Faktorisering av Kvadratisk Uttrykk

Faktorisering av Kvadratisk Uttrykk

I denne videoen kommer jeg til å gjøre mange forskjellige eksempler på faktorering,

av annengrads polinomialer, som er

ofte betegnet som kvadratisk

Av og til en kvadratisk polonimoal, eller bare

en kvadratisk eller kvardatisk uttrykk, men det betyr at

det er en annengrads polinomial

Så, det vi kommer til å gjøre er ha en variabel opphøyet til

annengrad.

I dette tilfellet, vil alle eksemplene vi gjør være x.

Så, la oss si at vi har det kvadratiske uttrykket, x^2

pluss 10x , pluss 9.

Og jeg vil faktorisere det til å bli et produkt av to binomiale.

Hvordan gjør vi det?

Vel, la oss bare tenke på hva som skjer om vi skulle

ta x pluss a, og gange det med x pluss b.

Om vi skulle gane disse to, hva ville skjedd?

Vell, vi har litt erfaring med dette.

Dette blir x ganger x som er x^2, pluss x ganger b,

som er bx , pluss a ganger x, pluss a ganger b-- pluss ab,

Eller om vi vil legge sammen disse tallene her i midten,

fordi det er begge koeffisienter av x.

Vi kan skrive dette som x^2 pluss -- jeg kan skrive det

som b pluss a, eller a pluss b, x, pluss ab.

Så, generellt, om vi antar at dette er produktet av

to binomialer, vi kan se at denne koeffisienten i midten

på x uttrykket, eller en kan si førstegradskoeffisienten

vil bli summen av våres a og b.

Og dermed av det konstante uttrykket vil bli produktet

av våres a og b

Se at dette vil overføres til dette, og dette

vi overføres til dette.

Og, selvfølgelig, er dette det samme som dette.

kan vi overføre mønsteret til denne?

Er det en a og b der a pluss b er lik 10?

OG a ganger b er lik 9?

La oss tenke litt på det.

hva er faktorene av 9?

Hva kan a og b være lik?

Vi antar at alt er i heltall.

Og vanligvis når vi
faktoriserer, spesielt når

vi begynner å faktorisere, bruker vi

heltall.

Så hva er faktorene til 9?

De er 1, 3, og 9.

Så dette kan være 3 og 3, eller 1 og 9.

Om det er 3 og 3, da har du 3 pluss 3--

det er ikke lik 10.

Men vi tar 1 og 9, 1 ganger 9 er 9.

1 pluss 9 er 10.

Så det fungerer.

Så a kan være lik 1, og b kan være lik 9.

Så vi kan faktorisere dette som x pluss 1,

ganger x pluss 9.

Og om du multipliserer disse, ved å bruke

ferdighetene som vi utviklet i de
forrige videoene, skjønner vi at

det blir x opphøyd i to pluss 10x, pluss 9

Så når du ser noe som ligner
dette, hvor koeffisienten på

x opphøyd i to enheten,
eller den ledende koeffisient

på det kvadratiske uttrykket er 1,
kan du bare tenke deg,

hvilket to nummer har sum som
er lik denne koeffisienten her?

Og de produktet av de to samme numrene

må bli lik 9.

Og dette må så klart være i standard form.

Om det ikke er i standard
form, bør du sette det

i den formen, sånn at du alltid er klar

over at førstegrads
koeffisientene på a og b

må kunne adderes sammen til det.

Uansett hva konstanten er, a ganger b

må ha det produktet.

La oss ta flere eksempler.

Jeg tror at jo flere eksempler vi tar,

jo enklere blir det å forstå.

Si at vi har x opphøyd i to
pluss 10x, pluss-- jeg

har allerede gjort 10x, la oss ta en
annen nummer-- x opphøyd i to

pluss 15x, pluss 50.

Dette vil vi faktorisere.

Det gjør vi på samme måten.

Vi har en x opphøyd i to enhet.

Vi har en førstegrads enhet.

Dette her bør være summen av to nummer.

Og denne enheten her, konstanten,

bør være produktet av to nummer.

Så vi må finne to nummer
som, når multiplisert

blir 50, og når de legges sammen, blir 15.

Og dette blir på en måte
litt av en kunst som du

utvikler, men jo mer du øver, jo mer vil

du merker at det begynner
å bli helt naturlig.

Så hva kan a og b være?

La oss tenke på faktorene til 50.

Det kan være 1 ganger 50.

2 ganger 25.

Skal vi se, 4 går ikke inn i 50.

Det kan være 5 ganger 10.

Jeg tror det er alt.

La oss prøve disse numrene og se om noen

av de blir til sammen 15.

1 pluss 50 blir ikke 15.

2 pluss 25 blir ikke 15.

Men 5 pluss 10 blir 15.

Så dette kan være 5 pluss 10,
og dette kan være 5 ganger 10.

Om vi faktorisere dette,
vil det bli lik x pluss

5, ganger x pluss 10.

Og multipliser det hele ut.

