Täisdiferentsiaalvõrrandid intuitiivselt 1

Chain rule using partial derivatives (not a proof; more intuition).

Ma tutvustan teile täisdiferentsiaalvõrrandi mõistet.

Tegemist on jällegi ühe meetodiga, kuidas lahendada

ühte kindlat tüüpi diferentsiaalvõrrandit.

Ma kirjutan selle üles.

Täisdiferentsiaalvõrrandid

Enne, kui me selle juurde lähme,

näitan ma teile paari tulemust, mida läheb hiljem vaja,

kui me teeme tõestuse,

et te saaksite sellest vähemalt intuitiivselt aru.

et te saaksite sellest vähemalt intuitiivselt aru.

Olgu meil mingi funktsioon x-ist ja y-ist

ja tähistame selle tähega psii,

sest üldiselt tähistatakse neid võrrandeid niimoodi.

Psii on funktsioon x-ist ja y-ist.

Te ilmselt ei tea, kuidas mitme muutuja funktsioonist tuletist võtta,

aga ma näitan teile kuidas see käib

ja üritan seda natuke põhjendada, aga ma ei tõesta seda.

ja üritan seda natuke põhjendada, aga ma ei tõesta seda.

Kui ma võtan sellest tuletise x-i järgi,

kus y on samuti funktsioon x-ist,

siis ma võiks kirjutada selle y--- vabandust, see on hoopis psii.

Uuesti.

Et ma võiks selle kirjutada psii x-ist ja y-ist,

mis ise on funktsioon x-ist.

Niimoodi võiks seda kirjutada.

Lihtsalt kaks erinevat võimalust sama asja kirjutada.

Lihtsalt kaks erinevat võimalust sama asja kirjutada.

Kui ma leian psii tuletise x-i järgi--

seda läheb meil hiljem vaja -- siis see võrdub--

seda läheb meil hiljem vaja -- siis see võrdub--

tuleb kasutada liitfunktsiooni reeglit osatuletiste jaoks.

Ma ei tõesta seda, aga üritan seda natuke selgitada.

Ma ei tõesta seda, aga üritan seda natuke selgitada.

See võrdub siis psii osatuletis x-i järgi,

pluss psii osatuletis y-i järgi

korda dy dx.

Ja sellest võiks intuitiivselt aru saada.

Ma justkui võtan tuletist x-i järgi,

ja kui me saaks öelda, kuigi me ei saa nii öelda,

sest see y-i osadiferentsiaal ja dy on täiesti erinevad asjad.

sest see y-i osadiferentsiaal ja dy on täiesti erinevad asjad.

Aga kui need taanduksid välja,

siis oleks siin teine osatuletis x-i järgi.

Ja kui need nüüd kokku liita,

siis saaks justkui täistuletise x-i järgi.

Ma selgitan seda tegelikult veel teist moodi,

aga isegi selliselt võiks see intuitiivselt mõistetav olla.

Oletame nüüd, et psii on sellisel kujul,

kuigi ta ei pea alati selline olema,

aga sarnaselt saaks ka psiid keerulisemalt väljendada.

Aga ütleme, et psii - ning ma ei kirjuta, et ta on

funktsioon x-ist ja y-ist.

Me teame, et ta on funktsioon x-ist ja y-ist.

Ütleme, et see võrdub mingi funktsioon x-i järgi,

tähistame selle f1 x-ist, korda mingi funktsioon y-ist.

Ja selliseid liikmeid on siin hästi palju.

Siin on n sellist liiget. Pluss kõik liikmed kuni n-inda liikmeni,

mis on n-is funktsioon x-ist korda n-ist funktsioon y-ist.

Ma defineerisin psii selliselt, et te näeksite,

et kui ma seda diferentseerin,

kui ma võtan selle tuletise x-i järgi,

siis ma saan midagi, mis on üsna selle moodi.

siis ma saan midagi, mis on üsna selle moodi.

Mis on psii tuletis x-i järgi?

Nüüd ma lihtsalt diferentseerin võrrandi mõlemat poolt,

mida te loodetavasti matemaatilise analüüsi

kurustel õppinud olete.

Siin saab korrutise tuletist kasutada, eks ole?

Võtame siis esimese liikme tuletise x-i järgi.

Võtame siis esimese liikme tuletise x-i järgi.

See on f1 priim x-ist korda see teine funktsioon,

mis on g1 y-st.

Ja nüüd liidame sellele teise funktsiooni tuletise

korda esimene funktsioon.

Pluss f1 x-ist, see on esimene funktsioon,

korda teise funktsiooni tuletis.

Teise funktsiooni tuletis on see funktsioon y-i järgi.

Teise funktsiooni tuletis on see funktsioon y-i järgi.

Ehk siis g1 priim y-ist

Aga loomulikult on see liitfunktsioon.

Nii et korrutame veel dy dx-ga.

Kui see tundub teile pisut võõras,

siis vaadake diferentseerimise videod üle.

Aga see, mis ma just tegin,

see avaldis siin,

on selle asja tuletis x-i järgi.

on selle asja tuletis x-i järgi.

Selliseid liikmeid on n tükki.

