< Return to Video

Exact Equations Intuition 1 (proofy)

  • 0:01 - 0:05
    כעת נכיר את הרעיון של משוואות מדויקות.
  • 0:05 - 0:07
    וזו פשוט שיטה אחרת לפתור צורה מסוימת של
  • 0:07 - 0:08
    משוואות דיפרנציאליות.
  • 0:08 - 0:09
    בואו נרשום זאת.
  • 0:09 - 0:14
    משוואות מדויקות.
  • 0:16 - 0:19
    לפני שנראה מהם משוואות מדויקות, כעת רק
  • 0:19 - 0:21
    נתבונן מהם אבני הבנין, כדי
  • 0:21 - 0:23
    שמאוחר יותר, כאשר נוכיח זאת, או לפחות
  • 0:23 - 0:26
    נקבל את האינטואיציה עבורם, זה לא ירגיש
  • 0:26 - 0:27
    כמו משהו מוזר.
  • 0:27 - 0:30
    נניח שיש לנו כמה פעולות של X ושל Y,
  • 0:30 - 0:33
    ונקרא לזה פסאיי, כי זה מה שאנשים נוטים להשתמש
  • 0:33 - 0:35
    למשוואה מדויקת.
  • 0:35 - 0:41
    אז פסאיי זו פונקציה של X ושל Y.
  • 0:41 - 0:47
    אז בטח אתם לא מכירים את חוק השרשרת
  • 0:47 - 0:50
    על נגזרות חלקיות, אבל נראה את זה עכשיו,
  • 0:50 - 0:51
    ונקבל מעט אינטואיציה, למרות
  • 0:51 - 0:52
    שלא נוכיח זאת.
  • 0:52 - 0:54
    אז אם אנו לוקחים את הנגזרת של זה
  • 0:54 - 0:59
    ביחס ל X, כאשר Y היא גם פונקציה של X, ניתן
  • 0:59 - 1:05
    לכתוב זאת בצורה Y...סליחה, זה לא Y, זה פסאיי.
  • 1:05 - 1:06
    נבטל.
  • 1:06 - 1:11
    אז ניתן לכתוב זאת גם כפסאיי, כ X וכ Y, שזה
  • 1:11 - 1:12
    פונקציה של X.
  • 1:12 - 1:13
    ניתן לכתוב זאת בצורה הזו.
  • 1:13 - 1:14
    זה שתי דרכים שונות
  • 1:14 - 1:15
    לכתיבה של אותו הדבר.
  • 1:15 - 1:18
    כעת אם היה צריך לקחת את הנגזרת של פסאיי ביחס
  • 1:18 - 1:23
    ל X.. וזה רק אבני הבניין...אם צריך לקחת
  • 1:23 - 1:28
    את הנגזרת של פסאיי ביחס ל X, זה שווה
  • 1:28 - 1:30
    ל...זה חוק השרשרת שעושה שימוש בנגזרות חלקיות.
  • 1:30 - 1:32
    ולא נוכיח זאת, אבל נקבל
  • 1:32 - 1:33
    כאן אינטואיציה.
  • 1:33 - 1:37
    אז זה יהיה שווה לנגזרת החלקית של
  • 1:37 - 1:46
    פסאיי ביחס ל X ועוד הנגזרת החלקית של פסאיי
  • 1:46 - 1:53
    ביחס ל Y כפול DY DX.
  • 1:53 - 1:56
    וזה יתן מעט אינטואיציה.
  • 1:56 - 1:58
    אנו לוקחים את הנגזרת ביחס ל X,
  • 1:58 - 2:02
    ואם יכולתם להגיד, וברור שאינכם יכולים, כיוון
  • 2:02 - 2:04
    שזה חלקי ביחס ל Y, וה DY, הם
  • 2:04 - 2:05
    שני דברים שונים.
  • 2:05 - 2:07
    אבל אם זה מתבטל, אז יהיה לכם
  • 2:07 - 2:09
    משהו חלקי אחר ביחס ל X.
  • 2:09 - 2:12
    ואם תרצו לחבר אותם, אז תקבלו
  • 2:12 - 2:14
    את כל הנגזרות ביחס ל X.
