Factoring Quadratic Expressions

В цьому відео я хочу розглянути
декілька варіантів факторизації

многочлена другого степеня, який ще

часто називають квадратичним.

Іноді квадратчиним многочленом, або просто

квадратом, чи квадратичним виразом,
але все що мається на увазі

це многочлен другого ступеня.

Тобто щось зі змінною,
піднесеною до

другого степеня.

Наразі, у всіх прикладах,
що ми будемо розглядати це буде x.

Скажемо, я маю квадратний вираз

х в квадраті, плюс 10*х, плюс 9.

І я хочу розкласти його в добуток
двох двочленів.

Як нам це зробити?

Отже, давайте просто подумаємо
що буде якщо б ми

додали до х змінну а, й помножили
це на х плюс b.

Коли ми перемножили ці два вирази,
що ми маємо?

Насправді ми маємо в цьому трошки досвіду.

Це буде х помножити на х, тобто
х в квадраті, плюс х помножити на b,

тобто bx, плюс а помножити на х,
плюс а помножити на b, плюс ab.

Або, якщо ми хочемо додати ці два
вирази в центрі, ось тут,

тому що вони обидва
коефіцієнти х,

ми можемо переписати це як х в квадраті
плюс -- я можу це написати

як b плюс a, чи як а плюс b, х,
плюс аb.

Так що в загальному, якщо ми
припустимо що це добуток

двох біномів, ми бачимо що цей
середній коефіціент біля х

чи ще можна сказати,
коефіцієнт першого порядку,

ось тут, буде сумою наших а та b.

Тоді член-констатанта буде добутком

наших а та б.

Зауважте, що це переходить сюди,

а цей вираз переходить сюди.

І, звичайно, це та ж сама річ як і ця.

Отже, чи ми можемо якось
співставити це до цього?

Чи є такий а та b, що сума
а плюс b дорівнює 10?

А добуток а та b дорівнює 9?

Давайте, просто подумаємо про
це трошки.

Які є множники числа 9?

Чому можуть дорівнювати а та b?

Припустимо що всі числа цілі.

Й зазвичай коли ми розкладаємо на множники,
особливо коли

ми вчимося розкладати,
ми маємо справу з

цілими числами.

Отже, які є множники числа 9?

Це 1, 3 та 9.

Отже це може бути 3 та 3,
або це може бути 1 і 9.

Тепер, якщо це 3 та 3, тоді
ми маємо 3 плюс 3 --

що не дорівнює 10.

Але якщо взяти 1 та 9
1 понможити на 9 рівняється 9

1 додати 9 це 10.

Отже це працює.

Отже a може дорівнювати 1, і
b може дорівнювати 9.

Тобто ми можемо розкласти це як
х плюс 1,

помножити на х плюс 9.

І якщо ми перемножимо ці два вирази,
використовуючи навички які ми

вивчили з останніх кількох відео,
ми побачимо, що це

дійсно х в квадраті плюс
10х, плюс 9.

Отже якщо ви бачите щось схоже на це,
коли коефіцієнти

на х в квадраті, чи перший коефіцієнт в

цьому виразі дорівнює 1, ви можете просто
сказати: чудово, які два

числа в сумі дорівнюють коефіцієнту ось тут?

Й ці ж самі два числа, коли їх перемножити

мають дорівнювати 9.

Й звичайно, це має бути в стандартній формі.

Або якщо це не в стандартній формі,
ви маєте звести це

до стандартного вигляду, так що ви
завжди можете сказати

ОК, число що біля коефіцієнту першого
порядку, моЇ а та b

мають в суміі давати це число.

Яка б не була константа, мої
а помножити на b, має

дорівнювати константі.

Давайте розглянемо ще кілька прикладів.

Я думаю, чим більше прикладів
ми зробимо, тим більш

це буде зрозуміліше.

Нехай ми маємо х в кадраті,
плюс 10х, плюс -- отже, я

вже зробив 10х, давйте зробимо
інше число -- х в квадраті

плюс 15х, плюс 50.

