Factoring Quadratic Expressions

Factoring Quadratic Expressions

V tomto videu si urobíme kopu príkladov z rozkladov

polynómov druhého stupňa, ktorý sa

často nazýva kvadratický.

Niekedy kvadratický polynóm, alebo len

kvadratúra, alebo kvadratický výraz, ale vždy to znamená

polynóm druhého stupňa.

Takže niekedy to bude len a iba premenná

umocnená ne druhú.

V tomto prípade, vo všetkých príkladoch čo budeme robiť, to bude "x".

Majme teda kvadratický výraz,

x na druhú + 10x + 9

Ja ho chcem rozložiť na súčin dvoch lineárnych činiteľov.

Ako to urobíme?

Poďme sa pozrieť, čo sa stane, keď budeme chcieť

násobiť (x + a). (x + b)

Čo sa teda stane?

S tým už máme nejaké skúsenosti.

To bude x.x, teda x na druhú + x.b,

čo je bx + a.x + a.b

Alebo, keď tieto veci uprostred dáme dohromady,

pretože sú obidve násobené x,

môžeme výraz zapísať ako x na druhú + (a + b)x + ab

X na druhú + (a + b)x + ab

Všeobecne, keď budeme predpokladať, že toto je násobok

dvoch lineárnych členov, vidíme, že tento prostredný koeficient pri "x",

alebo môžete povedať koeficient prvého stupňa,

bude súčet našich "a" a "b".

A konštantný člen bude súčinom

a . b

Všimnite si, že toto (10= a+b) patrí k tomuto a toto (9 = a.b)

patrí k tomuto.

A samozrejme, toto je to isté ako toto.

Tak je nejaký vzor, ktorým napasujeme toto?

Existuje nejaké "a" a "b", kde a + b = 10 a súčasne

a . b = 9 ?

Premyslite si to.

Aké sú delitele 9?

A čomu sa môžu teda rovnať "a" a "b" ?

Predpokladáme, že sú to celé čísla.

Normálne, keď rozkladáme, špeciálne keď

začíname rozkladať, máme pred sebou

celé čísla.

Takže aké sú delitele 9 ?

Sú to 1, 3, 9.

Takže toto môže byť 3 a 3, alebo by to mohlo byť 1 a 9.

Teraz, ak by to bolo 3 a 3, potom máme 3 + 3 ... ato

sa nerovná 10.

Ale ak by to bolo 1 a 9 ; 9 . 1 = 9

1 + 9 = 10

Takže to funguje.

Teda "a" by mohlo byť rovné 1 a "b" by mohlo byť 9.

Tak výraz môžeme rozložiť na( x + 1)

krát (x + 9)

A keď vynásobíte tieto dva, s použitím vedomostí

získaných z predchádzajúcich pár videí, uvidíte,

že je to naozaj x na druhú + 10x + 9.

Takže keď uvidíte niečo také, keď je koeficient pri

x na druhú, alebo predný koeficient pri kvadratickom člene

je 1, poviete, dobre, ktoré dve

čísla dávajú v súčte tento koeficient?

A tie isté čísla, keď vynásobíte,

dávajú v súčine ?

Samozrejme, toto musí byť v štandardnom zápise.

Alebo, pokiaľ to nie je v štandardnom zápise, musíte to previesť

do takého stavu, že môžete vždy povedať; "OK, akýkoľvek je

koeficient prvého stupňa, moje "a" a "b"

sčítané dajú túto hodnotu.

Čokoľvek je môj konštantný člen, súčin mojich "a" a "b"

músí byť práve to.

Urobme si viac príkladov.

Myslím, že čím viac príkladov urobíme,

tým to bude jasnejšie.

Máme x na druhú + 10x +....dobre,

10x som už použil, dajme iné číslo...x na druhú

+ 15x + 50

A chceme to rozložiť.

Dobre, rovnaký postup.

Máme kvadratický člen.

Máme člen prvého stupňa.

Toto tu by mal byť súčet dvoch čísel.

A tento člen, konštantný člen práve tu,

by mal byť súčinom dvoch čísel.

Takže potrebujeme dve čísla, ktoré keď vynásobíme,

dostaneme 50 a keď ich sčítame, dostaneme 15.

A toto umenie budete musieť trochu

rozvíjať, ale čím viac praxe získate, uvidíte,

že to nakoniec bude pre vás prirodzené.

Čo môže byť "a" a "b" ?

Porozmýšľajme o rozklade 50.

Môže to byť 1 .50

2 . 25

Pozrime sa, 4 sa v 50 nenachádza.

Môže to byť 5 . 10

Myslím, že toto je všetko.

Pozrime sa na tie čísla a skúsme zistiť či niektoré

z nich nám dajú súčet 15.

Takže 1 + 50 nie je 15.

2 + 25 tiež nie je 15.

Ale 5 + 10 = 15.