  • 2:14 - 2:17
    זה אפילו לא האינטואיציה, זה רק כדי להראות לכם
  • 2:17 - 2:20
    שאפילו זה גורם למעט חוש אינטואיטיבי.
  • 2:20 - 2:24
    כעת האינטואיציה כאן, נגיד פשוט פסאיי, ופסאיי אינה חייבת
  • 2:24 - 2:27
    להיות תמיד באותה הצורה, אבל אתם יכולים להשתמש באותה
  • 2:27 - 2:32
    השיטה ולקחת את פסאיי לדברים מורכבים יותר.
  • 2:32 - 2:36
    אבל נגיד שפסאיי, ולא נכתוב
  • 2:36 - 2:36
    שזה פונקציה של X ושל Y.
  • 2:36 - 2:37
    אנו כבר יודעים שזו פונקציה של X ושל Y.
  • 2:37 - 2:43
    בואו נגיד שזה שווה לכמה פונקציות של X, נקרא לזה
  • 2:43 - 2:48
    f1 של X, כפול כמה פונקציות של Y.
  • 2:48 - 2:51
    ונגיד שיש הרבה ביטויים כאלו.
  • 2:51 - 2:55
    אז ישנם n ביטויים כאלו, ועוד כל מה שבדרך לביטויי n
  • 2:55 - 3:03
    זה n פעולות של X כפול n פעולות של Y.
  • 3:03 - 3:06
    נגדיר את פסאיי כך רק כדי לתת לנו
  • 3:06 - 3:09
    אינטואיציה, שכאשר נשתמש בגזירת פונקציה לא מפורשת
  • 3:09 - 3:11
    על זה, כאשר ניקח את הנגזרת של זה ביחס
  • 3:11 - 3:12
    ל X, בעצם נקבל משהו
  • 3:12 - 3:14
    שנראה בדיוק כך.
  • 3:14 - 3:21
    אז מהי הנגזרת של פסאיי ביחס ל X?
  • 3:21 - 3:24
    וזה רק גזירת פונקציה לא מפורשת שאתם
  • 3:24 - 3:27
    למדתם, או שתלמדו, בסימסטר
  • 3:27 - 3:29
    הראשון של קורס בחדו"א.
  • 3:29 - 3:31
    זה שווה, ואנו רק עושים את חוק התוצר, נכון?
  • 3:31 - 3:34
    אז הביטוי הראשון, לוקחים את הנגזרת של זה
  • 3:34 - 3:35
    ביחס ל X.
  • 3:35 - 3:42
    זה יהיה פשוט f1 טאג של X כפול
  • 3:42 - 3:47
    הפונקציה השניה, זה רק g1 של Y.
  • 3:47 - 3:51
    כעת מוסיפים זאת לנגזרת של הפונקציה
  • 3:51 - 3:54
    השניה כפול הפונקציה הראשונה.
  • 3:54 - 3:58
    אז f1 של X, זה רק הפונקציה הראשונה, כפול
  • 3:58 - 4:00
    הנגזרת של הפונקציה השניה.
  • 4:00 - 4:02
    כעת הנגזרת של הפונקציה השניה, תהיה
  • 4:02 - 4:04
    הפונקציה הזו ביחס ל Y.
  • 4:04 - 4:09
    אז ניתן לכתוב זאת כ g1 טאג של Y.
  • 4:09 - 4:11
    אבל כמובן, אנו מבצעים את חוק השרשרת.
  • 4:11 - 4:13
    אז זה כפול DY DX.
  • 4:13 - 4:17
    ויתכן ותרצו לחזור על הסרטון של גזירת הפונקציה הלא מפורשת
  • 4:17 - 4:19
    אם זה נראה לכם לא מוכר.
  • 4:19 - 4:23
    אבל הדבר הזה כאן, מה שעשינו, הביטוי הזה
  • 4:23 - 4:26
    שכאן, זה הנגזרת
  • 4:26 - 4:29
    ביחס ל X של זה.
  • 4:29 - 4:30
    ויש לנו n ביטויים כמו זה.
  • 4:30 - 4:33
    אז אם נמשיך להוסיף אותם, נעשה זאת אנכית למטה.
