติว่ามันมีเทอมแบบนี้
-
มันมีเทอมแบบนี้ n เทอม, บวกกันไปจนถึงเทอม
-
ที่ n คือ ฟังก์ชันของ x ตัวที่ n คูณฟังก์ชันของ y ตัวที่ n
-
ผมนิยามไซแบบนี้ แล้วผมจะให้สัญชาตญาณคุณ
-
ว่าเมื่อผมหาอนุพันธ์ย่อยของ
-
เจ้านี่, เมื่อผมหาอนุพันธ์ของเจ้านี่เทียบ
-
กับ x, ผมจะได้อะไรที่ออกมา
-
เป็นแบนั้น
-
แล้วอนุพันธ์ของ ไซ เทียบกับ x คืออะไร?
-
-
-
และนี่ก็แค่การหาอนุพันธ์โดยนัย ที่คุณ
-
เรียนไป, หรือหวังว่าคุณจะได้เรียนแล้ว
-
ในวิชาแคลคูลัสเทอมแรก
-
นั่นเท่ากับ, เราก็แค่ใช้กฏผลคูณ, จริงไหม?
-
พจน์แรกนี่, คุณก็หาอนุพันธ์ของ
-
เจ้านั่นเทียบกับ x
-
ตอนนี้, มันจะเท่ากับ f1 ไพรม์ของ x คูณฟังก์ชัน
-
ที่สอง, ตรงนี้, นั่นก็แค่ g1 ของ y
-
ตอนนี้คุณก็บวกอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
-
ตัวที่สอง คูณฟังก์ชันแรก
-
บวก f1 ของ x, นั่นก็แค่ฟังก์ชันแรก, คูณ
-
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สอง
-
ตอนนี้อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สอง, มันจะเป็น
-
ฟังก์ชันนี้เทียบกับ y
-
คุณก็สามารถเขียนมันเป็น g1 ไพรม์ของ y
-
แต่แน่นอน, เราใช้กฏลูกโซ่ได้
-
นั่นก็คือคูณ dy dx
-
และคุณอยากอยากทบทวนวิดีโอเรื่องการหาอนุพันธ์
-
โดยนัย ถ้าคุณรู้สึกไม่คุ้นเคย
-
แต่เจ้านี่ตรงนี้, สิ่งที่ผมทำไป, พจน์นี่
-
ตรงนี้, นี่คืออนุพันธ์
-
เทียบกับ x ของเจ้านี่
-
และเราได้ n เทอมแบบนั้น
-
ถ้าเราเพิ่มเทอมเข้าไปเรือ่ยๆ, ผมจะเขียนในแนวดิ่งนะ
-
แล้วบวก, แล้วคุณมีเจ้าพวกนี้, และตัวสุดท้าย
-
จะออกมาเหมือนกัน, มันก็แค่
-
ฟังก์ชันของ x ตัวที่ n
-
คือ fn ไพรม์ของ x คูณฟังก์ชันที่สอง, gn ของ y,
-
บวกฟังก์ชันแรก, fn ของ x, คูณอนุพันธ์ของ
-
ฟังก์ชันตัวที่สอง
-
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สอง เทียบกับ y
-
คือ g ไพรม์ของ y คูณ dy dx
-
มันก็แค่กฎลูกโซ่
-
dy dx
-
ตอนนี้, เรามี n เทอม. เรามี n เทอมตรงนี้, ใช่ไหม
-
โดยแต่ละเทอมคือ f ของ x คูณ g ของ y, หรือ f1 ของ x
-
คูณ g1 ของ y, เรื่อยไปจนถึง fn ของ
-
x คูณ gn ของ y
-
แล้วแต่ละเทอมนั้น, เราได้สองตัวเมื่อเราใช้
-
กฎผลคูณ
-
ถ้าเรารวมกลุ่มเทอม, แล้วถ้าเรารวมกลุ่ม
-
ที่ไม่มี dy dx กับมัน, เราจะได้อะไร?
-
ถ้าเราบวกทั้งหมดนี้, ผมว่าคุณจะเรียกว่า
-
เทอมด้านซ้ายก็ได้, ผมแค่เรียงมันใหม่, มันเท่ากับ f1
-
ไพรม์ของ x คูณ g1 ของ y, บวก f2, g2, ไปจนถึง fn
-
ไพรม์, ขอโทษที, fn ไพรม์ของ x, gn ของ y
-
นั่นก็คือทั้งหมดรวมกัน, บวก
-
เทอมพวกนี้รวมกันทั้งหมด
-
เทอมทั้งหมดที่มี dy dx อยู่ด้วย
-
และผมจะใช้อีกสีนะ
-
เทอมพวกนี้ทั้งหมด
-
จะเป็นอีกสีหนึ่ง
-
ผมจะเขียนในวงเล็บอีกอันนะ
-
บวก f1 ของ x g1 ไพรม์ของ y, และผมจะทำ dy dx ทีหลัง,
-
ผมดึงมันออกมา
-
บวก, เรามีอยู่ n เทอม, บวก fn ของ x, gn ไพรม์ของ y,
-
แล้วก็ทุกเทอมคูณด้วย dy dx
-
แล้วตอนนี้, มีสิ่งที่น่าสนใจตรงนี้
-
ตอนแรกเรานิยามไซ, บนนี้, ว่าอย่างนี้,
-
แต่เทอมสีเขียวนี่คืออะไร?
