完全方程式の概念

偏微分を行う際の連鎖律 (概念).

完全方程式の概念を紹介します。

完全方程式の概念を紹介します。

これはある種の微分方程式を解く方法の

一つです。

ここに書きます。

完全方程式。

完全方程式。

完全方程式を書く前に

すこし基礎を説明します。

後で証明、または、

直感に理解できると

思います。

xとy のいくつかの関数があるとします。

psi と呼びましょう。

これが、完全方程式によく使われる記号です。

Psi は、x とyの関数です。

Psi は、x とyの関数です。

連鎖律を偏微分方程式に応用することに

慣れていないかもしれませんが、

その方法を示します。

その方法を示します。

このxに関する微分を取る場合

yはxの関数なので、

yはxの関数なので、

書き換えられます。

この psi は、xとxの関数であるyの

関数です。

このように書くことができます。

これらは

同じことを書いています。

もし psi のxに関する微分を取ると

これらは、単なる分けられた部分です。

psi x に関しての微分を取るとこうなります。

― ― この偏微分に連鎖律を応用しました。

ここでは、証明しませんが、

これが直間的に正しいことを示しましょう。

これは　psi のx に関しての偏微分と

psi のyに関しての偏微分を加えたものに

dy／dxで掛けたものに等しくなります。

dy／dxで掛けたものに等しくなります。

これで少しわかりやすくなりましたか？

x に対する微分を取り

正確には

この部分的な y と、dy は

2 つの異なるものですが、

もしこれらがキャンセルできる場合は、

もう 1 つのxに関する誘導体を取ったようなものです。

そして、これらを加えると

x に対する完全微分になります。

見た目で

少し感じがわかりますか？

直感的に、psiは

常にこの形を取らないが、これと同じ方法で

psi を複雑な表記にすることができます。

psi があるとします。

これは x と yの関数です。

これは x と yの関数です。

それは、 x のある関数　f１（x）に

yのある関数を掛け、

このような項のまとまりとします。

このような項がn個あり、

n 番目の項は、fn（x）gn（y）の関数です。

psi をこのように定義します。

xに関しこの微分を取ると

xに関しこの微分を取ると

このようなものが得られます。

このようなものが得られます。

Psi のxに関して の微分は何ですか？

Psi のxに関して の微分は何ですか？

これは、微積分コースでまず習うべく

陰関数です。

陰関数です。

これは、掛け算の規則に従い、

この最初の項では、xに関するその微分を取ると

この最初の項では、xに関するその微分を取ると

まず、 f1 ’（x）g１（y）で

まず、 f1 ’（x）g１（y）で

これは、2 番目の関数掛ける１番目の関数の

微分を加えます．

最初の関数 f1 （x）に

2 番目の関数の微分　g１’（y）

2 番目の関数の微分は、

この関数は、y に対しているので

だから g１’（y）と書くことができます。

連鎖律を応用し、

dy ／dx を掛けます。

陰関数の復習をしたい人は

陰関数のビデオを見てください。

ここでは、この表現が

xに関するこの微分です。

xに関するこの微分です。

そのような n 個の項があります。

これらの項を足していけば

このような項が

x の n 番目の関数まで

加えられます。

最後の項は、
fn’（x）gn（y）＋fn（x）gn’（y）dy／dxです。

最後の項は、
fn’（x）gn（y）＋fn（x）gn’（y）dy／dxです。

最後の項は、
fn’（x）gn（y）＋fn（x）gn’（y）dy／dxです。

最後の項は、
fn’（x）gn（y）＋fn（x）gn’（y）dy／dxです。

最後の項は、
fn’（x）gn（y）＋fn（x）gn’（y）dy／dxです。

これは連鎖律です。

これは連鎖律です。

2 つの n の項があります。

f１’（x）g１（y）とf１（x）g１’（y）dy／dxのように

それぞれのn個の項に２つの項があります。

それぞれのn個の項に２つの項があります。

それぞれに、乗法規則を応用し

２つの項が得れます。

これらを、dy／dxがあるかないかで、まとめると

どうなるでしょう？

これらのすべてを加えると、

この左側の項をまとめると

f１’（x）g１（y）＋f２’（x）g２（y）．．．．．で

fn’（x）gn（y）までです。

これらをすべて加えたものです。

これらをすべて加えたものです。

dy／ dx があるすべての項は

異なる色で書きます。

これらのすべての項は

別の色で

異なる括弧を使います。

dy／dxでまとめて
f１（x）g１’（y）＋

dy／dxでまとめて
f１（x）g１’（y）＋

fn（x）gn’（y）まで続きます。

このすべての項は dy／ dx によって乗算されます。

今、何かここで面白そうだね。

このもとの psi の定義は、これです。

しかし、この緑の項は何ですか？

これらの個々 の項を取り、

xに関するその微分を取ったものです。

つまり、

これの x に対する微分だけを取り

y の関数は、ただの定数となっています。

xに関する偏微分だけを取るとすれば

xに関する偏微分だけを取るとすれば

だから x に対する偏微分のみを取った場合

この項の y の関数を定数として扱います。

だからこの微分は f １’（x）g１（y）です。

g１（y）は単なる定数として扱われています。

g１（y）は単なる定数として扱われています。

これらのすべての緑の項は、

psi のx に関しての偏微分と見なされます。

Y が定数であるようなに扱いました。

同様に

この右の部分、これは何ですか？

psi を、xを定数として扱い

yの偏微分を取ったものです。

yの偏微分を取ったものです。

gはすべて微分です。

そして、それらに dy ／dxを掛けます。

書き換えると

この緑は　 psi のxに関する微分と同じものです。

この緑は　 psi のxに関する微分と同じものです。

それに、加えられるこの紫色の部分は何ですか？

濃い紫に変えます。

これは、 psi のyに関する微分に

dy／dxを掛けたものです。

dy／dxを掛けたものです。

これが、このビデオを紹介したかったものです。

時間がなくなってきました。

時間がなくなってきました。

連鎖律に関し、

２番目の変数が１番目の変数の関数の場合、

連鎖律はこれです。

Psi が x とyの関数の場合、

偏微分ではなく、完全微分を取るには

xに関する偏微分と

yに関する偏微分にdy／dxを掛けたものを

加えます。

Yがx の関数ではなかった場合、
またはyがxに関し独立していた場合には

dy ／ dx は 0 になります。

つまり、この項は０となり、

x に対するの psi の偏微分だけになります。

x に対するの psi の偏微分だけになります。

この点を覚えておいてください。

このビデオでは証明をしませんでしたが

直間的に理解できましたか？

次のビデオでは、この特性を使用し

完全方程式をもう少し正確に理解しましょう。

このビデオでは

概念だけを紹介しました。

完全方程式については、まだ説明していません。

次のビデオでを見てください。

次のビデオでを見てください。