Rozklad kvadratických výrazů

Rozklad kvadratických výrazů

V tomto videu udělám spoustu příkladů
na rozklad polynomů druhého řádu,

který se často nazývá kvadratický.

Někdy kvadratický polynom, nebo jen
kvadratura, nebo kvadratický výraz,

ale vždy to znamená
polynom druhého stupně.

Takže něco, co má
proměnnou umocněnou na druhou.

V tomto případě, ve všech příkladech
co budeme dělat, to bude x.

Mějme tedy kvadratický výraz:
x na druhou plus 10 krát x plus 9.

A já ho chci rozložit na
součin dvou lineárních členů.

Jak to uděláme?

Podívejme se, co se stane, když budeme
chtít násobit (x plus a) krát (x plus b).

Co se tedy stane?
S tím už máme nějaké zkušenosti.

To bude x krát x, tedy x na druhou,
plus x krát b, což je bx,

plus a krát x plus a krát b.

Když budeme chtít dát ty věci uprostřed
dohromady, protože jsou oba násobeny x,

tak můžeme výraz zapsat jako
x na druhou plus x krát (a plus b),

to x můžu zapsat před nebo za závorku,
plus a krát b.

Když budeme předpokládat, že tohle
je násobek dvou lineárních členů,

tak vidíme, že tento
prostřední koeficient u ‚x‘,

nebo můžete říci koeficient prvního
stupně, bude součet našich ‚a‘ a ‚b‘

A konstantní člen bude
součinem ‚a‘ a ‚b‘.

10 se rovná (a plus b)
a 9 se rovná (a krát b).

Samozřejmě tohle je to samé jako toto.

Je nějaký vzor, kterým
napasujeme tohle na toto?

Existuje ‚a‘ a ‚b‘, kde (a plus b) je 10
a zároveň (a krát b) se rovná 9?

Promysleme si to.
Jaké jsou dělitele 9?

A čemu se tedy mohou rovna ‚a‘ a ‚b‘?
A předpokládáme, že to jsou celá čísla.

Když rozkládáme, zvlášť když začínáme
rozkládat, tak máme před sebou celá čísla.

Takže jaké jsou dělitele 9?
Jsou to 1, 3 a 9.

Takže tohle může být 3 a 3,
nebo by to mohlo být 1 a 9.

Pokud by to bylo 3 a 3, pak máte 3 plus 3.
To se nerovná 10.

Ale pokud to bude 1 a 9,
tak 1 krát 9 je 9 a 1 plus 9 je 10.

Takže to funguje.

Takže ‚a‘ by mohlo být rovno 1
a ‚b‘ by mohlo být 9.

Tak výraz můžeme rozložit
na (x plus 1) krát (x plus 9).

A když vynásobíte tyhle dva, za použití
vědomostí z minulých pár videí,

tak uvidíte, že je to opravdu
x na druhou plus 10x plus 9.

Takže když uvidíte něco takového,
že je koeficient u x na druhou 1,

...neboli koeficient
u kvadratického členu...

tak řeknete: „Která dvě čísla
dávají v součtu tento koeficient?

A dvě ta samá čísla, když je
vynásobíte, dávají v součinu 9?“

Samozřejmě toto musí být
ve standardním zápisu.

Pokud to není ve standardním zápisu,
tak to do něj musíte převést,

abyste mohli říci:

„Jakýkoli je koeficient prvního stupně,
tak sečtené ‚a‘ a ‚b‘ dají tuto hodnotu.“

Cokoli je můj konstantní člen,
součin mých ‚a‘ a ‚b‘ musí být tamto.

Udělejme si více příkladů.

Myslím, že čím více příkladů
uděláme, tím to bude jasnější.

Mějme x na druhou plus…
Už jsem dělal 10x, tak zkusíme jiné číslo.

x na druhou plus 15 krát x plus 50.

A chceme to rozložit.
Ta samá písnička.

Máme člen x na druhou.
Máme člen prvního stupně.

Tohle musí být součet dvou čísel.

A tento člen, konstanta tady,
musí být součin dvou stejných čísel.

Takže musím najít dvě čísla,
které když vynásobím,

dostanu 50 a když je
sečtu, tak dostanu 15.

Bude to trochu jako nějaké umění,
co si zde vypěstujete,

ale čím víc praxe budete mít,
tím více vám to půjde přirozeně.

Takže jaká budou naše ‚a‘ a ‚b‘?

Zkusme najít dělitele 50.
Může to být 1 krát 50.

2 krát 25.
Čtyřka nedělí 50.

Mohlo by to být 5 krát 10.
A to je myslím vše.

Zkusíme všechna tato čísla a uvidíme,
jestli dají v součtu také 15.

1 plus 50 není 15.
2 plus 25 není v součtu 15.

Ale 5 a 10 je v součtu 15.

Takže tohle by mohlo být 5 plus 10
a toto by mohlo být 5 krát 10.

Tak když tohle rozložíme, tak se to bude
rovnat (x plus 5) krát (x plus 10).

A vynásobíme to.

