Polinomial Taylor

Pendekatan fungsi dengan Polinomial Taylor

Selamat datang di video pada teorema Taylor dan

Polinomial Taylor.

Dan kita benar-benar sudah menyentuh ini.

Ketika kita melakukan video pada pendekatan fungsi dengan

polinomial, kami menggunakan deret Maclaurin, yang benar-benar merupakan

kasus khusus dari polinomial Taylor atau

Taylor Theorem.

Dan kami hanya menentukan, kita dekati fungsi tersebut

pada daerah disekitar x dengan 0 ketika kita menggunakan deret Maclaurin.

Tapi secara umum, Anda bisa mendekati fungsi tersebut

di sekitar nilai apapun.

Dan jika Anda melakukannya di sekitar sesuatu selain 0, memiliki

jenis kasus yang lebih umum, dan kami sedang berhadapan

dengan polinomial Taylor.

Jadi apakah itu?

Biarkan aku hanya menuliskan definisi, dan kemudian kami akan

melakukan beberapa contoh, dan kemudian kami akan grafik untuk

mendapatkan intuisi.

Jadi polinomial Taylor mengatakan bahwa jika saya memiliki terdiferensialkan

fungsi f x, dan saya ingin perkiraan dengan

polinomial pada c, sehingga pada beberapa nilai x sama dengan c, saya ingin

perkiraan fungsi ini.

Jadi biarkan aku hanya menggambar yang cepat dan kotor, dan kami akan benar-benar

menarik satu akurat kemudian.

Jadi mari kita mengatakan bahwa itu adalah sumbu saya, ini saya

fungsi f x.

Jadi aku bisa memilih beberapa nilai c, beberapa nilai x sama dengan

c, mungkin itu adalah di sana.

Jadi itu adalah c.

Dan saya ingin perkiraan itu, saya ingin membuat

polinomial yang dapat perkiraan fungsi sekitar titik ini.

Dan teorema Taylor mengatakan kepada kita bahwa polinomial untuk Taylor

Perkiraan ini adalah, dan kemudian aku akan memberimu intuisi

untuk itu dalam detik.

p x.

Dan ini terlihat benar-benar rumit, tetapi ketika Anda

Apakah beberapa contoh, Anda akan melihat itu tidak begitu buruk.

p x sama dengan f c plus f Perdana c kali x minus c

Plus f utama Perdana c atas, mereka mengatakan faktorial 2, yang

hanya 2, tapi OK, aku akan menulis 2 faktorial.

Mereka melakukan itu sehingga Anda melihat pola yang muncul.

Ini adalah lebih dari 1 faktorial, benar-benar, dan ini adalah di atas

faktorial 0, benar-benar.

Kali x minus c squared plus, aku sudah berjalan keluar dari

ruang, f turunan ketiga, saya pikir di titik ini orang

hanya menulis 3 dalam tanda kurung, fungsi dievaluasi pada c

lebih dari 3 kali faktorial x minus c untuk ketiga, dan Anda bisa

hanya terus menambahkan istilah.

Anda bisa terus seperti ini untuk infinity.

Tapi biarkan saya memberi Anda intuisi tentang apa ini.

Biarkan aku hanya menunjukkan, hanya untuk menekan titik rumah.

Maka Anda bisa ditambah keempat turunan dari fungsi

dievaluasi di c kali lebih dari 4 kali faktorial x minus

c untuk keempat.

Sekarang apa itu intuisi?

Jadi pertama-tama, apa yang terjadi dengan ini polinomial pada c?

So what's p c?

p c sama dengan--jika p c, di mana-mana di mana Anda melihat x

di sini, Anda harus meletakkan c, benar?

Jadi, istilah ini akan c minus c, sehingga yang akan pergi ke

nol, atau itu akan menjadi 0.

Istilah ini akan c minus c, itu akan menjadi 0.

Istilah ini akan c minus c, sehingga akan 0.

Istilah ini akan c minus c, 0.

Dan semua Anda akan kiri dengan f ini c.

Begitu besar.

Kita sudah tahu bahwa, setidaknya pada nilai c,

polinomial sama dengan fungsi.