Й ми хочемо розкласти це на множники

Отже, та ж сама вправа

Ми маємо вираз біля х в квадраті.

Ми маємо вираз першого порядку

Ось ця річ має бути
сумою двох чисел.

Тоді цей вираз, вираз-
константа ось тут,

має бути добутком
двох чисел.

Отже ми маємо придумати
два числа, таких що їх добуток

дорівнює 50, а сума
дорівнює 15.

Це потребує трошки майстерності
що ви маєте

розвинути, але з практикою,
ви побачите

що це буде вдаватися
все більш природньо.

Отже чим можуть бути а та b?

Давайте подумаємо про множники 50.

Це може бути 1 помножити на 50.

2 помножити на 25.

Подивимось, 4 не потрапляє в 50

Це може бути 5 помножити на 10.

Я думаю це всі множники.

Спробуємо ці числа,
й подивимось чи якісь з них

в сумі отримують 15.

Отже 1 плюс 50 не є 15.

Два плюс 25 не є 15.

Але 5 плюс 10 таки
дорівнює 15.

Отже це може бути 5 плюс 10, і
це може бути 5 помножити на 10.

Отже якщо нам треба це розкласти на множники,
це буде дорівнювати

х плюс 5, помножити на х плюс 10.

Й перемножимо це

Я заохочую вас перемножити це
й пересвідчитись що це

справді х в квадраті плюс
15х, плюс 10.

Насправді, давайте зробимо це.
х на х, х в квадраті,

х на 10, плюс 10х.

5 на х, плюс 5х

5 на 10, плюс 50.

Зауважте, що 5 на 10
дали нам 50.

5х плюс 10х дають нам
15х посередині

Отже це х в квадраті
плюс 15х, плюс 50

Давайте, трошки піднімемо ставки
й додамо сюди кілька

від’ємних знаків.

Скажемо, я маю х в кавдраті
мінус 11х, плюс 24.

Тепер, працюємо за
тим самим принципом.

Мені треба придумати два числа,
що коли їх додати

мають дорівнювати
мінус 11.

а плюс b має дорівнювати
мінус 11

І а помножити на b має
дорівнювати 24.

Тепер, є річ над якою вам
потрібно подумати.

Коли я перемножую обидва ці
числа, я отримую

додатнє число.

Я отримую 24.

Це означає що обидва з цих
чисел мають бути додатніми, чи

вони обидва мають бути від’ємними.

Це єдиний спосіб отримати
тут додатнє число.

Тепер, якщо я їх додам, я отримаю
від’ємне число, якби

вони були додатніми, неможливо
додати два додатні числа

й отримати від’ємне, тобто
тей факт що їх сума

від’ємна, а добуток додатній

каже мені, що обидва а та
b є від’ємними.

а та b мусять бути від’ємними.

Згадайте, що одне число не може бути
від’ємним а інше

додатнім, тому що
їх добуток мав би бути від’ємним.

Й вони обидва не можут бути додатніми,
тому що коли їх додати

тоді ми отримаємо додатнє число.

Отже давайте просто подумаємо,
якими можуть бути а та b

Отже, два від’ємні числа.

Отже давайте подумаємо
про множники 24.

Й схоже нам потрібно подумати
про від’ємні множники.

Але дозвольте подивитись, це може бути
1 на 24, 2 на 11

3 на 8 чи 4 на 6

Тепер, яке з них коли я перемножу
їх --

очевидно коли я помножу
1 на 24, я отримаю 24.

Коли я помножу 2 на 11 -- вибачте,
це 2 на 12

Я отримаю 24.

Отже ми знаємо що всі вони,
коли їх перемножити, дають 24

Але які два з них, які два
множники, коли їх додати

дадуть нам 11?

Й тепер скажемо,
давайте обернемо

на від’ємне кожне з них.

Отже, коли ви дивитесь на них,
3 та 8 виділяються

3 на 8 дорівнює 24

3 плюс 8 дорівнює 11

Але це не зовсім правильно,
правда?