Kui me neid järjest kokku liidame - ma kirjutan nad üksteise alla.

Pluss, neid on siin nüüd palju,

ja viimane näeb samasugune välja,

lihtsalt seal on n-is funktsioon x-ist.

fn priim x-ist korda gn y-ist,

pluss fn x-ist korda teise funktsiooni tuletis.

pluss fn x-ist korda teise funktsiooni tuletis.

Teise funktsiooni tuletis y-i järgi on

g priim y-ist korda dy dx.

Liitfunktsiooni tuletis.

dy dx.

Nüüd on meil kaks n liiget. Siin on n liiget,

kus iga liige oli f x-ist korda g y-ist, või f1 x-ist

korda g1 y-ist, kuni viimase liikmeni

fn x-ist korda gn y-ist.

Igast liikmest saime nüüd kaks liiget,

kui me korrutisest tuletise võtsime.

Kui me liikmed koondame,

kõik liikmed milles pole dy dx-i, siis mis me saame?

Kui me need kõik kokku liidame, vasakpoolsed liikmed,

siis kokku võrdub see f1 priim x-ist korda g1 y-ist,

pluss f2, g2, kuni fn priim x-ist, gn y-ist

pluss f2, g2, kuni fn priim x-ist, gn y-ist

See on lihtsalt nende summa, pluss kõigi nende summa.

See on lihtsalt nende summa, pluss kõigi nende summa.

Kõik liikmed milles on dy dx.

Ma kirjutan need teise värviga.

Kõik need liikmed tulevad nüüd teist värvi.

Kõik need liikmed tulevad nüüd teist värvi.

Ma kirjutan nad eraldi sulgudesse.

Pluss f1 x-ist g1 priim y-ist,

ja dy dx-i võtan ma pärast sulgude ette.

Meil on nüüd n liiget, pluss fn x-ist gn priim y-ist.

Ja kõik need korrutatud dy dx-iga

Nüüd võiks siin ühte asja märgata.

Algselt defineerisime me psii, siin üleval, kui selline asi,

aga mis on see roheline liige siin?

Me võtsime kõik üksikud liikmed,

ja need rohelised liikmed on tuletised x-i järgi nendest liikmetest.

ja need rohelised liikmed on tuletised x-i järgi nendest liikmetest.

Sest kui võtta sellest ainult x-i järgi osatuletis,

siis funktsioon y-ist on ju lihtsalt konstant.

Kui võtta ainult osatuletis x-i järgi.

Kui võtta ainult osatuletis x-i järgi.

Nii et kui võtta sellest liikmest osatuletis x-i järgi,

siis funktsiooni y-ist loetakse konstandiks.

Nii et selle tuletis oleks f priim x-ist, g1 y-ist,

sest g1 y-ist on konstant.

Ja nii edasi.

Kõiki neid rohelised liikmeid võib vaadelda,

kui psii osatuletisi x-i järgi.

Loeme lihtsalt funktsioonid y-ist konstantideks.

Ja sama loogikat kasutades,

kui vaadata ainult seda osa siin, siis mis see on?

Me võtsime psii, me lugesime funktsioone x-ist konstantideks,

Me võtsime psii, me lugesime funktsioone x-ist konstantideks,

ja võtsime osatuletise y-i järgi.

Selle pärast on priimid g-de peal.

Ja siis me korrutasime selle dy dx-iga.

Nii et see võrdub--

see roheline asi on sama mis psii osatuletis x-i järgi.

see roheline asi on sama mis psii osatuletis x-i järgi.

Ja mis see osa lillast on?

Kirjutan selle kolmanda värviga.

See siin on psii osatuletis y-i järgi,

korda dy dx.

See ongi kõik mis ma teile praegu näidata tahtsin,

sest mul hakkab aeg otsa saama.

sest mul hakkab aeg otsa saama.

See on mitme muutuja funktsiooni tuletis ühe muutuja järgi,

aga teine muutuja on ka funktsioon x-ist,

nii et see on liitfunktsioon.

Kui psii on funktsioon x-ist ja y-ist, ja ma ei võta osatuletist,

vaid tavalist tuletist psiist x-i järgi,

siis see võrdub psii osatuletis x-i järgi,

pluss psii osatuletis y-i järgi korda dy dx.

pluss psii osatuletis y-i järgi korda dy dx.

Kui y ei oleks funktsioon x-ist, või y ei sõltuks x-ist,

siis dy dx oleks 0.

Ja see liige oleks 0, ja psii tuletis x-i järgi,

oleks lihtsalt psii osatuletis x-i järgi.

oleks lihtsalt psii osatuletis x-i järgi.

Igatahes ma tahaks, et te seda meeles peaksite.

Ja selles videos ma ei tõestanud seda ära,

aga loodetavasti mõistsite intuitiivselt.

Seda omadust kasutame me järgmistes videotes,

et täisdiferentsiaalvõrrandites aru saada.

Selles videos ma ei jõudnudki teile näidata,

mis asi täisdiferentsiaalvõrrand üldse on.

mis asi täisdiferentsiaalvõrrand üldse on.

Näeme järgmises videos.