Jadi itu akan berpotongan baris ini.

Kan?

Dan sebenarnya, jika kita hanya memiliki Taylor polinomial dengan hanya

istilah pertama, apa yang akan terlihat seperti?

Yah, itu hanya akan menjadi garis horizontal di sana.

Jadi akan pendekatan sangat buruk.

Tetapi, istilah kedua ini Apakah kita?

Karena kita tahu bahwa jika kita hanya dievaluasi c.

Semua persyaratan ini yang lain hanya drop out.

Jadi apa yang mereka lakukan untuk kita?

Yah, istilah kedua benar-benar menjamin bahwa turunan dari

polinomial ini, dievaluasi pada c, sama dengan turunan

fungsi ini, dievaluasi pada c.

Apa yang saya maksud ada?

Nah, apakah p Perdana x?

p Perdana x sama, baik, ini hanya sebuah istilah yang konstan.

Ini mungkin terlihat seperti fungsi, tetapi itu adalah fungsi dievaluasi

pada c, jadi itu adalah istilah yang konstan.

Dan begitu, itu adalah 0.

Dan kemudian, what's this?

Apa yang dimaksud dengan turunan dari ini?

Yah, kita dapat menggunakan, ini adalah istilah yang konstan, dan

turunan ini adalah hanya 1.

Sehingga Anda bisa hampir hanya melihat ini sebagai f Perdana c kali x,

minus f Perdana c kali c yang konstan, apa pun.

Jadi turunan dari ungkapan ini adalah f c, dan kemudian

ditambah turunan dari ekspresi ini, yaitu

sama dengan apa?

2 kali 2 dibagi faktorial 2, yang hanya 1.

Sehingga f utama Perdana c, kali x minus c, dan

kemudian plus, mari kita lihat.

3 atas 3 faktorial, sehingga 3 atas 6, kita hanya bisa

2 di penyebut.

f Perdana Perdana Perdana c berakhir, apa itu, 2

kali x minus c squared--

Dan Anda tidak perlu khawatir tentang semua ini.

Dan kemudian, kita bisa hanya terus berjalan.

Tapi aku hanya ingin menunjukkan kepada Anda satu hal.

Apakah t Perdana pada c?

t Perdana pada c.

Apa adalah turunan dari ini ketika polinomial

Anda mengevaluasi pada c?

Nah, ketika Anda meletakkan c ke turunan ini berfungsi, semua ini

istilah lain akan drop off, dan Anda hanya

kiri dengan yang satu ini.

Kan?

Karena ini x minus c-maaf, hanya memiliki beberapa kenari.

Aku seharusnya air dengan itu.

Jika Anda meletakkan c di sini, mereka putus.

Jadi turunan dari fungsi ini dievaluasi pada c,

sama dengan f Perdana c.

Jadi seperti yang Anda lihat, apa rapi tentang ini polinomial Taylor

adalah, itu sama dengan fungsi pada c, turunannya sama

fungsi pada c, turunan kedua sama

fungsi pada c.

Dan setiap istilah Anda menambah polinomial Taylor benar-benar

membuatnya sehingga istilah, turunan polinomial

dievaluasi di c, sama dengan fungsi.

Berharap aku tidak membingungkan Anda.

Gambaran besar adalah, seluruh berpikir di balik, saya kira, apa

Taylor pikir, itu, wow.

Jika fungsi ini terdiferensialkan takhingga, berarti bahwa saya

dapat mengambil pertama, kedua, ketiga, keempat, Anda tahu, semua

dalam perjalanan ke infinity turunan fungsi ini, aku bisa

membangun polinomial seperti ini, dan aku hanya terus berjalan

dengan menambahkan lebih banyak dan lebih banyak persyaratan, sehingga ini polinomial, Anda

tahu, zeroth turunan, yang adalah berarti fungsi, 0,

pertama, kedua, ketiga, keempat, semua ini polinomial 's

Derivatif akan menjadi sama dengan fungsi.

Setidaknya di sekitar itu titik.

Dan sebenarnya, kita akan melihat bahwa ada benar-benar seluruh kelas

fungsi, yang polinomial Taylor, jika Anda mengambil

deret takterhingga, benar-benar sama dengan yang

fungsi sama sekali poin.