Jeg oppfordrer deg å multiplisere
det helt ut, for å se om det

faktisk blir x opphøyd i to
pluss 15x, pluss 10.

Vi kan nemlig gjøre det nå.
x ganger x, x opphøyd i to.

x ganger 10, pluss 10x

5 ganger x, pluss 5x.

5 ganger 10, pluss 50.

Merk, at ved 5 ganger 10 fikk vi 50.

5x pluss 10x gir oss 15x i mellom.

Så det er x opphøyd i to
pluss 15x, pluss 50.

La oss gjøre det litt vanskeligere,
og introduser noen negative

tegn her.

La oss si at vi har x opphøyd i to
minus 11x, pluss 24.

Det er eksakt samme prinsipp.

Vi må finne på to nummer, der summen

er lik negativ 11.

a pluss b må være lik negativ 11.

Og a ganger b må være lik 24.

Her har du noe å tenke på.

Når jeg multipliserer begge
disse numrene, får jeg

et positivt nummer.

Jeg får 24.

Det betyr at begge disse
må være positive, eller

at begge disse må være negative.

Det er den eneste måten jeg
får et positivt nummer her.

Nå, om jeg legger de sammen
og får et negativt nummer,

om disse var positive, det går ikke an
å legge sammen to positive nummer

sammen til et negativt nummer,
så faktumet at summen er

negativt, og produktet er positivt,

forteller meg at både a og b er negative.

a og b må være negative.

Husk, ett kan ikke være
negativt og det andre

positivt, fordi da ville
produktet vært negativt.

Og de kan ikke begge være positive,
fordi om du da legger de sammen

får du et positivt nummer.

Så la oss finne ut av hva a og b kan være.

Så, to negative nummer.

La oss tenke på faktorene til 24.

Og vi må tenke på de negative faktorene.

Skal vi se, det kan være
1 ganger 24, 2 ganger 11,

3 ganger 8, eller 4 ganger 6.

Hvilket av disse, når multiplisert blir--

jo, selvfølgelig, 1 ganger 24 blir 24.

2 ganger 11-- unnskyld, 2 ganger 12.

Er lik 24.

Så vi vet at produktet
til alle disse er 24

Men hvilket to av disse,
når de legges sammen

blir 11?

Og så kan vi si, la oss ta de negative

av begge disse.

Så når du ser på disse vil
3 og 8 utmerke seg.

3 ganger 8 er lik 24.

3 pluss 8 er lik 11.

Men det går ikke helt, ikke sant?

Fordi vi har en negativt 11 her.

Men hva om vi tar negativ 3 og negativ 8?

Negativ 3 ganger negativ
8 er lik positiv 24.

Negativ 3 pluss negativ
8 er lik negativ 11.

Så negativ 3 og negativ 8 fungerer.

Så om vi faktoriserer dette, x opphøyd i to
minus 11x, pluss 24 er lik

x minus 3, ganger x minus 8.

La oss ta én til.

Eller, vi gjør det litt anderledes.

Si vi har x opphøyd i to
pluss 5x, minus 14.

Her har vi en annen situasjon.

Produktet av numrene er
negativt, ikke sant? a ganger b

er lik negativ 14.

Produktet er negativt.

Det forteller meg at et av de
er positivt, og det andre

er negativt.

Og når jeg legger de sammen,
a pluss b, blir det lik 5.

Så la oss finne faktorene til 14.

Og hvilket kombinasjon av de,
når jeg legger de sammen,

om ett er positivt og ett negativt,
eller jeg tar egentlig

differansen av de, får jeg 5?

Så om jeg tar 1 og 14--
jeg bare prøver meg fram--

1 og 14, negativ 1 pluss 14 er negativ 13.

Negativ 1 pluss 14 er 13.

Så la meg skrive alle
mulige kombinasjonene.

Og eventuelt vil hjernen din
klare å sone inn på svaret.

Så du har negativ 1 pluss 14 er lik 13.

Og 1 pluss negativ 14 er lik negativ 13.

Så de fungerer ikke.

Det er ikke lik 5.

Hva med 2 og 7?

Om jeg tar negativ 2-- la meg
ta det i en annen farge-- om

jeg tar negativ 2 pluss 7, det blir lik 5.

Så er vi ferdig!

Det gikk!

Altså, vi kunne ha prøvd
2 pluss negativ 7, men det

hadde blitt lik negativ 5,
så det hadde ikke fungert.

Men negativ 2 pluss 7 fungerer.

Og negativ 2 ganger 7 er lik 14.

Så der har vi det.

Vi vet at det er x minus
2, ganger x pluss 7.

Det er morsomt.

Negativ 2 ganger 7 er negativ 14.

Negativ 2 pluss 7 er positiv 5.

Vi gjør enda flere av disse,
sånn at du virkelig

får øvd deg.

La oss si vi har x opphøyd
i to minus x, minus 56.

Produktet av de to numrene
må være minus 56.

må være negativ 56.

Og differansen, siden
ett må være positivt,

og ett må være negativt, ikke sant?

