İkinci Dereceden Denklemleri Çarpanlarına Ayırma

İkinci Dereceden Denklemleri Çarpanlarına Ayırma

-

Bu videoda iki terimli yani ikinci dereceden denklemleri çarpanlarına ayırmayı öğreneceğiz.

-

-

-

-

-

İkinci dereceden denklemlerde, bir bilinmeyenin karesinin alınmış olması gereklidir.

-

Bizim tüm örneklerimizde bilinmeyenimiz x olacak

İki terimli bir ifademiz var, diyelim ki x^2+10x+9

-

Ve bu ifadeyi iki tane iki terimli ifadenin çarpımı olarak yazmak istiyoruz.

Peki bunu nasıl yaparız?

Eğer elimizdeki ifade (x+a).(x+b) olsaydı ne yapardık bir düşünelim.

-

Bu iki ifadeyi çarptığımızda ne olurdu?

Bu konuda az çok deneyimimiz var.

Burası x çarpı x'ten x^2, + x çarpı b, bu bx oluyor, + a çarpı x, + a çarpı b, bu da ab.

-

Ortadaki bu iki sayı da x'in kat sayısı olduğu için onları toplayabiliriz.

-

Bunu x^2 + (a+b) + ab şeklinde yazabiliriz.

-

Eğer bu ifadenin iki tane iki terimli ifadenin çarpımı olduğunu düşünürsek ortadaki x'in kat sayısı a ve b sayılarının toplamı oluyor.

-

-

-

Ve sabit terimimiz de a ve b'nin çarpımı olacaktır.

-

Unutmayın, 10x, (a+b)x ifadesine, 9 ise ab'ye denk olacaktır.

-

Ve x^2 yine buradaki x^2'dir.

Burada örüntüsel bir eşleşme bulabilir miyiz?

Toplamı 10, çarpımı 9 olan bir a ve b sayı çiftimiz var mı?

.

Biraz düşünelim.

9'un çarpanları nelerdir?

Ve a ve b hangi sayılara eşit olabilir?

Hepsinin tam sayı olduğunu düşünüyoruz.

Normalde sayıları çarpanlarına ayırırken tam sayılar ile işleme başlarız.

-

-

9'un çarpanları nelerdir?

1,3 ve 9

O zaman a ve b, 3 ve 3 ya da 1 ve 9 olabilir.

Eğer 3 ve 3 ise, 3+3 10 etmez.

.

Eğer 1 ve 9 ise 1x9=9

Ve 1+9=10

O zaman doğru.

a=1 ve b=9

Şimdi bunu (x+1).(x+9) olarak yazabiliriz.

-

Son videolarda öğrendiğimiz gibi bu iki ifadeyi çarparsanız sonucun x^2+10x+9 çıktığını göreceksiniz.

-

-

İkinci dereceden bir denklemde x^2'nin kat sayısı 1 ise,

-

bu denklemdeki gibi, toplamları ortadaki ifadenin katsayısına ve de çarpımları 9'a eşit olacak olan o iki sayıyı bulmanız gerekir.

-

-

-

-

Ve tüm bunların standart formda olması gerekiyor.

Eğer değilse de ifadeyi bu forma çevirmelisiniz.

-

Birinci dereceden olan ifadenin katsayısı a ve b saylarının toplamı, sabit terim ise a ve b'nin çarpımıdır.

.

.

.

Biraz daha örnek yapalım.

Alıştırma yaptıkça daha iyi anlayacağınızı düşünüyorum.

-

Diyelim ki ifademiz x^2+15x+50

-

-

Ve bunu çarpanlarına ayırmak istiyoruz.

Aynı şekilde yapıyoruz.

x^2'li içeren bir terimimiz var.

Birinci dereceden bir terimimiz var

Bu katsayının iki sayının toplamı olması gerekiyor.

Ve bu sabit terimin, o iki sayının çarpımı olması gerekiyor.

-

Öyle iki sayı bulmamız gerekiyor ki çarptığımızda 50, topladığımızda 15 elde etmeliyiz.

-

En başta zor gelebilir ancak alıştırma yaptıkça daha kolay gelecek.

-

-

Peki a ve b sayıları neler olabilir?

50'nin çarpanlarını düşünelim.

1 kere 50

2 kere 25

4 50'yi bölmüyor.

5 kere 10 olabilir.

Sanırım hepsi bu kadar.

Tüm bu sayıları tek tek deneyelim ve hangilerinin toplamı 15 ediyor bulalım.

-

1+50 15 etmez.

2+25 de 15 etmez.