Tapi tetap.

Dan sebenarnya, aku berbicara sedikit tentang hal itu ketika aku membuktikan

bahwa e i pi sama dengan 1 negatif, yang bagi saya adalah

hasil yang paling menakjubkan dalam matematika.

Apa pun, apa pun.

Ini mungkin agak membingungkan bagi Anda, jadi mari kita

melakukan contoh tertentu.

Khusus yang selalu lebih menyenangkan.

Saya pikir ketika Anda melihat saya melakukan sebuah contoh, Anda akan melihat

itu tidak begitu buruk.

Aku bahkan akan menghapus istilah ini keempat.

Jadi mari kita perkiraan, aku tidak tahu, kosinus x.

Jadi mari kita mengatakan bahwa f x sama, biarkan aku melakukan

itu dalam warna yang berbeda.

Kami ingin perkiraan f x sama dengan kosinus akses.

Dan Mari kita memilih beberapa sewenang-wenang nomor.

Mari kita tidak memilih beberapa nomor yang bekerja baik dengan

fungsi trigonometri.

Mari kita ambil di sekitar, mari kita mengatakan c sama dengan 2.

Tidak, 1.

Jadi kita akan kosinus perkiraan dari x sekitar 1.

Jadi apa adalah hampiran Taylor, atau

Polinomial Taylor?

Yah, kita bisa hanya bunyi letusan kecil melalui satu ini.

p x, aku akan melakukannya kuning.

p x sama dengan f c.

Jadi fungsi dievaluasi pada c hanya kosinus 1, benar?

ditambah s Perdana c.

Nah, apa adalah turunan dari kosinus x?

It's minus sinus x, right?

Minus sinus x, dan kami ingin untuk mengevaluasi pada c.

Jadi itu minus sinus 1, benar? c adalah satu, itu

Kami sedang melakukan sekitar.

Kali x minus c.

Dan kemudian, ditambah turunan kedua x.

Jadi apa adalah turunan kedua?

Apa yang akan menjadi turunan dari minus sinus,

yang merupakan minus kosinus x?

So it's minus kosinus.

Tapi kita mengevaluasi itu pada c, sehingga ada benar-benar akan

untuk menjadi sejumlah, kan?

Jadi c adalah 1.

Kosinus 1.

Lebih dari 2, kan?

faktorial 2 adalah hanya 2.

Kali x minus 1 persegi, oh, maaf, ini harus

menjadi satu, benar?

Aku berkata, c sama dengan 1.

Kali x minus 1 persegi.

Mari kita terus berjalan.

Ditambah turunan ketiga, ditambah, apakah ketiga

turunan dari kosinus?

Yah, itu adalah turunan dari minus kosinus, jadi

itu adalah tanda plus.

Jadi Tambah sinus dievaluasi pada 1.

Sinus 1.

Dibagi 3 faktorial, jadi itu atas 6 6 kali

x minus 3 ketiga.

Maaf, otak saya adalah benar-benar, aku makan terlalu banyak kenari.

Membatalkan, mengedit, membatalkan. x minus 1 untuk ketiga, kan?

Dan kemudian, mari kita lakukan satu istilah lebih, hanya untuk bersenang-senang.

Jadi kita akan mengambil turunan keempat, yang

turunan turunan ketiga, jadi ketiga

turunan adalah positif sinus, jadi sekarang kita akan

untuk menjadi plus kosinus.

Ditambah kosinus dievaluasi 1 atas 4 faktorial--

Apakah faktorial 4?

It's faktorial 3 kali 4.

Jadi selama 24.

Kali x minus 1 untuk keempat.

Dan kami hanya terus berjalan.

Turunan kelima lebih dari 5 dievaluasi di 1, lebih dari 5

faktorial kali x minus 1 untuk kelima, dan hanya terus

menambahkan, tapi kemudian itu akan membawa kita selamanya, et

Peter Cetera, dan lain-lain.

Jadi, apa hal ini terlihat seperti?

