Exact Equations Intuition 1 (proofy)

Chain rule using partial derivatives (not a proof; more intuition).

유클리드

이제 완전미분방정식에 대한 개념을 소개하려고 합니다.

이는 미분방정식의 어떠한 종류를 푸는 또다른

방법 중 하나입니다.

적어보겠습니다.

• 완전미분방정식

.

완전미분방정식이 어떤것인지 보여주기 전에

저는 기초적인 것들을 가르쳐 드릴텐데요

그래서 제가 나중에 증명할때나 적어도 그것에 대한

직관을 힌트드릴 때, 전혀 모르는 것이 나오지 않도록

하겠습니다.

그래서 x와 y에 관한 함수가 있다고 할 때,

이것을 psi라고 합시다. 사람들이 완전미분방정식을

이것으로 부르거든요.

그래서 psi는 x와 y의 함수입니다.

.

그래서 합성함수의 미분공식으로 부분미분을 하는 것이

익숙치 않을텐데 그치만 제가 지금 보여드리고

비록 제가 그것을 증명하진 않겠지만,

약간의 직관을 드릴께요.

그래서 제가 이것을 x에 대한 미분을 취하고 싶을 때,

이때 y는 x의 함수이고, 저는 이것을 y, 아니 psi라고

쓸 수 있겠습니다. 죄송합니다 .

..

그래서 제가 이것을 psi라고 쓸수 있는데, x와y로, 이는

X의 함수입니다.

저는 그래서 바로 그렇게 쓸수 있습니다.

이것은 똑 같은 것을 쓰는 두가지 다른 방법

을 말합니다.

이제, 이것은 기초인데,

만약 제가 psi에 x에 대한 미분을 취하려고 한다면,

이것은, 합성함수의 미분공식 (CHAIN RULE)과 같습니다.

Chain rule은 부분 미분방정식을 이용하는 것입니다.

그리고 저는 이것을 증명하지는 않겠지만, 직관을

여기서 드리겠습니다.

그래서 이것은 x에대한 psi의 부분 미분방정식 더하기

Y에 대한 psi의 부분 미분방정식.

곱하기 dydx가 될것입니다

.

그리고 여기서 약간의 직관력이 필요합니다.

저는 여기서 x에 대한 미분을 취하고

만약에 당신이 이것을 말할 수 있다면(못할 것이라는 것을 알지만),

이것은 y에 대한 부분미분방정식이고, dy 그들은

2가지 다른 것들입니다.

하지만 이것들이 상쇄되면, 이것은

X에 대한 다른 부분미분방정식을 가지게 되는 것입니다.

그리고 만약 당신이 이것들을 더하게 된다면, 당신은

X에 대한 전체 미분을 가지게 될것입니다.

이것은 직관도 아니지요, 그저 당신에게 이것조차

약간의 직관력을 가지면 된다는 것을 보여주고 싶었습니다

그리고 여기서 직관, psi라고 하는 이 것이 이 형식을 항상

따라야 하는 것은 아니지만 이 똑 같은 방법으로

Psi를 더 복잡한 표현식으로 취할 수 있습니다.

하지만, psi를 여기서 x와 y에 대한.

함수라고 적지는 않겠습니다

우리는 이것이 x와 y의 함수라는 것을 알기 때문입니다.

이것이 x에 관한 어떤 함수랑 같다고 합시다. 이것을 F1이라고 부르고

이것이 y에 대한 어떤 함수랑 곱해졌습니다.

그리고 이런 것들이 매우 많다고 생각합시다.

이것과 같이 n개의 항이 있는데, n항까지의 합은

X의 n번째 함수와 y의 n번째 함수를 곱한 것입니다.

저는 psi를 이렇게 정의해서

제가 이것에 대한 음함수 미분법을 사용할 때, 여러분들에게 직관을 줄 수 있을 것이고,

이것을 x에 대한 미분을 취할 때

그것과 비슷하게 생긴 것을

얻게 될것입니다.

그래서 x에 대한 psi의 미분은 무엇일까요?

.

그리고 이것은 미분의 첫번째 학기에서 여러분이 배운 , •

또는 배우기를 바라는

음함수 미분법입니다.

이것은 똑같네요. 그리고 우리는 곱의 법칙을 쓰죠?

그래서 첫 번째 표현식을 x에 대한 미분을

취합니다.

그렇다면, 이것은 f1’(x)*두번째 함수가 될 것이고

이것은 y에 대한 g1이 됩니다.

이제 이것을 두번째 함수의 미분값과

첫번째 함수의 곱에 더합니다

그래서 F1(x)-첫번째 함수-곱하기 두번째 함수의

미분값이 되네요.

두번째 함수의 미분값은

y에 대한 이 함수가 되겠네요.

그래서 이것을 g1’(y)가 됩니다.

하지만, 당연히 우리는 chain rule 을 이용하겠죠.

그래서 이것은 dy dx가 됩니다.

그래서 이것이 약간 생소하다면 당신은 음함수 미분법 비디오를

복습하시면 됩니다.

하지만 여기있는 이 표현식은

X에 대한 이것의

미분방정식입니다.

그리고 우리는 이러한 것들이 n항까지 있습니다.

