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Agora eu vou explicar o conceito de equações exatas.
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É somente um outro método para resolver um certo tipo de
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equações diferenciais.
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Vou escrever isso aqui.
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Equações exatas.
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Antes de eu mostrar o que é uma equação exata, eu vou
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dar um pouco dos conceitos básicos,
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e quando eu provar isso, ou pelo menos
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dar uma idéia de onde vêm as equações exatas, elas não pareçam
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vir do nada..
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Então vamos supor que tenhamos uma função de x e y, e vamos
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chamá-la de psi, pois é assim que as pessoas tendem
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a chamar estas equações exatas.
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Então psi é função de x e y.
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Então você não está familiarizado com a regra
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da cadeia em derivadas parciais, mas eu vou mostrar agora,
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e eu vou mostrar o caminho, entretanto
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eu não vou provar.
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Se eu fosse derivar esta função em relação
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à x, aonde y é função de x, eu poderia
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escrever isto como y -- desculpa. Não é y. É psi.
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Apagar.
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Então eu poderia reescrever psi como função de x e y,
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que é uma função de x.
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Eu poderia escrever desta forma.
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Estas são duas formas diferentes
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de escrever a mesma coisa.
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Agora, se eu derivar psi em relação à x
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e estes são somente conceitos básicos - Se eu
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derivar psi em relação à x, isso é igual a
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Isto é a regra da cadeia usando derivadas parciais.
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Eu não vou provar, mas vou mostrar a
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idéia aqui.
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Então isto vai ser igual à derivada parcial de
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psi em relação à x mais a derivada parcial de psi em
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relação à y vezes dy/dx .
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E isso deveria dar uma idéia.
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Eu estou derivando em relação à x,
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e eu poderia dizer, e eu sei que não posso, pois
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esta derivada parcial em y e dy representam
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coisas diferentes.
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Se elas se cancelassem, então nós teríamos
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outra derivada em relação à x.
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E se você somasse elas, então você teria
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a derivada total em relação à x.
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Isso não é intuição, é somente para mostrar
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que até isso pode te dar um pouco da idéia de intuição.
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Agora, a intuição é essa, vamos dizer psi, e psi não
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tem que sempre ter esta forma, mas você poderia usar
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esta mesma metodologia para levar psi à notações mais complexas.
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Mas vamos dizer que psi, e eu não vou escrever que
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é uma função de x e y.
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Nós sabemos que é uma função de x e y.
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Vamos dizer que é alguma função de x
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f1 de x vezes alguma função de y.
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E vamos dizer que existem um monte de outros termos como esses.
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Então existem n termos como esses até o
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"eneézemo" termo da função x vezes a "eneézema" função de y.
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Eu defini psi assim para que eu possa mostrar
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a idéias de que quando eu uso diferenciação implícita
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nela, quando eu eu a derivo em
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relação à x, eu vou obter algo
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que parece com aquilo lá.
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Então o que é a derivada de psi em relação à x?
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E isto é apenas diferencição implícita que você
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aprendeu, ou que acredita ter aprendido, no primeiro
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semestre do curso de cálculo.
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Isto é igual, e nós utilizamos a regra do produto, certo?
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Então a primeira expressão, você deriva isso
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em relação à x.
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Bem, isso vai ser f '1 vezes a segunda
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função, bem, ela é apenas g1 de y.
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Agora você soma à derivada da segunda
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função vezes a primeira função
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Então mais f1 de x, esta é a primeira função, vezes a
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derivada da segunda função.
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Agora a derivada da segunda função, ela vai
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ser esta função em relação à y.
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Então você poderia escrever isso como g '1 de y.
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Claro que nós estamos fazendo a regra da cadeia.
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Então é isso vezes dy/dx .
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Talvez você queira rever os vídeos
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de diferenciação implícita se isto parece um pouco estranho.
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Mas isto bem aqui, o que eu fiz, esta expressão
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bem aqui, ela é a derivada
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em relação à x disto.
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E nós temos n termos como aquele.
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Se nós continuarmos somando eles, eu vou escrever na vertical.
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E assim por diante, e você terá um monte deles, e o último
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vai parecer igual, é somente a
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"eneézema" função de x.