Dan apa yang akan saya lakukan, aku akan menunjukkan kepada Anda bagaimana

polinomial ini berkembang seperti kita menambahkan istilah.

Jadi mari kita lihat.

Aku punya ini graphing calculator bahwa saya--jadi ini hal saya

mendapat dari, hanya untuk memberikan mereka kredit, it's my.hrw.com.

Dan ini adalah grafik kosinus x.

Jadi hanya jabatan pertama di sini.

Kosinus 1.

Jika kita hanya untuk istilah grafik yang pertama ini polinomial,

apa yang terlihat seperti?

Jadi saya akan hanya mengetikkan kosinus 1, dan grafik itu.

Jadi, there you go.

Hanya istilah pertama dari polinomial.

Jika semua istilah ini tidak di sini, polinomial akan

hanya menjadi konstan, benar?

Kosinus satu.

Dan itu adalah pendekatan yang sangat buruk, tapi setidaknya

itu sama dengan fungsi pada titik ini.

Jadi itu memberi sesuatu.

Tapi mari kita Tambahkan beberapa istilah.

Mari kita menambahkan istilah kedua untuk itu.

Jadi apa adalah istilah kedua?

Itu sinus 1 dikurangi sinus 1 kali x minus 1.

Izinkan saya menambahkan bahwa.

Grafik ini.

There you go.

Jadi ini rapi.

Jadi ketika Anda hanya menambahkan 2 persyaratan, apa yang kita katakan?

Polinomial akan sama dengan fungsi pada x sama dengan 1.

Dan sekarang juga sama dengan fungsi.

Polinomial juga sama dengan kemiringan

fungsi pada x sama dengan 1.

Jadi ini adalah pendekatan yang lebih baik.

At setidaknya jika kita tinggal cukup dekat dengan c dipilih kami, ia memiliki

pendekatan yang layak untuk fungsi.

Jelas, jika kita mendapatkan jauh, di sini, ini adalah mengerikan

pendekatan untuk fungsi.

Tapi mari kita terus menambahkan istilah.

Seperti yang Anda lihat, saya hanya ingin menunjukkan bahwa aku hanya

mengetik dalam istilah yang sebenarnya.

Jadi biarkan saya ketik semester berikutnya.

hanya begitu Anda percaya bahwa aku melakukannya.

Jadi istilah berikutnya, kita akan memiliki untuk melihatnya.

Biarkan saya ketik.

Jadi semester berikutnya adalah minus kosinus 1 dibagi dengan 2

kali x minus 1 persegi.

Dan biarkan aku grafik itu.

Oke.

Jadi sekarang, hanya untuk menunjukkan, aku hanya mengetik di kedua

istilah, dan sekarang mari kita melihat grafik.

Sekarang ini rapi, kan?

Jadi istilah pertama mendapat kami garis horizontal yang hanya

dipotong titik pada kosinus 1, dan itu benar-benar

pendekatan yang buruk.

Kemudian istilah kedua memastikan bahwa setidaknya pertama

turunan adalah sama.

Dan jadi kita, garis hanya pada dasarnya tangen

baris, kami hanya memiliki 2 istilah.

Sekarang masa jabatan ketiga memastikan bahwa turunan kedua

Kami polinomial pada x sama dengan 1 sama dengan turunan ke-dua

polinomial fungsi.

Dan perhatikan bahwa grafik ini hijau cekung

ke bawah, kanan?

Yang berarti, dan begitu juga fungsi pada 1.

Jadi ini adalah ini adalah cukup rapi.

Kami mendapatkan sedikit, jadi itu adalah jenis lebih

kurva di sini.

Sudah sedikit lebih baik.

Ingat ketika kita pergi jauh ke kiri?

Mulai perkiraan fungsi lebih baik di sini.

Itu lebih dekat, setidaknya.

Kan?

Terakhir kali, baris baru saja naik, dan di sini itu

pendekatan yang benar-benar buruk.

Tapi mari kita tambahkan istilah lain.

Mari kita tambahkan istilah ketiga kami.

Istilah kami ketiga, aku bisa melihat itu, itu di sana.

Jadi Tambah sinus 1 dibagi oleh 6 kali x minus 1

untuk kekuatan ketiga.