Ama 5+10=15

O zaman bu 5+10'a ve bu da 5x10'a eşit olabilir.

Eğer bu ifadeyi çarpanlarına ayıracak olsaydık (x+5).(x+10) olarak yazardık.

-

Çarpalım onları.

Çarpımı yapıp sonucun gerçekten x^2+15x+10 olduğunu görebilmemizi istiyorum.

-

Hatta çarpımı beraber yapalım. x çarpı x=x^2

x çarpı 10=10x

5 çarpı x=5x

5 çarpı 10, +50

Dikkat ederseniz 5 kere 10 bize 50'yi verdi.

5x ve 10x'in toplamı da bize ortadaki 15x sonucunu veriyor.

Yani sonuç x^2+15x+50

Çıtayı biraz daha yükseltelim ve birkaç negatif işaretler ekleyelim.

-

Diyelim ki x^2-11x+24

Yine aynı yöntemi kullanıyoruz.

Öyle iki sayı bulmalıyım ki; topladığım zaman sonuç -11 olmalı.

-

a+b=-11 olmalı.

a.b=24 olmalı.

Burada üzerinde düşünmemiz gereken bir şey var.

Bu iki sayıyı çarptığımız zaman pozitif bir sayı elde ediyoruz

-

Sonuç 24 oluyor.

Bu demek oluyor ki bu sayıların ya ikisi de pozitif ya da ikisi de negatif olmalı.

-

Ancak bu şekilde pozitif bir sayı elde edebiliriz.

Eğer bu iki sayıyı toplarsam negatif bir sayı elde ederiz.

Eğer bunlar pozitif sayılar olsaydı negatif bir sonuç elde edemezdik.

-

Yani toplamlarının negatif ve çarpımlarının pozitif olması bana bu iki sayının da negatif olduğunu gösteriyor.

-

a ve b negatif olmalı.

Unutmayalım ki birisi negatif birisi pozitif olamaz

Çünkü o zaman çarpım da negatif olurdu.

Ancak ikisi pozitif de olamaz çünkü topladığımızda pozitif bir sayı elde ederdik.

-

Şimdi a ve b sayılarının neler olabileceğini düşünelim.

İki negatif sayı.

24'ün çarpanlarını düşünelim.

Burada negatif çarpanları da düşünmeliyiz.

Bakalım, 1 kere 24, 2 kere 12, 3 kere 8 ya da 4 kere 6.

-

Şimdi hangi iki sayıyı çarparsam sonuç 24 olur?

1 ile 24'ü çarparsak 24 olur.

-

2 ile 12'yi çarparsak da 24 olur.

Tüm bu sayıların çarpımının 24 olduğunu biliyoruz.

Ama hangi iki çarpanı topladığım zaman 11 elde ederim?

-

Şimdi bu sayıların negatifini alalım.

-

Bu sayılara baktığınızda 3 ve 8 göze çarpıyor.

3x8=24

3+8=11

Ama bu pek doğru olmadı.

Çünkü elde etmemiz gereken sayı -11

Ama -3 ve -8 dersek ne olur?

-3.(-8)=+24

-3+(-8)=-11

O zaman -3 ve -8 işimizi görür.

Eğer bunu çarpanlarına ayırırsak x^2-11x+24 ifadesini (x-3)(x-8) olarak yazabiliriz.

-

Bunun gibi bir örnek daha yapalım.

Hatta biraz daha zorlaştıralım.

Diyelim ki x^2+5x-14

Burada farklı bir durum söz konusu.

İki sayımın çarpımı negatif. a.b=(-14)

-

Çarpım negatif.

Bu bize sayılardan birinin pozitif diğerininse negatif olduğunu gösterir.

-

Ve a ve b'yi topladığımızda sonuç 5 olmalı.

O zaman 14'ün çarpanlarını düşünelim.

Ve bu çarpanların hangi ikisini topladığımda, biri pozitif biri negatif iken sonuç 5 olur?

-

-

Eğer 1 ve 14 çiftini ele alırsak,

1+(-14)=-13

(-1)+14=13

Tüm kombinasyonları yazalım.

-

-1+14=13

Ve 1+(-14)=-13

O zaman bunlar olmuyor.

Çünkü toplamları 5 olmuyor.

Peki 2 ve 7?

-

-2+7=5

İşte oldu!

Bu uyuyor!

2+(-7) deneyebilirdik ama sonuç -5 olurdu ve bu uymazdı.

-

Ama -2+7 uyuyor.

Ve (-2).7=-14

İşte bulduk.

Bunu (x-2).(x+7) olarak yazabiliriz.