Takže to môže byť 5 + 10 a tiež 5 . 10

Takže keď to rozložíme, bolo by to rovné

(x + 5) . (x + 10)

A roznásobme to.

vyzývam vás, vynásobte to a uvidíte, že to je

x na druhú + 15x + 10

Poďme na to. x . x = x na druhú

krát 10 + 10x

5 . x ; + 5x

5 . 10; + 50

Všimnite si, 5 . 10 nám dalo 50,

5x + 10x nám dáva 15x

Takže máme x na druhú + 15x + 50.

Poďme sa trochu pohrať a predstaviť

si záporné symptómy.

Povedzme, že máme x na druhú - 11x + 24.

Teraz máme úplne ten istý princíp.

Rozmýšľam o dvoch číslach, ktoré po sčítaní

dajú výsledok -11.

a + b = -11.

A a . b = 24

Teraz je na vás o tom porozmýšľať.

Keď násobím tieto dve čísla, začnem

s kladným číslom.

Začnem s 24.

To znamená, že obidve musia byť kladné, alebo obidve

sú záporné.

Je jediný spôsob, ako získať kladné čísla.

Teraz, keď ich sčítam, mám dostať záporné číslo. Keby

boli obidve kladné, nemôžem sšítať dve kladné čísla

a dostať záporné číslo, takže skutočnosť že ich súčet má byť

záporný, a skutočnosť, že ich násobokmá byť kladný mi

hovorí, že obidve čísla "a" aj "b " budú záporné.

"a" a "b" budú záporné.

Pamätajte si, nemôže byť jeden záporný a druhý

kladný, pretože výsledok by bol záporný.

A tiež nemôžu byť obidva kladné, ppretože keď ich sčítame,

dostaneme kladné číslo.

Takže porozmýšľajme o tom, aké môžu byť "a" a "b".

Dve záporné čísla.

Takže rozmýšľajme o rozklade 24.

A rozmýšľame o záporných rozkladoch.

Pozrime sa, čo by to mohlo byť 1 . 24; 2 . 11;

3 . 8; alebo 4 . 6

Tarez, ktoré z nich po vynásobení ....dobre,

samozrejme, keď vynásobím 1 . 24, dostanem 24

Keď vezmeme 2 . 11...prepáčte, to má byť 2 . 12

dostanem 24

Vidíme , že všetky výsledky nám dávajú 24.

Ale ktoré dve, ktoré dva rozklady, keď ich sčítame

nám dajú 11?

A môžme povedať, že vezmeme

obidve záporné.

Keď sa na to pozrieme, vyskočí nám 3 a 8 .

3 . 8 = 24

3 + 8 = 11

Ale to nie je úplne presné, však?

Pretože tu máme záporných 11.

Ale čo ak vezmeme zápornú 3 a zápornú 8?

-3 . (-8) = 24

-3 + (-8) = -11

Takže -3 a -8 vyhovujú.

Takže keď to rozložíme, dostaneme x na druhú - 11x + 24 =

= (x - 3) . (x -8)

Poďme urobiť ďalšie takéto.

Vlastne, poďme to trochu premiešať.

Povedzme, že máme x na druhú + 5x - 14.

Máme tu inú situáciu.

Súčin mojich dvoch čísel má byť záporný, však? "a" . "b"

= -14

Môj súčin je negatívny.

To mi hovorí, že jedno z nich je kladné a jedno je

záporné.

A ak ich sčítam, "a" + "b" = 5

Rozmýšľajme o rozklade 14.

A ktorá ich kombinácia po sčítaní, keď jedno je

kladné a druhé záporné, alebo môžme povedať ,

ich rozdielom dostanem 5?

Takže vezmem 1 a 14...idem jednoducho vyskúšať tieto veci...

1 a 14, +1 - 14 = -13

-1 + 14 = 13

Zapíšme všetky kombinácie, ktoré môžu byť.

A nakoniec váš mozog bude pracovať v tejto oblasti.

Máme -1 + 14 = 13

A 1 + (-14) = -13

Takže to nesedí.

Nerovná sa to 5.

A čo 2 a 7.

Ak je 2 záporná... urobím to inou farbou...ak

vezmem -2 + 7 = 5

Sme hotoví!

To sedí !

Myslím, že sme mohli skúsiť 2 + (-7), ale to sa

rovná -5 a to by už nesedelo.

Ale -2 + 7 sedí.

A -2 . 7 = -14

Takže to máme.

Vieme, že to je (x-2) . (x+7).

To je celkom elegantné.

-2 . 7 = -14

-2 + 7 = 5

Poďme urobiť viac takýchto, aby sme si dobre

osvojili túto zručnosť.

Nech máme x na druhú - x - 56

Takže súčin dvoch čísel bude -56,

záporných 56.

A ich rozdiel, pretože jedno bude kladné

a druhé záporné, však?