  • 4:33 - 4:37
    אז ועוד, ויש לנו הרבה כאלה, והאחרון
  • 4:37 - 4:38
    יראה אותו הדבר, זה פשוט
  • 4:38 - 4:41
    הפונקציה ה n של X.
  • 4:41 - 4:49
    אז fn טאג של X כפול הפונקציה השניה, gn של Y,
  • 4:49 - 4:56
    ועוד הפונקציה הראשונה, fn של X, כפול הנגזרת של
  • 4:56 - 4:57
    הפונקציה השניה.
  • 4:57 - 4:59
    הנגזרת של הפונקציה השניה ביחס ל Y
  • 4:59 - 5:05
    זה רק g טאג של Y כפול DY DX.
  • 5:05 - 5:07
    זה חוק השרשרת.
  • 5:07 - 5:10
    DY DX.
  • 5:10 - 5:13
    כעת יש לנו שני ביטויי n. יש לנו ביטוי n כאן,
  • 5:13 - 5:17
    וכל ביטוי הוא f של X כפול g של Y, או f1 של X
  • 5:17 - 5:19
    כפול g1 של Y, ואז כל הדרך ל fn של
  • 5:19 - 5:21
    X כפול gn של Y.
  • 5:21 - 5:23
    כעת עבור כל אחד מאלו, קיבלנו שניים מהם כאשר עשינו
  • 5:23 - 5:25
    את חוק התוצר.
  • 5:25 - 5:29
    אם אנו מקבצים את הביטויים, אז אם אנו מקבצים את כל הביטויים
  • 5:29 - 5:32
    שאין להם DY DX בתוכם, מה נקבל?
  • 5:32 - 5:34
    אם נוסיף את כל אלו, נניח בצד שמאל
  • 5:34 - 5:42
    נעשה סידור מחדש, כולם שווים f1
  • 5:42 - 5:55
    טאג של X כפול g1 של Y, ועוד f2, g2, כל הדרך עד fn
  • 5:55 - 6:01
    טאג, סליחה, fn טאג של איקס, gn של Y.
  • 6:01 - 6:07
    זה כל מה שהוספנו פה, ועוד כל
  • 6:07 - 6:08
    מה שהוספנו פה.
  • 6:08 - 6:13
    כל הביטויים שיש להם DY DX בתוכם.
  • 6:13 - 6:16
    ונכתוב אותם בצבע שונה.
  • 6:16 - 6:19
    אז כל הביטויים האלו יהיו
  • 6:19 - 6:20
    בצבע אחר.
  • 6:20 - 6:22
    נעשה זאת בסוגריים אחרים.
  • 6:22 - 6:31
    ועודf1 של איקס g1 טאג של Y, ונעשה את DY DX אח"כ,
  • 6:31 - 6:32
    נפשט את זה.
  • 6:32 - 6:41
    ועוד, ויש לנו את ביטויי n, ועוד fn של איקס, gn טאג של Y,
  • 6:41 - 6:47
    ואז את כל הביטויים האלו כופלים ב DY DX.
  • 6:47 - 6:50
    כעת, משהו פה נראה מעניין.
  • 6:50 - 6:55
    בהתחלה הגדרנו את פסאיי, כאן, כדבר הזה,
  • 6:55 - 6:57
    אבל מהו הביטוי הירוק הזה?
  • 6:57 - 7:01
    מה שעשינו זה שלקחנו את כל הביטויים האינדיבידואליים שכאן,
  • 7:01 - 7:05
    ואת הביטויים הירוקים כאן, רק לקחנו את הנגזרות
  • 7:05 - 7:09
    ביחס ל X שעל כל אחד מהביטויים. כיוון שאם
  • 7:09 - 7:12
    לוקחים את הנגזרת רק ביחס ל X של זה, אז
  • 7:12 - 7:14
    הנגזרת של Y היא רק קבוע, נכון?
  • 7:14 - 7:16
    אם תקחו רק נגזרת חלקית
  • 7:16 - 7:17
    ביחס ל X.
  • 7:17 - 7:19
    אז אם תקחו את הנגזרת החלקית ביחס ל X
  • 7:19 - 7:23
    של הביטוי הזה, אתם מטפלים בפונקציה של Y כקבוע.