Тому що ми маємо мінус 11 тут

Але що коли ми маємо мінус
3 та мінус 8?

Мінус 3 помножити на мінус 8
дорівнює плюс 24.

Мінус 3 додати мінус 8 дорівнює
мінус 11.

Отже мінус 3 та мінус 8
підходять.

Отже якщо ми розкладемо це,
х в квадраті мінус 11х плюс 24, це

буде дорівнювати х мінус 3
помножити на х мінус 8

Давайте спробуємо зробити
ще один схожий приклад

Взагалі, давайте змішаємо їх
трошки

Скажемо, я маю х в квадраті
плюс 5х мінус 14

Отже тут ми маємо іншу ситуацію

Добуток моїх двох чисел від’ємний,
правда? а на b

дорівнює мінус 14

Мій добуток від’ємний

Це каже мені, що одне з них
додатнє, й одне з них

від’ємне.

Й коли я додаю їх, а плюс b
це буде дорівнювати 5

Отже давайте подумаємо про
множники числа 14.

Та які їх комінації,
коли їх додати, коли

одне число додатнє та інше від’ємне,
чи наспраді я зараз кажу про

їхню різницю,
я отримаю 5?

Отже якщо я візьму 1 та 14 -- я просто
хочу спробувати --

1 та 14, мінус 1 плюс 14 це мінус 13.
1 плюс мінус 14 це ...

Мінус 1 плюс 14 це 13

Давайте я випишу всі
комбінації, які я можу.

Й в кінці кінців ваш мозок
просто сфокусується на них.

Отже ви маєте мінус 1
плюс 14 це дорівнює 13.

Й 1 плюс від’ємне 14
дорівнює мінус 13.

Отже ця пара не працює.

Це не дорівнює 5.

Тепер, як щодо 2 та 7?

Якщо я візьму мінус 2 -- давайте я спробую
це зробити іншим кольором -- якщо

я візьму мінус 2 плюс 7,
це буде рівним 5.

Ми закінчили!

Це спрацювало!

Я маю на увазі, ми могли спробувати 2
плюс мінус 7, але це було б

рівним мінус 5, тобто воно б
не спрацювало.

Але мінус 2 плюс 7 працює.

Й мінус 2 помножити на
7 це мінус 14.

Отже маємо результат.

Ми занємо що це х мінус
2, помножити на х плюс 7

Це дуже непогано.

Мінус 2 помножити на 7
це мінус 14.

Мінус 2 плюс 7 це
плюс 5.

Давайте зробими ще кілька прикладів,
просто що справді добре

відточити цю навичку.

Нехай ми маємо х в квадраті
мінус х, мінус 56.

Отже добуток цих двох чисел
має бути рівним мінус 56.

має бути рівним мінус 56.

Й їхня різниця, тому що
одне має бути позитивним,

а інше негативним,
правильно?

Їхня різниця має бути мінус 1.

Й числа що одразу
вистрибують в моєму

мозку -- й я не знаю чи вони
вистрибують в вашому мозку,

ми недавно вивичили це в
табличках множення--

56 це 8 на 7

Я маю на увазі, є ще інші числа

Це також 28 на 2.

Є багато чисел які підходять

Але 8 на 7 дійсно вистрибує
з мого мозку, тому що

вони знаходяться дуже близько
одне до одного

Й нам потрібні числа, близькі
один до одного

Й одне з них має бути
додатнім, а інше має

бути від’ємним

Тепер, річ в тім що коли
сума від’ємна, це каже мені

що більше з двох чисел має
бути від’ємним

Отже коли ми візьмемо мінус 8 на 7, це

рівно мінус 56.

Йколи взяти мінус 8 плюс 7
це буде дорівнювати

мінус 1, що є саме
цими коефіцієнтами.

Отже коли я розкладу цей вираз
це буде x мінус 8,

помножити на х плюс 7.

Це часто одна з самих складних
понять, що люди вчать

в алгебрі, тому що
це є в якійсь міри мистецтво.

