-
Víme, že se derivace podle x
z funkce e na x rovná e na x,
-
což je podle mě jedna z
nejhezčích věcí v matematice.
-
Budí to u mě
respekt vůči číslu e.
-
Nejsme tady však kvůli tomu,
abychom chválili číslo e,
-
spíš bych se rád zamyslel nad tím,
jaká je derivace inverzní funkce,
-
tedy jaká je derivace podle x
z přirozeného logaritmu z x.
-
S tímto už jsme
se několikrát setkali.
-
Známe derivaci funkce a chceme
zjistit derivaci funkce k ní inverzní.
-
Co teď můžeme
udělat?
-
Můžeme položit y jako rovno
přirozenému logaritmu z x,
-
čímž jen
jinak říkáme to,
-
že y je exponent, na který
musíme umocnit e, abychom získali x.
-
Je to tedy ekvivalentní s tím,
že e na y se rovná x.
-
Nyní můžeme obě strany
této rovnice zderivovat podle x.
-
Tak pojďme na to.
-
Obě strany
zderivujeme podle x.
-
Jde o implicitní derivování za použití
vzorce pro derivaci složené funkce.
-
Na levé straně bude derivace
(e na y) podle y, což je zase e na y,
-
krát derivace y podle x.
-
Na pravé straně je
derivace x podle x, což je 1.
-
Abychom osamostatnili naši derivaci,
tak obě strany vydělíme (e na y).
-
Dostaneme, že derivace y podle x
se rovná 1 lomeno (e na y).
-
Čemu se
rovná y?
-
Víme, že y je rovno
přirozenému logaritmu z x,
-
tak to tam
napišme.
-
Toto se rovná 1 lomeno
(e na přirozený logaritmus z x).
-
Čemu se rovná e na
přirozený logaritmus z x?
-
Přirozený logaritmus z x je ten exponent,
na který musím umocnit e, abych měl x,
-
takže když e umocním na
tento exponent, dostanu x.
-
Tohle se tudíž rovná
1 lomeno x.
-
Tenhle výraz se nám
zjednodušil na x.
-
A máme hotovo.
-
Právě jsme zjistili, že když se
y rovná přirozenému logaritmu z x,
-
tak derivace y podle x
je 1 lomeno x,
-
neboli derivace přirozeného logaritmu
z x podle x se rovná 1 lomeno x.
-
Tohle se tedy rovná
1 lomeno x,
-
což je také jeden z hezkých
výsledků v matematice.
-
Ne tak vzrušující jako tenhle,
ale pořád poměrně pěkný.