  • 7:23 - 7:26
    אז הנגזרת של זה תהיה f טאג של איקס, g1
  • 7:26 - 7:29
    של Y, כיוון ש g1 של Y הוא רק קבוע.
  • 7:29 - 7:30
    וכך הלאה.
  • 7:30 - 7:33
    כל הביטויים הירוקים האלו נחשבים
  • 7:33 - 7:36
    כנגזרת חלקית של פסאיי ביחס ל X.
  • 7:36 - 7:39
    אנו מעמידים פנים ש Y הוא קבוע.
  • 7:39 - 7:44
    ואותו ההיגיון, אם אתם מתעלמים מזה, אם אתם
  • 7:44 - 7:47
    רק מסתכלים על הדבר הזה כאן, מה זה?
  • 7:47 - 7:52
    אנו לוקחים את פסאיי, כאן, אנו מטפלים בפונקציה של X
  • 7:52 - 7:57
    כקבוע, ולוקחים את הנגזרת החלקית
  • 7:57 - 7:58
    ביחס ל Y.
  • 7:58 - 8:00
    וזו הסיבה שהטאגים הם על כל ה g.
  • 8:00 - 8:03
    ואז אנו מכפילים זאת כפול DY DX.
  • 8:03 - 8:06
    אז תוכלו לכתוב זאת, זה שווה...
  • 8:06 - 8:13
    נכתוב זאת בירוק..הירוק הזה הוא אותו הדבר כמו החלקי של פסאיי
  • 8:13 - 8:16
    ביחס ל X.
  • 8:16 - 8:21
    ועוד, מה הסגול הזה, החלק הזה של הסגול?
  • 8:21 - 8:24
    בואו נעשה זאת בצבע אחר, באדום.
  • 8:24 - 8:32
    הדבר הזה כאן, זה החלקי של פסאיי ביחס
  • 8:32 - 8:36
    ל Y, ואז כפול DY DX.
  • 8:39 - 8:42
    אז זה כל מה שרצינו לראות כעת
  • 8:42 - 8:42
    בסרטון הזה,
  • 8:42 - 8:44
    הזמן כמעט נגמר.
  • 8:44 - 8:48
    זה חוק השרשרת, ביחס לאחד
  • 8:48 - 8:54
    המשתנים, אבל המשתנה השני בפונקציה
  • 8:54 - 8:56
    זה גם פונקציה של X, חוק השרשרת הוא זה.
  • 8:56 - 9:00
    אם פסאיי הוא פונקציה של X ו Y, ולא ניקח
  • 9:00 - 9:02
    נגזרת חלקית,ניקח את כל הנגזרת של
  • 9:02 - 9:05
    פסאיי ביחס ל X, זה שווה לחלקי של פסאיי
  • 9:05 - 9:09
    ביחס ל X, ועוד והחלקי של פסאיי ביחס
  • 9:09 - 9:11
    ל Y, כפול DY DX.
  • 9:11 - 9:17
    אם Y אינו פונקציה של X, או אם Y אם זה היה בלתי תלוי
  • 9:17 - 9:20
    ב X, אז DY DX היה אפס.
  • 9:20 - 9:23
    והמינוח הזה היה אפס, ואז הנגזרת של פסאיי
  • 9:23 - 9:26
    ביחס ל X היתה רק החלקי של פסאיי
  • 9:26 - 9:27
    ביחס ל X.
  • 9:27 - 9:31
    אבל בכל מקרה, רק תחשבו על זה.
  • 9:31 - 9:34
    ובסרטון זה לא הוכחנו זאת, אבל
  • 9:34 - 9:36
    קיבלנו אינטואיציה. בתקווה שלא בילבלנו אתכם.
  • 9:36 - 9:40
    ואנו נשתמש בזה בסרטונים הבאים
  • 9:40 - 9:43
    כדי להבין יותר משוואות מדויקות.
  • 9:43 - 9:46
    כעת רק קיבלנו
  • 9:46 - 9:47
    מעט אינטואיציה.
  • 9:47 - 9:50
    לא אמרנו עדיין מהי משוואה מדויקת.
  • 9:50 - 9:52
    נתראה בסרטון הבא.
Title:
Exact Equations Intuition 1 (proofy)
Description:
more » « less
Video Language:
English
Duration:
09:54

Hebrew subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.