Ich rozdiel bude -1.

A čísla, ktoré mi ihneď vyskočia v hlave...

a ja neviem či aj vo vašich,

ale časom sa to naučíte ...

56 = 8 . 7

Myslím, že to môžu byť aj iné čísla

Je to tiež 28 . 2

A to sú všetky.

Ale 8 . 7 mi vyskakuje v mysli, pretože

sú veľmi blízko pri sebe.

A potrebujeme čísla, ktoré sú veľmi blízko pri sebe.

A jedno z nich má byť kladné, a druhé

má byť záporné.

Teraz, skutonosť, že ich súčet je záporný, mi hovorí

že väčšie z nich bude pravdepodobne záporné.

Keď vezmeme -8 . 7, to sa

rovná -56.

A ak vezememe -8 + 7, to sa rovná

-1, čo je presne ten správny koeficient.

Takže keď to rozložíme, je to (x - 8) .

(x + 7).

To je jedna z najťažších častí, ktoré sa ľudia učia

v algebre, pretože je to kúsok umenia.

Môžete sa pozrieť na všetky rozklady, pohrať sa

kladnými a zápornými príznakmi, pozrieť sa, ktorý z rozkladov,

keď jeden je kladný a druhý záporný, v súčte nám

dá koeficient pri x.

Ale keď získate vic a viac praxe, uvidíte že

sa vám to stane druhou prirodzenosťou.

Teraz poďme posunúť latku trochu vyššie.

Povedzme, že máme -x na druhú.....všetko, o sme

robili doteraz malo kladný koeficient, +1

koeficient pri kvadratickom člene x na druhú.

Ale teraz sme povedali, že máme -x na druhú

- 5x + 24.

Ako to urobíme?

Dobre, najľahšia cesta, ktorú si viem predstaviť, je vybrať

-1, a potom dostávame ten istý problém, ktorý

sme riešili pred tým.

Takže to je to isté ako -1. (+x na druhú

+ 5x - 24)

Správne?

Vybrali sme -1.

Môžte násobiť -1 všetko toto a uvidíte,

že dostanete toto.

Alebo môžte vybrať -1 a deleiť všetko

toto -1.

A bude to správne.

Teraz, to isté, čo sme mali predtým.

Potrebujem dve čísla, ktorých súčin nám dá

-24.

Takže jedno bude kladné a druhé záporné.

Keď vezmem ich súčet, dostanem 5.

Takže rozmýšľajme o 24. To je 1 a 24

Pozrime sa, ak toto je -1 a 24, to je +23,

ak by to bolo opačne, bude to -23

Nefunguje.

A čo 2 a 12 ?

Dobre, ak je záporná ....pamätáme si, jedno z nich má

byť záporné.

Ak je 2 záporná, ich súčet bude +10

Ak je 12 záporná, ich súčet bude -10

Stále to nefunguje.

3 a 8.

Ak je 3 záporná, ich súčet bude 5.

To funguje.

Takže ak si vyberieme zápornú 3 a 8, to funguje.

Pretože -3 + 8 = 5

-3 . 8 = -24

Takže to sa rovná....nesmiem zabudnúť na

-1 pred tým, a rozkladáme vnútrajšok.

-1. ((x-3) . (x +8))

Ak to chceme presne, možme to vynásobiť

-1, dostaneme

3 - x.

Alebo to neurobíte.

Poďme urobiť ešte jeden z týchto.

Čím viac praxe, tým lepšie, myslím.

Dobre, povedzme, že máme -x na druhú

+ 18x - 72

Takže ešte raz, vyberieme -1 pred zátvorku.

Takže je to to isté ako -1 . (x na druhú

-18x + 72)

Teraz rozmýšľame o dvoch číslach, ktoré po

vynásobení nám dajú +72.

Takže budúmať rovnaké znamienka.

O to to bude jednoduchšie vo vašej hlave, a nakoniec aj v mojej.

Keď ich vynásobíme, dostanene +72.

Ak ich sčítame, dostaneme -18.

Keďže majú rovnaké znamienka a ic súčet je záporné

číslo, obidve musia byť záporné.

A tak by sme mohli pokračovať cez všetky rozklady 72.

Ale jeden, ktorý nám vyskakuje,myslíte si, je 8 . 9.

alebo -8 -9, alebo -8 +

-9, tieto nefungujú.

To sa zmení na 17.

To bolo o chlp.

Pozrime sa na toto.

-9+( -8) = -17

Zavrieť, ale nie cigaru.

Takže, čo tie ostatné tu?

Máme 6 a 12.

Skutočne sa to zdá celkom dobré.

Ak máme -6 +(-12), to sa rovná

-18

Všimnite si, že je to trochu umenie.

Musíte vyskúšať rôzne rozklady.

Takže dostaneme -1...nesmiem na to zabudnúť....

. (x - 6) . (x - 12).