그래서 만약 우리가 이것을 계속해서 더한다면, 세로로 더하겠습니다.

그래서 우리가 이 많은 것들을 가지게 되면, 마지막은

똑같이 생긴 것일 것인데 이는 그저 x의 n번째 함수일

것입니다.

그래서 Fn’(x)* Gn(y)+

Fn(x)*Gn’(y)가

될 것입니다.

Y에 대한 두번째 함수의 미분은 그저

G’(y)*dydx가 될것입니다

이것 dydx은 chainrule을

이용하면 됩니다.

지금 우리는 두개의 n항을 가지고 있고, 각항은 F(x)*g(y)또는

F1(x)g1(y)에서 Fn(x)Gn(y)까지로

이루어져

있습니다.

이제 이 각각에서 우리는 2개를 가지고

곱의 법칙을 할 때처럼 하면 됩니다

우리가 이 항들을 무리짓고, dydx가 없는 것들을 무리지으면

우리는 어떤것들을 얻을까요?

이것들을 모두 더하면, 이것들을 모두 좌변에 정리할 수 있는데요

제가 그냥 정리하고 있는 겁니다,

그것은 f1'(x) 곱하기 g1'(y) 더하기 f2*g2, 이렇게 모든 fn의 프라임에 대해 하는 겁니다.

죄송합니다, fn(x)'곱하기 gn(y)'

이것은 모든 것들을 더하것으로

모든 것을 더해야 합니다.

모든 항에는 dy/dx 가 있습니다.

그리고 그것들은 다른 색깔로 하겠습니다.

그래서 모든 항들은

다른 색으로 할 것입니다.

이것은 다른 괄호에 하겠습니다.

더하기 f1(x)*g1(y)', 그리고 dy/dx는 이따가 하겠습니다.

이것을 나누겠습니다.

더하기, 우리는 n개의 항들이 있습니다, 더하기 fn(x)*gn(y)',

그리고 모든 항들은 dy/dx를 곱합니다.

여기서, 흥미로운 것이 있습니다.

우리는 원래 위에 있는 psi를 밝혔는데요,

근데 이 초록색 항은 무엇인가요?

우리가 한 것은 각각의 항과

이 초록색항들은

그냥 각가의 항의 x에 대해서 도함수를 구하는 것인데요.

그냥 x에 대해 도함수를 구하기 때문에

y에 대한 함수는 일정하겠죠?

x에 대해서

편도함수를 구하는 것입니다.

그래서 만약 x에 대해서 편도함수를 구한다면,

y에 대한 함수를 일정하게 놔두는 것입니다.

그래서 이것의 도함수는 f'(x)*g1(y),

왜냐하면 g1(y)는 일정하기 때문입니다.

그리고 그렇게 계속 갑니다.

이 모든 초록색 항들은

psi를 x에 대한 편도함수로 볼 수 있습니다.

우리는 그냥 y가 일정한 것으로 표현한 것입니다.

그리고 같은 논리에 의해, 만약 이것을 무시한다면

이것만 본다면, 무엇입니까?

우리가 psi를 선택하면, 우리는 x에 대한 함수를

일정하다고 보고, 우리는

y에 대한 편도함수를 보는 것입니다.

그래서 g 들에만 프라임이 있는 것입니다.

그리고 우리는 그것을 dy/dx를 곱하는 겁니다.

그래서 우리는 이것을 이렇게 쓸 수 있습니다. 이것은 -

초록색으로 하겠습니다- 이 초록색은 psi의

x에 대한 편도함수로 볼 수 있습니다.

그리고, 이 쪽의 보라색은 무엇입니까?

이것은 다른색인 자주색으로 하겠습니다.

이것은, y에 대한 편도함수이고

거기에 dy/dx를 곱한 것입니다.

.

제가 이 동영상에서 근본적으로 보여주고 싶은 것은.

왜냐하면 제가 시간이

거의 다 갔기 때문입니다.

연쇄법칙(체인룰) 입니다

한개의 미지수에 대하여, 하지만 두번째 미지수에 대한 함수도

또한 x에 대한 함수입니다, 이것이 바로 연쇄법칙입니다.

만약 psi가 x와 y에 대한 함수라면,

저는 이것의 편도함수를 가지고, 이것의 x에 대한

전체도함수은, 이것은 psi의 x에 대한

편도함수와와 y에 대한 psi의 편도함수를 더하고

dy/dx를 곱한 것입니다.

만약 y가 x에 대한 함수가 아니라면, 또는 y가 x와 독립적이지 않다면,

dy/dx 가 0일 것입니다.

그리고 이 항은 0일 것이고, x에 대한 psi의 도함수는

그냥 x에 대한 psi의

편도함수입니다.

그나저나, 이것을 계속 생각해 두기를 바랍니다.

그리고 이 영상에서는 증명을 하지않고,

혼돈을 주지않고 그냥 직감을 주기를 바랍니다.

그리고 이것을 다음 영상들에서

완전미분방정식에 대해 알아볼 때 쓸 것입니다.

이 영상에서

직감을 주었기를 바랍니다.

근데 저는 완전미분방정식에 대해 설명을 하지 않았는데요.

다음 영상에서 봅시다!

.