Intuicja w równaniach różniczkowych zupełnych

Reguła łańcucha z pochodnymi cząstkowymi (bardziej intuicja niż dowód).

Przedstawię teraz koncepcję równań zupełnych.

Jest to po prostu kolejna metoda rozwiązywania pewnych typów

równań różniczkowych.

Zapiszmy to.

Równania zupełne.

Zanim pokażę, co to jest równanie zupełne, zamierzam

przekazać Tobie trochę cegiełek,

tak, że gdy później to udowodnię, lub chociaż pokażę

intuicję za tym stojącą, nie będzie to

zaskakujące.

Powiedzmy, że mam pewną funkcję od x i y, i że będziemy

nazywali ją psi, po prostu dlatego, że taką ludzie mają tendencję

w równań zupełnych.

Tak więc psi jest funkcją x i y.

Prawdopodobnie nie jesteś zaznajomiony z regułą

łańcucha dla pochodnych cząstkowych, ale pokaże Ci ją teraz,

i dam trochę intuicji, chociaż

nie udowodnię jej.

Tak więc, jeżeli chcę wziąć pochodną tego względem

x, gdzie y jest także funkcją x, mógłbym także

napisać to jako y - przepraszam, to nie y, psi.

Cofnij.

Tak więc mógłbym także napisać to jako psi, od x i y, które jest

funkcją x.

Mógłbym to zapisać w ten sposób.

To są tylko dwa różne sposoby

zapisu tej samej rzeczy.

Teraz, gdybym chciał wziąć pochodną psi względem

x - to są tylko cegiełki - gdybym miał

wziąć pochodną psi względem x, to jest równe

- to jest reguła łańcucha dla pochodnych cząstkowych.

Nie udowodnię tego, ale przedstawię Tobie

intuicję.

Tak więc to będzie równe pochodnej cząstkowej

psi względem x plus pochodna cząstkowa pis względem

y razy dy po dx.

To powinno dać troszkę intuicji.

W pewnym sensie biorę pochodną po x,

i mógłbyś powiedzieć, i wiem że nie możesz, ponieważ ta

pochodna cząstkowa względem y, i dy, są dwiema

różnymi rzeczami.

Ale gdy je wykasujemy, wtedy miałbyś w pewnym sensie

kolejną pochodną cząstkową względem x.

Gdybyś je dodał, dostałbyś

pełną pochodną względem x.

To nie jest nawet intuicja, jest to tylko pokazanie Tobie

że nawet to powinno mieć trochę intuicyjnego sensu.

Teraz intuicja. Powiedzmy, że psi, psi nie musi mieć

zawsze tej postaci, ale mógłbyś wykorzystać tę samą

metodologię dla bardziej złożonych notacji.

Ale powiedzmy, że psi, nie będę pisał, że jest to

funkcja od x i y.

Wiemy, że jest to funkcja od x i od y.

Powiedzmy, że jest równe f - pewnej funkcji od x,

f1 od x, razy pewna funkcja od y.

Powiedzmy, że jest cała masa wyrazów jak ten.

Jest więc n wyrazów jak ten, dodać aż do n-tego wyrazu

będącego n-tą funkcją x razy n-ta funkcja od y.

Po prostu zdefiniowałem psi w ten sposób, tak bym mógł przekazać

intuicję, że kiedy wykorzystuję różniczkowanie niejawne na tym

wyrażeniu, kiedy biorę pochodną tego

względem x, istotnie dostaję coś, co

wygląd właśnie jak to.

Więc jaka jest pochodna psi względem x?

Pochodna psi względem x.

To jest po prostu różniczkowanie funkcji złożonej, którego

nauczyłeś się, taką mam nadzieję, podczas Twojego pierwszego

semestru kursu rachunku różniczkowego.

To jest równe, używamy tylko różniczkowania iloczynu, tak?

Więc pierwszy wyraz, bierzesz pochodną tego

względem x.

To będzie po prostu f1 prim od x razy druga

funkcja, to jest g1 od y.

Teraz dodajesz to do pochodnej drugiej funkcji

razy pierwsza funkcja.

Więc plus f1 od x, to jest pierwsza funkcja, razy

pochodna drugiej funkcji.

Pochodna drugiej funkcji, to będzie

ta funkcja względem y.

Możesz zapisać to jako g1 prim od y.

Ale oczywiście, stosujemy regułę łańcucha.

Tak więc razy dy po dx.

Mógłbyś chcieć przypomnieć sobie filmy o różniczkowaniu

funkcji złożonej, jeśli wydaje Ci się to trochę niejasne.

Ale to właśnie tutaj, to co właśnie zrobiłem, to wyrażenie

tutaj, to jest pochodna

względem x tego.

Mamy n wyrazów jak ten.

Więc gdy będziemy je dodawać, zrobię to pionowo w dół.

Więc plus, i dalej masz całą listę ich, aż do ostatniego

wyglądającego tak samo, jest to po prostu

n-ta funkcja x.