Differansen må være negativ 1.

Og de eneste numrene
som plutselige kommer til

sinnet-- og jeg vet ikke om det gjør det oss deg,

vi lærte dette i gange-tabellen--

56 er 8 ganger 7.

Det er jo andre nummer.

Det fins også 28 ganger 2.

Og andre ting.

Men jeg tenker med én
gang på 8 ganger 7, siden

de er veldig nærme hverandre.

Og vi trenger nummer som
er nærme hverandre.

Og ett av de må være
positive, og det andre

og ett må være negativt.

Siden summen er negativ,
forteller det meg at

det mest sannsynlig er det største av
de to numrene som bør være negativt.

Så om vi tar negativ 8 ganger 7, det blir

lik negativ 56.

Og så tar vi negativ 8
pluss 7, det blir lik

negativ 1, som er den koeffisienten der.

Så når jeg faktoriserer dette,
blir dette x minus 8,

ganger x pluss 7.

Dette er ofte en av de vanskeligste
konseptene får folk å lære seg

i algebra, siden det er
litt av en kunstform.

Du må se på alle faktorene, leke med

positive og negative tegn,
se hvilket av faktorene

når ett er positivt og ett er
negativt, kan legges sammen

til å bli lik koeffisienten på x enheten.

Men når du får trent deg
mer, vil du merke at

det blir mer naturlig.

La oss gjøre det litt vanskeligere.

Si at vi har negativ x
opphøyd i to-- alt vi

har gjort så langt har hatt et
positivt koeffisient, et positivt 1

koeffisient på x opphøyd i to enheten.

Men si at vi har negativ x opphøyd i to

minus 5x, pluss 24.

Hvordan gjør vi det?

Jo, den enkleste måten jeg kan
tenke på er ved å faktorisere

ut negativ 1, og så blir det
akkurat samme som det

vi har gjort i de forrige oppgavene.

Så dette er det samme som
negativ 1 ganger positiv x

opphøyd i to, pluss 5x, minus 24.

Ikke sant?

Jeg har bare faktorisert ut negativ 1.

Du kan multiplisere alt dette
ved negativ 1, og så vil

du se at det blir dette.

Eller du kan faktorisere
ut negativ 1 og dele

alle disse med negativ 1.

Og så får du det der.

Nå, samme som tidligere.

Jeg trenger to nummer, der produktet er

lik 24.

Så ett må være positivt,
ett må være negativt.

Deres sum må være 5.

Så la oss tenke på 24 er 1 og 24.

Skal vi se, om dette er negativ
1 og 24, blir det positiv 23.

omvendt så blir det negativ 23.

Det fungere ikke.

Hva med 2 og 12?

Jo, om dette er negativt--
husk, ett av disse to

må være negativt.

Om 2 er negativt, blir summen 10.

Om 12 er negativt, blir summen negativ 10.

Det går fortsatt ikke.

3 og 8.

Om 3 er negativt, blir summen 5.

Så det går!

Så om vi tar negativ 3 og 8,
negativ 3 og 8 fungerer.

Siden 3 pluss negativ 8 er 5.

Negativ 3 ganger 8 er negativ 24.

Så dette blir lik-- vi kan ikke glemme

denne negative 1-eren foran,
og så faktoriserer vi innsiden.

Negativ 1 ganger x minus 3,
ganger x pluss 8.

Og om du virkelig har lyst,
kan du multiplisere

negativ 1 ganger dette, så får du

3 minus x, om du gjør det.

Men du trenger ikke.

La oss ta én til.

Jo mer du øver jo bedre, tenker jeg.

Si at jeg har negativ x opphøyd i to

pluss 18x, minus 72.

Én gang til, jeg liker å
faktorisere ut negativ 1.

Så dette er lik negativ 1
ganger x opphøyd i to

minus 18x, pluss 72.

Nå må vi bare finne to nummer, der

produktet er lik positiv 72.

Så de må ha samme tegn.

Og det gjør det lettere å ta
i hodet, ihvertfall for meg.

Når jeg multipliserer dem,
får jeg positiv 72.

Når jeg legger de sammen,
får jeg negativ 18.

Så de har samme tegnet,
og summet er et negativt

nummer, så de må begge være negative.

Og vi kan gå gjennom
alle faktorene til 72.

Men den som kanskje
dukker opp er 8 ganger 9,

men 8 ganger 9, eller negativ 8
minus 9, eller negativ 8 pluss

negativ 9, går ikke.

Det blir 17.

Det var nesten.

La meg vise deg.

Negativ 9 pluss negativ 8,
det er lik negativ 17.

Nesten, men ikke helt.

Så hvilket andre er det?

Vi har 6 og 12.

Det virker bra.

Om vi har negativ 6 pluss
negativ 12, det blir lik

negativ 18.

Merk, det er litt av en kunst.

Du må prøve de forskjellige faktorene.

Så dette blir negativ 1-- ikke glem

det-- ganger x minus 6, ganger x minus 12.