Factorisation d'expressions du second degré

Factorisation de fonctions du second degré sans utilisation du déterminant.
Niveau : Fin de seconde générale ou début de première scientifique.
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Dans cette vidéo, je veux faire des exemples de factorisation

d'un polynôme du second degré,

que l'on appelle aussi équation quadratique.

Parfois, un polynôme quadratique, ou tout simplement un

quadratique, ou l'expression quadratique, mais tout cela signifie

qu c'est un polynôme du second degré.

Donc, quelque chose qui va avoir une variable élevée

au carré.

Dans ce cas, dans tous les exemples qu'on va faire, ça sera x.

Si l'on considère le polynôme du second degré en x :

10x² +9x

Et je veux le factoriser en un produit de 2 facteurs.

Comment allons-nous faire ça?

Réfléchissons à ce qui ce passe quand

on multiplie (x+a) par (x+b)

C'est une multiplication classique,

on fait appel à la distributivité :

On obtient x² puis b×x qui nous donne

bx et ax et enfin a×b soit ab.

Comme les termes ici au milieu sont tous les 2 en x,

on peut les additionner.

Au final, on peut donc écrire que l'on a :

x²+(b+a)x+ab ou x²+(a+b)x+ab

Donc , nous pouvons en conclure que lors du développement

le terme du milieu, celui des termes x

ou terme du premier degré

correspond à la somme de a et b

De même, le terme constant va être égal au

produit ab.

On peut alors faire correspondre les termes.

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Et bien sur l'égalité du terme en x²

Donc comment pouvons-nous exploiter ces résultats?

On cherche a et b tels que a+b=10

et ab=9.

Réflechissons un peu.

Quels sont les facteurs de 9?

Puisque ab=9

On suppose ici que toutes les valeurs sont entières.

Donc pour de la recherche de facteurs, on va travailler

avec bien sur des entiers.

Issus de N.

Quels sont les diviseurs de 9?

Il y a 1 mais aussi 3 et 9.

Nous avons 2 possibiltés : 3 et 3 ou 1 et 9.

Dans le cas de 3 et 3, on remarque que 3+3 = 6

et non 10.

Mais par contre, 1*9=9

et 1+9=10.

Donc le système est vérifié.

Donc on peut prendre a=1 et b=9

Et pour factoriser en (x+1)(x+9)

On peut inverser a et b .

Pour vérifier si le calcul est juste, il suffit de

développer le produit pour retrouver

x²+10x+9

Attention, la méthode appliquée ici n'est valable

que si le coefficient du x² ou de la puissance la plus grande

vaut 1.

Dans ce cas, on cherche quels sont les nombres dont

la somme vaut ce coefficient

et si l'on obtient bien en faisant le produit,

le dernier terme.

Avec bien sur un coefficient pour x² valant 1 et

le reste de la forme x²+bx+c.

Sinon, on doit se ramener à cette forme.

Le coefficient du premier degré vaut

a+b

Et le terme constant

ab.

Faisons d'autres exemples.

Plus on fait d'exemples, plus

on comprend.

Disons que nous avons un polynôme

du second degré en x :

x²+15x+50

Et que nous voulons factoriser.

On fait pareil

On a un terme en x²

Un terme du premier degré

qui correspond à la somme de a et b.

Et le terme constant

correspondra au produit ab

Donc quel est le système d'équations?

On sait que : ab=50 et a+b=15

Alors au début, le procédé parait aléatoire mais

en pratiquant la technique,

ça devient naturel.

Donc quelles vont être les valeurs de a et b?

Quels sont les diviseurs de 50 ?

D'abord, 1×50

2×25

4 n'est pas un diviseur de 50.

5×10

et on a fait le tour.

Maintenant, cherchons parmi ces nombres, pour lesquels

la somme fait 15.

Donc 1+50 ne fait pas 15.

2+25 non plus

5+10 fait bien 15

Donc ce terme fait 5+10 et celui-ci 5×10.

