Até quanto podemos contar pelos dedos das mãos? (Muito mais do que 10) — James Tanton

Vejam a lição completa: https://ed.ted.com/lessons/how-high-can-you-count-on-your-fingers-spoiler-much-higher-than-10-james-tanton

Até quanto podemos contar pelos dedos das mãos? Parece ser uma pergunta com uma resposta óbvia. Afinal, quase todos temos 10 dedos nas mãos — ou, para ser mais preciso, oito dedos e dois polegares. Isso dá-nos um total de 10 dígitos nas duas mãos que usamos para contar até 10. Mas é só até aí que podemos chegar? James Tanton investiga.

Lição de James Tanton, animação de TED-Ed.

Até quanto podemos contar
pelos dedos das mãos?

Parece ser uma pergunta
com uma resposta óbvia.

Afinal, quase todos
temos 10 dedos nas mãos

ou, para ser mais preciso,

oito dedos e dois polegares.

Isso dá-nos um total de 10 dígitos
nas duas mãos

que usamos para contar até 10.

Não é por acaso que os 10 símbolos
que usamos no nosso sistema numérico

também se chamam dígitos.

Mas não é essa a única maneira de contar.

Nalguns locais, é habitual chegar a 12
apenas numa mão.

Como assim?

Cada dedo está dividido em três secções,
com exceção dos polegares

que servem de apontador natural
para cada um dos outros dedos.

Isso dá-nos uma forma fácil de contra
até 12, numa só mão.

Se quisermos continuar a contar,

podemos usar os dígitos da outra mão
para registar cada vez que chegamos a 12,

o que dá cinco grupos de 12,
ou seja um total de 60.

Melhor ainda, podemos usar as secções
dos quatro dedos da segunda mão

para contar 12 grupos de 12,
ou seja, até 144.

É uma melhoria considerável,

mas ainda podemos ir mais longe
descobrindo outras partes em cada mão.

Por exemplo, cada dedo que tem
três secções, tem três dobras

num total de seis coisas
que podemos contar.

Agora, chegamos a 24 em cada mão.

Usando a outra mão
para registar grupos de 24,

conseguimos contar até 576.

Podemos ir ainda mais longe?

Parece que chegámos ao limite

da quantidade de partes
diferentes dos dedos

que podemos contar com rigor.

Então, pensemos noutra coisa diferente.

Uma das maiores invenções matemáticas

é o sistema da notação posicional,

em que a colocação de símbolos
permite diferentes grandezas de valor,

como no número 999.

Embora seja usado três vezes
o mesmo símbolo,

cada posição indica
uma ordem de grandeza diferente.

Por isso, podemos usar o valor posicional
dos dedos para bater o recorde anterior.

Esqueçamos por instantes
as secções dos dedos

e olhemos para o caso mais simples
de ter apenas duas opções por dedo,

esticado e dobrado.

Isto não nos permite representar
potências de 10,

mas é perfeito para o sistema de contagem
que usa potências de dois,

ou seja, o que é conhecido
por sistema binário.

No sistema binário, cada posição
tem o dobro do valor do anterior,

portanto, podemos atribuir aos dedos
um valor de um,

dois,
quarto,

oito,

e, sucessivamente, até 512.

Qualquer número inteiro positivo
até um certo limite

pode ser expresso
como a soma destes números.

Por exemplo, o número sete
é 4+2+1,

por isso, podemos representá-lo
esticando apenas estes três dedos.

Entretanto, 250 é igual a
128+64+32+16+8+2.

Até onde é que podemos chegar?

Até ao número com os 10 dedos
esticados, ou seja, 1023.

Será possível ir mais além?

Depende da habilidade de cada um.

Se conseguirem dobrar cada dedo
só até metade,

isso dá-nos três estados diferentes:

dobrado,

meio dobrado

e esticado.

Agora, podemos contar
usando um sistema posicional de base três,

chegando até 59 048.

E, se conseguirem dobrar os dedos
em quatro posições diferentes, ou mais,

ainda podem chegar mais longe.

Esse limite depende de vós
e da vossa flexibilidade e engenho.

Mesmo com os dedos
em apenas duas posições possíveis,

já funcionamos muito eficazmente.

Na verdade, os computadores
baseiam-se no mesmo princípio.

Cada "microchip" é formado
por delgados interruptores elétricos

que podem estar ligados ou desligados,

o que significa que é numa base dois
que os números são representados.

Tal como podemos usar este sistema

para contar até mais de mil,
apenas com os dedos,

os computadores executam
milhares de milhões de operações

apenas contando com uns e zeros.