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Então fn' de x vezes a segunda função, gn de y,
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mais a primeira função, fn de x, vezes a derivada da
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segunda função.
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A derivada da segunda função em relação à y é
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apenas g ' de y vezes dy/dx.
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É apenas a regra da cadeia.
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dy/dx.
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Agora, nós temos dois n termos. Nós temos n termos aqui, certo,
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onde cada termos era uma f de x vezes uma g de y, ou f1 de x
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vezes g1 de y, e assim por diante até fn de
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x vezes gn de y.
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Para cada uma delas nós temos duas quando fizemos
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a regra do produto.
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Se nós agruparmos os termos, então se nós agruparmos os termos
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que não têm dy/dx neles, o que obtemos?
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Se somarmos eles, eu acho que você pode chamá-los
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de termos do lado esquerdo, eu estou apenas arrumando, tudo isso é igual a
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f1' de x vezes g1 de y mais f2,g2 até fn'
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Desculpa, fn' de x, gn de y.
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É apenas a soma destes termos, mais
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a soma de todos esses.
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Todos os termos que têm dy/dx.
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E vou escrevê-los em uma cor diferente.
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Então todos estes termos vão ser
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escritos em uma cor diferente.
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Eu vou fazer isso em um parênteses diferente.
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Mais f1 de x g1'de y, e eu vou escrever dy/dx depois,
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Eu vou fazer a distributiva.
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Mais, e nós temos n termos, mais fn de x gn' de y,
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e então todos estes termos são multiplicados por dy/dx.
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Agora, algo parece interessante.
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No começo nós definimos psi, aqui, como isso bem aqui,
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mas o que é o termo em verde?
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Bem, o que nós fizemos foi pegar todos os termos individuais,
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e estes termos em verde aqui são a derivada
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em relação à x em cada termo. Se você
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derivar apenas em relação à x, então
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a função de y é apenas uma constante, certo?
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Se você pegasse a derivada parcial em
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relação à x.
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Então se você derivou parcialmente em relação a x
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deste termo, você tratou a funçãode y como constante.
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Então a derivada disto seria apenas f ' de x, g1
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de y, pois g1 de y é apenas uma constante.
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E assim por diante.
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Você pode ver todos os termos em verde como
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a derivada parcial de psi em relação à x.
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Nós fingimos que y é constante.
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E usando a mesma lógica, se você ignorar isto, se olhar
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para esta parte aqui, o que é?
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Nós pegamos psi, bem aqui, tratamos as funções de x como
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uma constante, e nós calculamos a derivada partial
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em relação à y.
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E este é o motivo pelo qual as derivadas são das funções g's.
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E então nós multiplicamos isso por dy/dx.
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Você poderia escrever assim, isto é igual à--Eu vou fazer
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em verde--Este em verde é a mesma coisa que a derivada parcial de psi
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em relação à x.
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Mais, o que é este em roxo, esta parte do roxo?
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Vou fazer em outra cor, em magenta.
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Isto, bem aqui, é a derivada parcial de psi em relação à y
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e vezes dy/dx.
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Então aquilo tudo era o que eu queria mostrar para vocês
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neste vídeo, pois acredito que
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estou com o tempo contado.
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Aquilo é a regra da cadeai, em relação à uma das
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variáveis, mas a segunda variável na função é
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também função de x, a regra da cadeia é isso.
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Se psi é função de x e y, e eu teria calculado
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não a derivada parcial, eu teria calculado a derivada total de
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psi em relação a x, isto é igual à derivada parcial de psi
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em relação à x, mais a derivada parcial em relação
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à y, vezes dy/dx.
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Se y não fosse uma função de x, ou se y fosse independente
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de x, então dy/dx seria 0.
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E este termo seria 0, e então a derivada de psi
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em relação à x seria somente a derivada parcial de psi
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em relação à x.
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De qualquer forma, eu quero que vocês tenham isto em mente.
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E neste vídeo eu não provei isso, mas espero ter dado
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a vocês uma idéia se eu não confundi vocês.
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NÓs iremos usar esta propriedade nos próximos
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vídeos para entender equcao exatas um pouco melhor.
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Eu entendo que neste vídeo eu somente fiquei
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dando uma idéia.
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Eu não disse ainda o que é uma equação exata.
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Vejo vocês no próximo vídeo.