-
สิ่งที่เราทำคือ เราหาเทอมแต่ละตัวพวกนี้ทั้งหมด,
-
และเทอมสีเขียวพวกนี้ตรงนี้ ก็แค่หาอนุพันธ์
-
เทียบกับ x ในแต่ละเทอมพวกนี้. เพราะถ้าคุณ
-
หาอนุพันธ์ของมันเทียบกับ x ของเจ้านี่, แล้ว
-
ฟังก์ชันของ y ก็แค่ค่าคงที่, จริงไหม?
-
ถ้าคุณหาอนุพันธ์ย่อย
-
เทียบกับ x
-
ถ้าคุณหาอนุพันธ์ย่อยเทียบกับ x
-
ของเทอมนี้, คุณก็ทำเหมือนฟังก์ชัน y เป็นค่าคงที่
-
แล้วอนุพันธ์ของเจ้านี่จะเป็น f ไพรม์ของ x, g1
-
ของ y, เพราะ g1 ของ y ก็แค่ค่าคงที่
-
เช่นนี้เรื่อยไป
-
แล้วเทอมสีเขียวทั้งหมดนี้ คุณมองมันเป็น
-
อนุพันธ์ย่อยของไซ เทียบกับ x ได้
-
เราแค่มันเหมือนว่า y เป็นค่าคงที่
-
และด้วยตรรกะเดียวกัน, ถ้าคุณไม่สนใจเจ้านี่, ถ้าคุณดู
-
แค่เทอมนี่ตรงนี้, นี่คืออะไร?
-
เราเอาไซมา, ตรงนี้, เราทำเหมือนว่าฟังก์ชันของ x เป็น
-
ค่าคงที่, และเราหาอนุพันธ์ย่อย
-
เทียบกับ y
-
และนั่นคือสาเหตุที่มีไพรม์อยู่ที่ g ทุกตัว
-
แล้วเราคูณมันด้วย dy dx
-
แล้วเราก็เขียนนี่, นี่เท่ากับ -- ผมจะทำ
-
สีเขียวนี่ -- สีเขียวนี่ก็เหมือนกับอนุพันธ์ย่อยของไซ
-
เทียบกับ x
-
บวก, แล้วสีม่วงนี่, ส่วนสีม่วงนี่คืออะไร?
-
ขอผมใช้อีกสีนะ, สีบานเย็นแล้วกัน
-
เจ้านี่, ตรงนี้, คืออนุพันธ์ย่อยของ ไซ เทียบกับ
-
y, แล้วคูณด้วย dy dx
-
-
-
นั่นก็คือสิ่งที่ผมอยากแสดงให้คุณดู
-
ในวิดีโอนี้, เพราะผมรู้ตัวว่า
-
ผมใกล้หมดเวลาแล้ว
-
กฎลูกโซ่, เทียบกับตัวแปรหนึ่ง,
-
แต่ตัวแปรที่สองในฟังก์ชันนั้น ก็เป็น
-
ฟังก์ชันของ x ด้วย, กฎลูกโซ่จะเป็นแบบนี้
-
ถ้าไซ เป็นฟังก์ชันของ x กับ y, ผมหาไม่ใช่
-
แค่อนุพันธ์ย่อย, แต่ผมหาอนุพันธ์เต็ม
-
ของไซเทียบกับ x, มันเท่ากับอนุพันธ์ย่อยของไซ
-
เทียบกับ x, บวก อนุพันธ์ย่อยของไซ เทียบกับ
-
y, คูณ dy dx
-
ถ้า y ไม่ใช่ฟังก์ชันของ x, หรือถ้า y ถ้ามันเป็น
-
ตัวแปรอิสระจาก x, แล้ว dy dx จะเป็น 0
-
เทอมนี้จะกลายเป็น 0, แล้วอนุพันธ์ของ ไซ
-
เทียบกับ x ก็จะเท่ากับอนุพันธ์ย่อยของ ไซ
-
เทียบกับ x
-
แต่เอาล่ะ, ผมอยากให้คุณระลึกไว้
-
และในวิดีโอนี้, ผมไม่ได้พิสูจน์ให้ดู, แต่หวังว่าคุณ
-
คงได้สัญชาตญาณไป ถ้าผมไม่ทำคุณงง
-
และเราจะใช้สมบัตินี้วิดีโอ
-
ต่อๆ ไป เพื่อเข้าใจสมการแม่นตรงขึ้นอีกหน่อย
-
ผมรู้ว่าในวิดีโอนี้ ผมพยายามทำพอให้
-
คุณได้สัญชาตญาณไปตรงนี้
-
แต่ผมยังไม่ได้บอคุณว่าสมการแม่นตรงคืออะไร
-
ไว้ค่อยพบกันใหม่ในวิดีโอหน้าครับ
-
-