Donc une factorisation possible serait

(x+5)(x+10).

Et si on développe,

On va retrouver x²+15x+50.

C'est un réflexe à prendre de vérifier ses résultats.

Donc en avant, on développe : x²

puis 10×x=10x

5×x=5x

5×10=50

Au passage, on retrouve 5×10=50

et 5x+10x donne bien 15x.

Donc x²+15x+50

Compliquons un peu le problème en rajoutant

des nombres négatifs.

Considérons l'expressions x²-11x+24

Le principe reste le même.

Il faut trouver 2 nombre tels que

leur somme fasse -11

soit a+b=-11

et ab=24

Il faut réfléchir un peu ici car

si on fait le produit ab, alors on obtient un

nombre positif

Plus particulièrement 24.

Donc selon la règle des signes, a et b ont le même signe

Ils sont soit positifs soit négatifs.

C'est la seule façon d'obtenir un nombre positif.

Mais quand on ajoute a et b, on obtient un nombre négatif.

Si a et b étaient positifs, il serait impossible

d'obtenir un négatif en additionnant 2 positifs.

On peut en conclure que les nombres a et b

sont des entiers négatifs.

a et b DOIVENT être négatifs.

On ne peut avoir de signes alternés car

dans ce cas le produit serait négatif.

Et ils ne peuvent être négatifs car

la somme serait positive.

Donc cherchons a et b.

On sait qu'ils sont négatifs.

Quels sont les diviseurs de 24 ?

Et il faudra penser à des diviseurs négatifs.

ALors, on a : 1×24 ou 2×12 ou 3×8

et 4×6

Si je multiplie les composants de chaque couple

j'obtiens par définition 24.

Donc 2×12 donne 24

Pareil pour tous,

j'ai toujours au final 24.

Mais quand je les ajoute, en faisant attention aux signes,

lesquels donnent 11?

Alors commençons

avec les opposés de ces 2 là.

3 et 8 apparaissent comme évidents.

En effet, 3×8=24

et 3+8=11

Mais ce ne sont pas les bonnes valeurs

car il me faut -11 et non pas 11.

De plus, on sait que a et b sont négatifs.

Donc -3×(-8)=24 (règle des signes).

et -3 + (-8) =-11

Donc -3 et -8 sont solutions.

Donc x²-11x+24 va se factoriser en :

(x-3)(x-8).

Faisons en un autre.

En corsant un peu la difficulté, bien sur...

Partons sur x²+5x-14

C'est un autre cas de figure.

Le produit des nombres que l'on cherche est négatif,

-14 pour être précis.

Il faut donc un produit négatif,

ce qui implique que l'un des 2 nombres sera positif

et l'autre négatif.

Et bien sur la somme des 2 fera 5

Alors, cherchons les facteurs de 14,

puis lesquels si on les additionne en

inversant les signes d'un des 2, ce qui revient juste

à soustraire nous donnera 5.

Donc alors 1 et 14, on va commencer par là :

-1+14 = 13, qui ne correspond pas

Donc passons à la suite.

Je vais écrire toutes les combinaisons possibles

et la solution nous sautera aux yeux.

Alors -1 +14 = 13

et 1 +(-14) = -13

qui ne sont pas solution

car on n'obtient pas 5

Alors maintenant passons à 2 et 7

Alors si on prend -2 et 7

alors -2+7 = 5

On a trouvé

La technique marche.

On aurait pu essayer 2 et -7 mais

on aurait obtenu -5 qui n'est pas la valeur cherchée.

Mais -2 et 7 sont solutions.

Puisque -2×7 = 14

Donc au final, la factorisation est :

(x-2)(x+7)

C'est classe.

En développant, on retrouve -2×7 =-14

et -2+7 = 5

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On fait en faire d'autres pour bien maîtriser

la technique.

Partons sur x²-x-56

Donc le produit des 2 nombres doit faire

par définition -56

Et la différence car les signes seront inversés

sera de -1

Toujours par définition.