Zkuste to vynásobit a uvidíte, že opravdu
výsledek je x na druhou plus 15x plus 50

Tak si to zkusme.

x krát x je x na druhou,
x krát 10 je plus 10x.

5 krát x, plus 5x, 5 krát 10, plus 50.

Všimněte si, že 5 krát 10 nám dalo 50.
5x plus 10x nám dává 15x uprostřed.

Tak je to x na druhou plus 15x plus 50.

Dejme si nějakou výzvu,
dáme si zde nějaká záporná znaménka.

Například máme
x na druhou minus 11x plus 24.

Aplikujeme úplně stejné principy.

Chci nalézt dvě čísla, která se po
sečtení budou rovnat minus 11.

a plus b musí být rovno minus 11.
a krát b musí být rovno 24.

Teď se musíme nad něčím zamyslet.

Když budu násobit obě dvě čísla,
dostanu kladné číslo. Dostávám 24.

Obě dvě čísla musí být buď kladná,
nebo obě dvě čísla musí být záporná.

To je jediná cesta,
jak dostanu tady kladné číslo.

Když je sčítám, dostávám záporné
číslo, pokud by byly obě čísla kladná,

tak není možné, aby součet dvou
kladných čísel byl záporný.

Takže fakt, že jejich součet je záporný
a fakt, že jejich součin je kladný,

mi říká, že obě dvě čísla
‚a‘ a ‚b‘ budou záporná.

Zapamatujte si, jedno nemůže
být záporné a druhé kladné,

protože jejich součin by byl záporný.

Obě nemůžou být kladná, protože po
sečtení byste dostali kladné číslo.

Přemýšlejme o tom,
jaká čísla by ‚a‘ a ‚b‘ mohla být.

Dvě záporná čísla.
Budeme přemýšlet o dělitelích 24.

Musíme přemýšlet
o záporných dělitelích.

Tak se podívejte, mohlo by to být 1 krát
24, 2 krát 11, 3 krát 8, nebo 4 krát 6.

Které z nich, když vynásobím…

Zcela zřejmě, když vynásobím
1 krát 24, dostanu 24.

Když vynásobím 2 krát 1,
omlouvám se 2 krát 12, tak dostanu 24.

Víme, že u všech je výsledek součinu 24.

Ale které z nich, z těchto dělitelů,
dohromady po sečtení dají 11?

A tak si můžeme říct…
Vezměme si obě dvě záporná.

Tak když se na ně podíváte,
vyskočí na vás 3 a 8.

3 krát 8 je 24.
3 plus 8 je 11.

Ale to tak úplně nefunguje, že?
Protože my tu máme minus 11.

Ale když vezmeme minus 3 a minus 8?
minus 3 krát minus 8 se rovná 24.

minus 3 plus (minus 8) se rovná minus 11.

Takže minus 3 a minus 8 fungují.

Když rozložíme
x na druhou minus 11x plus 24,

tak se to bude rovnat
(x minus 3) krát (x minus 8).

Udělejme si ještě jeden podobný,
ale ještě ho trošku zamotáme.

Mějme tedy x na druhou plus 5x minus 14.

A máme tu opačnou situaci.

Součin mých dvou čísel je záporný, že?
‚a‘ krát ‚b‘ se rovná minus 14.

Můj součin je záporný.

To mi říká, že jedno z nich je kladné
a jedno z nich je záporné.

A když je sečtu,
tak (a plus b) se má rovnat 5.

Popřemýšlejme o dělitelích 14.

A jaká jejich kombinace, když je sečtu,
a jedno je kladné a druhé záporné,

nebo tady vlastně mluvím
o rozdílu těch dvou čísel, dostanu 5?

Když si vezmu 1 a 14.
Jen tu zkusím pár věcí…

1 a 14, plus 1 a minus 14 je minus 13.
Minus 1 a plus 14 je 13.

Napíšu si všechny kombinace,
které jsou možné.

A snad si to váš mozek prostě roztřídí.

Takže máte minus 1 plus 14 se rovná 13.
A 1 plus minus 14 se rovná -13.

Tak tyhle čísla nefungují.

To se nerovná 5.
Takže co 2 a 7?

Pokud udělám minus 2…
Udělám to jinou barvou.

Když provedu minus 2 plus 7.
To se rovná 5.

Hotovo.
To vyšlo.

Můžeme si ještě zkusit
2 plus (minus 7),

ale to by bylo minus 5,
takže by to bylo špatně.

Ale minus 2 a plus 7 funguje.
A minus 2 krát 7 je minus 14.

Tak to máme.

Víme, že to je (x minus 2) krát (x plus 7)

To je pěkné.

minus 2 krát 7 je minus 14.
minus 2 plus 7 je plus 5.

Udělejme jich víc, abychom
si tuto dovednost opravdu vypilovali.

Řekněme, že máme
x na druhou minus x minus 56.

Takže součin těch
dvou čísel musí být minus 56.

Jeden člen musí
být kladný, a jeden bude záporný, že?

Jejich rozdíl musí být minus 1.