Hanya untuk menunjukkan, aku hanya mengetik dalam, di sana.

Biarkan aku grafik itu.

That's rapi.

Hanya dengan tiga syarat pada polinomial kami, Yah, sebenarnya,

itu adalah istilah yang keempat, secara resmi.

Tetapi istilah pertama adalah pada dasarnya--baik,

Anda mendapatkan titik.

Tapi kami sudah mulai untuk perkiraan ini

cukup baik, benar?

Sekarang ketiga turunan polinomial sama dengan

ketiga turunan dari fungsi pada titik x adalah

sama dengan 1, dan kami bahkan belum belajar ketiga derivatif.

Yang semacam seperti concativity dari

turunan, atau apa pun.

Tapi seperti kita lihat, itu dengan

fungsi yang lebih baik.

Jelas, meskipun, ketika kita pergi lebih lanjut, dimulai

untuk mendobrak lagi.

Tapi cukup dekat.

Jika Anda melihat dari sini ke sini, itu akan

sulit untuk mengatakan mereka terpisah.

Mari kita menambahkan bahwa jabatan terakhir kami dihitung.

Dan ini harus cukup rapi.

Mari kita lihat.

Jabatan terakhir.

Ditambah kosinus tanda 1 dibahagikan dengan 24.

Dan perhatikan, setiap istilah, faktor skala, benar?

Di sini adalah 1, maka 1/2, maka 1/6, 1/24--itu menjadi

dampak yang lebih kecil di atasnya.

Dan itu hanya mulai masalah saat Anda bergerak benar-benar, benar-benar jauh

jauh dari c dipilih.

Dalam kasus ini 1, kanan.

Keluar lebih lanjut Anda pergi, ketika kau dekat dengan Anda

titik bahwa Anda sudah memilih.

Istilah ini tidak penting banyak, kanan?

Karena Anda lakukan 1/24, dan kemudian 1 atas 5 faktorial,

dan sebagainya dan sebagainya.

Tetapi ketika Anda mendapatkan lebih jauh dan lebih jauh, istilah-istilah ini

menjadi lebih signifikan, kan?

Sebagai x mendapat lebih jauh dan lebih jauh dari 1, dan kemudian yang 's

di mana ini mulai bermain di, dan Anda melihat bahwa dalam

pendekatan.

Bagaimanapun, biarkan aku grafik itu.

Jadi kosinus 1 dibagi oleh 24 kali x minus 1 untuk keempat.

Biarkan aku grafik itu.

Bahkan lebih rapi!

Dan jika Anda memiliki beberapa waktu luang, Anda mungkin hanya ingin

terus menambah persyaratan ini.

Jadi itulah semua polinomial Taylor adalah.

Dan aku sadar, ini mungkin adalah salah satu terpanjang

video yang telah kulakukan.

Saya mendorong 17 menit.

Ini agak membingungkan pada awalnya, karena itu memberi Anda

formula ini besar, dan mereka memberi Anda c, dan kau

seperti, apa yang c, dan bagaimana mengambil turunan?

Tetapi ketika Anda benar-benar mencoba untuk menenggak melalui itu, Anda hanya

harus menyadari, oh.

Semua ini, mengatakan, kami sedang membangun polinomial dengan itu,

pada suatu titik c yang kita sudah memilih, polinomial ini

zeroth, pertama, kedua, ketiga, keempat, kelima, dan sebagainya-th

turunan akan menjadi sama dengan fungsi kita.

Dan sebenarnya, jika kita melakukan 10 istilah, atau jika kita melakukan semua

Derivatif, ini akan mulai untuk benar-benar sama dengan satu sama lain.

Jadi mudah-mudahan yang tidak membingungkan Anda.

Aku tahu ketika Anda melihat rumus pada awalnya, dapat jenis

menakutkan, dan terutama, kadang-kadang bahkan lebih

menakutkan ketika seseorang bahkan menjelaskan kepada Anda.

Tapi mudah-mudahan yang memberi Anda beberapa intuisi.

Jika tidak, Abaikan video ini.

Sampai jumpa lagi.