-

(-2).7=-14

-2+7=5

-

Bu konuyu iyice öğrenene kadar birkaç örnek daha yapalım.

-

Diyelim ki x^2-x-56

Demek ki bulacağımız iki sayının çarpımları -56.

-

Ve farkları, biri pozitif diğeri negatif olacağı için farkı diyoruz, -1 olacak.

-

Farkları -1 olmalı.

-

-

-

56=8.7

Başka sayı çiftleri de var.

28.2

-

Ama 8 ve 7 hemen aklıma geldiler çünkü birbirlerine çok yakın sayılar.

-

Ve bizim de birbirine yakın sayılara ihtiyacımız var.

Ve bunlardan birisi negatif diğeriyse pozitif olmalı.

-

Toplamlarının negatif olması bana büyük sayının negatif olduğunu gösterir.

-

-8.7=-56

-

Ve de -8+7=-1

Bu da buradaki katsayımızın ta kendisi.

O zaman bu denklemi çarpanlarına ayırırsak (x-8)(x+7) olarak yazarız.

-

Bu konu genelde insanların cebirde en zorlandığı konudur.

-

Tüm çarpanlara bakıp negatif ve pozitif işaretleriyle oynayarak, hangi çarpanlar biri negatif biri pozitif iken toplamları x teriminin katsayısını veriyor görebilmeliyiz.

-

-

-

Daha çok alıştırma yaptıkça bunun alışkanlık haline geldiğini göreceksiniz.

-

Hadi çıtayı biraz yükseltelim.

Şu ana kadarki örneklerimizde x^2 terimimizin katsayısı +1 idi.

Bu sefer x^2'nin katsayısı negatif olsun.

Diyelim ki -x^2-5x+24

-

-

Bunu nasıl yaparız?

En kolay yolu -1 çarpanına ayırmak böylece önceden yaptığımız örnekler gibi oluyor.

-

-

Bu da -1.(x^2+5x-24) ile aynı oluyor.

-

Öyle değil mi?

-1 çarpanını ayırdık.

-1'i bu ifade ile çarparsanız sonucun yine eski haline geldiğini göreceksiniz.

-

Ya da -1 çarpanına ayırıp hepsini -1'e bölebilirsiniz.

-

-

Yine aynı şekilde yapıyoruz.

Çarpımı -24 olan iki sayıya ihtiyacım var.

-

Biri pozitif diğeri negatif olacak.

-

Toplamları ise 5 olmalı.

Mesela 24 ve 1

Eğer -1 ve 24 olsaydı toplam 23 olurdu.

Tam tersi olsaydı sonuç -23 olurdu.

Bu olmaz.

Ya 2 ve 12?

Unutmayın sayılardan birinin negatif olması gerekiyor.

-

Eğer 2 negatif ise toplam 10 olur.

Eğer 12 negatif ise toplam -10 olur.

Hala olmuyor.

3 ve 8.

Eğer 3 negatif ise toplam 5 olur.

O zaman bu olur!

Eğer -3 ve 8'i alırsak oluyor.

Çünkü -3+8=5

-3.8=24

Dışarıdaki -1'i unutmamalıyız.

Sonra iç tarafını çarpanlarına ayırıyoruz.

-1(x-3)(x+8)

Eğer istersek bu kısmı -1 ile çarpıp 3-x olarak yazabiliriz

-

-

Ama zorunda değiliz.

-

Bir tane daha yapalım.

Ne kadar alıştırma yaparsak o kadar iyi.

-x^2+18x-72

-

Yine -1 çarpanına ayırıyorum.

Yani bu -1(x^2-18x+72) oluyor.

-

Çarptığımızda 72 elde edeceğimiz iki sayı düşünmemiz gerek.

-

O zaman ikisinin de işaretleri aynı olmalıdır.

-

Çarptığım zaman 72 elde edeceğim.

Topladığımda ise -18

İşaretleri aynı ve toplamları negatif o zaman ikisi de negatif olmalılar.

-

-

72'nin tüm çarpanlarını yazabiliriz.

İlk olarak 8.9 diye düşünebilirsiniz.

Ama 8.9, (-8)-(9) ya da (-8)+(-9) olmuyor.

-

Sonuç 17 oluyor.

Yakın bir sonuç.

-

(-9)+(-8)=-17

Yakın ama olmadı.

Başka neler var?

6 ve 12

Bu gayet uygun görünüyor.

(-6)+(-12)=-18

-

-

Burada farklı çarpanları denemeniz gerekiyor.

Sonuç, -1'i unutmayın, -1(x-6)(x-12)

-

-