Tak więc fn prim od x razy druga funkcja, gn od y,

dodać piersza funkcja, fn od x, razy pochodna

drugiej funkcji.

Pochodna drugiej funkcji względem y

jest równa gn prim od y razy dy po dx.

To tylko reguła łańcucha.

dy dx.

Teraz mamy 2n wyrazów. Tu mamy n wyrazów,

gdzie każdy wyraz jest postaci f od x razy g od y, lub f1 od x

razy g1 od y, aż w końcu do fn od

x razy gn od y.

Teraz z każdego z nich, otrzymaliśmy po dwa wyrazy, po

zastosowaniu reguły różniczkowania iloczynu.

Jeżeli pogrupujemy wyrazy, więc gdy pogrupujemy wszystkie wyrazy, które

nie mają dy po dx, co dostaniemy?

Gdy dodamy wszystkie te, myślę, że mógłbyś je wszystkie położyć

po lewej stronie, tylko przestawiam, to wszystko jest równe f1

prim od x razy g1 od y, dodać f2, g2, aż do fn prim,

przepraszam, fn prim od x, gn od y.

To jest tylko to wszystko dodane razem, dodać te

wszystkie dodane razem.

Wszystkie te wyrazy, które mają dy po dx.

Zapiszę je innym kolorem.

Tak więc wszystkie te wyrazy będą

w innym kolorze.

Zapiszę je w innych nawiasach.

Dodać f1 od x g1 prim od y, dy po dx dodam później.

Wyciągnę je przed nawias.

Dodać, mamy n wyrazów, dodać fn od x gn prim od y,

i teraz wszystkie te wyrażenia są pomnożone przez dy po dx.

Teraz, coś wygląda tutaj ciekawie.

Pierwotnie zdefiniowaliśmy nasze psi, tu w górze, właśnie tutaj,

ale czym jest te zielone wyrażenie?

Tak więc, to co zrobiliśmy to wzięliśmy wszystkie te pojedyncze wyrazy,

a te zielone wyrazy tutaj są po prostu wzięciem pochodnej

tylko względem x, z każdego z nich. Ponieważ, gdy

bierzesz pochodną względem x tego wyrażenia,

funkcja y jest tylko stałą, tak?

Gdybyś miał wziąć tylko pochodną cząstkową

względem x.

Jeśli więc bierzesz pochodną cząstkową względem x

tego wyrażenia, traktujesz funkcję od y jak stałą.

Tak więc pochodna tego będzie po prostu f prim od x, g1

od y, ponieważ g1 od y jest tylko stałą.

I tak dalej, i tak dalej.

Wszystkie te zielone składniki możesz postrzegać jako pochodną

cząstkową psi względem x.

Zachowywaliśmy się po prostu jak gdyby y była stałą.

I ta sama logika, jeśli zignorujesz to, jeśli popatrzysz tylko

na tę prawą część tutaj, co to jest?

Wzięliśmy psi, tu w górze, potraktowaliśmy funkcję od x jak

stałą, i wzięliśmy po prostu pochodną cząstkową

względem y.

I dlatego primy są na wszystkich literach g.

I potem mnożymy to przez dy po dx.

Możesz więc napisać to, to jest równe - zapiszę to

na zielono - zielona część jest tą samą rzeczą co pochodna cząstkowa psi

względem x.

Dodać, czym jest ta część purpurowa?

Pozwól, że zapiszę to innym kolorem, w magencie.

To, właśnie tutaj, jest pochodną cząstkową psi względem

y, i potem razy dy po dx.

I w zasadzie to jest wszystko, co chciałem teraz Tobie pokazać

w tym filmie, ponieważ zdaję sobie sprawę, że powoli kończy

mi się czas.

Że reguła łańcucha, względem jednej ze

zmiennych, gdy druga zmienna funkcji jest

także funkcją x, reguła łańcucha jest właśnie tym.

Gdy psi jest funkcją x i y, i gdy nie biorę

pochodnej cząstkowej, tylko pełną pochodną

psi względem x, jest równa pochodnej cząstkowej psi

względem x, dodać pochodna cząstkowa psi względem

y, razy dy po dx.

Gdy y nie jest funkcją x, lub gdy y jest niezależna

od y, to dy po dx jest zerem.

I ten wyraz jest wówczas zerem, i pochodna psi

względem x byłaby po prostu pochodną cząstkową psi

względem x.

W każdym razie, chciałem żebyś to zapamiętał.

W tym filmie, nie udowodniłem tego, ale mam nadzieję, że przekazałem

Tobie trochę intuicji, o ile Cię nie zdezorientowałem.

Będziemy używać tej własności w następnym cyklu

filmów, żeby trochę bardziej zrozumieć równania zupełne.

Zdaję sobie sprawę, że w tym filmie, po prostu dałem najwięcej intuicji

jak tylko tutaj mogłem.

Nie powiedziałem Tobie nawet, co to jest równanie zupełne.

Do zobaczenia w następnym filmie.