A čísla, která mi okamžitě
vyskočí v hlavě,

...nevím, zda vás to napadne.
Zvyk z dob učení násobilky...

56 je 8 krát 7.

Chci říct, jsou tu i další čísla.
Je to rovněž 28 krát 2.

Je to spousta věcí.

Ale 8 krát 7 mě hned napadnou,
protože jsou velice blízko u sebe.

My potřebujeme čísla,
která jsou velmi blízko u sebe.

Jedno z nich musí být kladné
a jedno z nich musí být záporné.

To, že jejich součet je záporný, mi říká,
že větší z těch dvou by mělo být záporné.

Tedy vezmeme-li minus 8 krát 7,
to se rovná minus 56.

A pak vezmeme-li minus 8 plus 7, to se
rovná minus 1, což je tento koeficient.

Takže když toto rozložím,
tak to bude (x minus 8) krát (x plus 7).

To je často jedna z nejtěžších věcí,
které se lidé učí v algebře,

protože je to tak trochu umění.

Musíte se podívat na
všechny faktory, které máte,

pohrát si s kladnými a zápornými znaménky,
uvidět, který z těch členů,

když je jeden kladný, a druhý záporný,
přičíst ke koeficientu u výrazu s ‚x‘.

Ale když budete dělat
více cvičení, tak uvidíte,

že se to stane tak trochu
druhou přirozeností.

Teď zvýšíme trochu víc náročnost.

Máme záporné x na druhou,

Všechno, co jsme dosud dělali,
mělo kladný koeficient,

kladnou jedničku u výrazu x na druhou.

Ale řekněme, že máme
minus x na druhou minus 5x plus 24.

Jak to uděláme?

Nejjednodušší způsob,
jaký můžeme udělat, je vytknout minus 1,

a tím to bude stejné
jako problémy, co jsme dělali předtím.

Takže tohle je totéž jako

minus 1 krát
(x na druhou plus 5 krát x minus 24).

Je to správně?
Právě jsem vytknul minus 1.

Můžete vynásobit minus 1 všechny tyto
členy, a uvidíte, že dostanete toto.

Nebo byste mohli vytknout minus 1 ven
a podělit všechny tyto minus 1.

A dostanete přesně to, co tam je.
Teď stejná hra jako předtím.

Potřebuji dvě čísla, taková,
že jejich součinem dostanu minus 24.

Takže bude jeden kladný
a jeden bude záporný.

Když si vezmu jejich součet,
tak ten bude 5.

Tak přemýšlejme. 24 je 1 a 24.

Podívejme se, že minus 1 a 24
by byla kladná 23.

Kdyby to bylo naopak, bylo by to minus 23.

Nefunguje.
A co takhle 2 a 12?

Pokud toto je záporné…

Pamatujte, že jeden
z nich musí být záporný.

Je-li záporná 2, tak by
jejich součet byl 10.

Je-li záporné 12, tak by
jejich součet byl minus 10.

Stále to nefunguje.

3 a 8.
Je-li záporné 3, jejich součet bude 5.

Tak to funguje! Pokud
tedy vybereme minus 3 a 8.

Protože minus 3 plus 8 je 5.
Minus 3 krát 8 je minus 24.

Takže to bude rovno…

Nesmím zapomenout, že minus 1 je před
závorkou, a pak jsme rozkládali vnitřek.

Minus 1 krát (x minus 3) krát (x plus 8).

Kdybyste opravdu chtěli,
tak můžete vynásobit minus 1 krát toto,

dostanete 3 minus x,
pokud jste to udělali.

Nebo nemusíte.

Pojďme udělat ještě jeden.
Čím více praxe, tím líp, myslím.

Řekněme, že mám
minus x na druhou plus 18 krát x minus 72.

Já rád vytýkám minus 1.

Takže tohle je rovno minus 1
krát (x na druhou minus 18x plus 72).

Teď se jen musíme
zamyslet nad dvěma čísly,

která pokud je vynásobím,
tak dostanu plus 72.

Musí mít tedy stejná znaménka.

Tím je to snadnější spočítat z hlavy,
alespoň pro mě.

Když je vynásobím, tak mám plus 72.
Když je sečtu, dostanu -18.

Mají stejná znaménka
a jejich součet je záporné číslo,

oba tedy musí být záporné.

A můžeme zkoušet všechny dělitele 72,
ale ten, který vyskočí…

Možná myslíte na 8 krát 9,

ale 8 krát 9, nebo minus 8 minus 9,
nebo minus 8 plus (minus 9), nefunguje.

To je v součtu 17.
To bylo těsné.

Ukážu vám to.
Minus 9 plus (minus 8) se rovná minus 17.

Blízko, ale ne zcela.
Tak co ty ostatní?

Máme 6 a 12.
To vypadá docela dobře.

Pokud budeme mít minus 6 plus minus 12,
tak se to rovná minus 18.

Všimněte si, že je to tak trochu umění.
Musíte vyzkoušet různé dělitele.

Takže tím dostaneme...
...nechci na to zapomenout...

na krát (x minus 6) krát (x minus 12).