Ви маєте розглянути всі
множники, погратися

з додатніми та від’ємними знаками,
подивитись, які з цих множників,

коли один додатній а інший
від’ємний, в сумі дорівнюють

коефіцієнту біля х

Але ви побачите, що
чим більше

практики, тим очевидніше це буде.

А зараз давайте піднімемо
ставки ще трохи.

Скажемо, ми маємо мінус х в квадраті
-- все що ми робили

до цього мало додатній
коефіцієнт,

коефіцієнт плюс 1,
біля виразу х.

Але, скажемо ми маємо
мінус х в квадраті

мінус 5х плюс 24.

Як нам вирішити цю задачу?

Отже, найпростіший спосіб,
який я знаю,

це винести -1 за дужки,
тоді ця задача зведетсья

до задачі, яку ми вже робили.

Отже це те ж саме, що
мінус 1

помножити на додатній х в квадраті,
плюс 5х, мінус 24

Правда?

Я просто виніс мінус 1
за дужки.

Ви можете помножити -1 на
все це

й ви побачите що воно
перетвориться на ось це.

Чи ви можете винести -1
й поділити

все це на -1.

Й ви отримаєте його ось тут.

Тепер, все теж саме.

Мені потрібно два числа, що
якщо їх перемножити

я отримаю мінус 24.

Отже одне буде додатнім,
інше від’ємним

Й коли взяти їхню суму, вона має бути
рівна 5.

Отже, подумаємо, 24 і 1

Якщо це мінус 1 та 24, це буде плюс 23

якщо навпаки, то це буде мінус 23.

Не працює

Як щодо 2 та 12?

Отже, якщо це від’ємне --
пригадайте, одне з цих двох

має бути від’ємним

Якщо 2 від’ємне то їхня сума
буде 10

Якщо 12 від’ємне, їхня сума
буде мінус 10

Знову не працює

3 та 8.

Якщо 3 від’ємне,
сума буде 5

Працює!

Отже, ми взяли мінус 3 та
8, мінус 3 та 8 підходять

Тому що мінус 3
плюс 8 це 5.

Мінус 3 на 8
це мінус 24

Отже це має дорівнювати ---
не можна забувати що

спочатку стоїть -1, й потім
ми розкладаємо те що всередині

мінус 1 на х мінус 3, на х плюс 8

Й якщо ви хочете,
ви можете помножити

мінус 1 на це,
й ви отримаєте 3

мінус х якщо, ви це зробите.

Або, це робити не обов’язково.

Давайте зробимо ще один приклад.

Що більше практики, я думаю,
тим краще

Добре, скажемо я маю
мінус х в квадраті

плюс 18х мінус 72.

Отже ще раз я хочу винести
мінус 1 за дужки

Так що це буде рівно мінус 1
на х в квадраті,

мінус 18х плюс 72

Тепер, нам потрібно придумати
два числа, що коли

їх перемножити я отримаю 72

Отже вони мають бути
одного знаку

Й це це спрощує нам задачу,
принаймні для мене

Коли я помножу їх,
я отримаю 72

Коли я додам їх,
я отримаю -18

Отже вони одного знаку, й
їхня сума від’ємне

число, отже вони обидва
мають бути від’ємними

Й ми можемо перебрати
всі множники 72.

Але ті що одразу приходять в
голову, можливо ви думаєте про 8 на 9

але 8 на 9, чи мінус 8 на 9
чи мінус 8 плюс

мінус 9 не підходять.

Це буде 17.

Це вже близько.

Давайте я вам покажу

Мінус 9 плюс мінус 8, це
буде рівно мінус 17

Близько, але не те що треба

То які ще є множники?

Ми маємо 6 та 12

Вони виглядять дуже обіцяюче

Якщо ми маємо мінус 6 плюс
мінус 12, це буде

мінус 18.

Зауважте, що це трошки мистецтво

Ви маєте тут спробувати різні множники

Так що це перетвориться на
мінус 1 -- це не можна забувати --

на х мінус 6, на х мінус 12.