Donc là il faut avoir de bons réflexes

c'est à dire connaître les tables

de multiplication classiques

8×7=56

Ce n'est pas la seule possibilité

28×2 = 56 est aussi acceptable

Il n'y a pas unicité

mais 8×7 frappe car ils sont proches

les uns des autres

et il nous faut des nombres très proches les uns des autres.

Et il nous faut une valeur poisitive et

une autre négative.

Si on regarde la différence, on voit qu'elle est négative donc

c'est que le plus grand nombre (en valeur absolue) est négatif.

Ce qui nous -8×7

soit -56

Et -8+7 va nous donner

-1 qui est bien la valeur du coefficient.

Donc la factorisation nous donnera

(x-8)(x+7)

C'est un concept un peu difficile de jongler avec les

valeurs. Il faut s'entraîner et

on prend l'habitude de chercher les diviseurs, de

changer les signes dans un sens ou dans l'autre

selon le signe du coefficient

du terme en x

Tout est question de pratique, il faut

acquérir les réflexes.

Maintenant, compliquons un peu plus le problème.

Considérons une expression tel que

le coefficient de x² soit -1 à l'opposé du 1 que l'on avait jusqu'à maintenant

pour le terme en x²

Donc considérons l'expression suivante :

-x²-5x+24

Comment allons-nous faire ?

La méthode la plus simple revient à mettre en facteur

le -1 et l'on reviendra ainsi à un problème

déjà vu

C'est comme si l'on avait :

-1×(x²+5x-24)

OK?

J'ai mis le -1 en facteur.

Si je multiplie ma parenthèse par -1,

je retrouve mes valeurs

On peut aussi mettre le -1 en facteur et on obtient

en divisant par -1

et on retrouve bien l'expression.

Maintenant même technique qu'avant.

J'ai besoin de 2 nombres dont le produit fera

-24

Donc l'un sera positif et l'autre négatif.

Toujours à cause de la règle des signes

Et la somme devra faire 5

Alors cherchons les facteurs : 24=24×1

Avec -1 et 24, la somme donne 23

et si je prends 1 et -24, j'obtiens -23

Ce ne sont pas les solutions.

Ensuite 2 et 12 :

Alors, si celui-ci est négatif, puisqu'il en faut

un de négatif

Avec -2 la somme fait 10

Si c'est -12 alors on a -10

Donc ce ne sont pas des solutions.

3 et 8

Avec -3, la somme fait 5

ça marche !

Donc -3 et 8 sont des solutions.

Car -3+8 =5

et -3×8 = -24

Ce qui va nous donner,

en faisant attention à ne pas oublier le -1 devant,

-1×(x-3)(x+8)

Si tu veux, tu peux distribuer

le -1 pour obtenir

(3-x)(x+8)

Mais c'est optionel.

On peut faire pareil avec (x+8)

Faisons en un autre

Plus on en fait, meilleur on devient.

Considérons l'expression suivante :

-x²+18x-72

Comme tout à l'heure, mettons le -1 en facteur :

ce qui nous donne

-1×(x²-18x+72)

Maintenant, il nous faut trouver 2 nombres tels que

leur produit fasse 72.

Ils sont donc de même signe.

Et cela nous simplifie les calculs.

Donc le produit fait : +72

La somme -18

et ils sont de même signe. Comme la somme est

négative alors les 2 sont négatifs.

Toujours selon la règle des signes.

On peut chercher tous les facteurs de 72

mais il y a un couple qui saute aux yeux, c'est 8×9

mais -9 et -8) ne sont pas

solutions ici.

Ce terme faisant 17.

C'est raté pour ces valeurs

La preuve en direct :

-9+(-8)=-17

Donc c'est raté.

Quelles sont les autres possibilités ?

Nous avons 6 et 12

Là, ça s'annonce bien.

Car -6 + (-12) donne

-18

Il est vrai que c'est un peu technique

de tester tous les facteurs

Donc on aura au final -1×(x-6)(x-12)

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