Factoring Quadratic Expressions

Factoring Quadratic Expressions

.

في هذا العرض اريد ان اقوم بحل مجموعة من الامثلة عن تحليل

متعدد الحدود من الدرجة الثانية، وهو ما

يسمى ايضاً بالمعادلة التربيعية

في بعض الاوقت تكتب معادلة تربيعية متعددة الحدود، او

معادلة تربيعية فقط، او عبارة تربيعية، لكنها جميعاً تعني

متعدد حدود من الدرجة الثانية

اي شيئ ما يحتوي على متغير مرفوع

للقوة الثانية

في هذه الحالة، في جميع الامثلة التي سنقوم بحلها، سيكون x

لذا دعونا نفترض ان لدي العبارة التربيعية x^2

+ 10x + 9

واريد ان احللها الى حاصل ضرب عبارتان ذات حدين

كيف نفعل ذلك؟

حسناً، دعونا نفكر في ما سيحدث اذا اردنا ان

نأخذ x + a، ونضربه بـ x + b

اذا اردنا ان نضرب هذان الشيئان، ماذا يحدث؟

حسناً، لدينا بعض الخبرة للقيام بذلك

هذا سيكون x × x، اي ما يساوي x^2،
+ x × b

اي bx،
+ (a × x) + (a × b) --اي + ab

او اذا اردنا ان نجمع العبارتان الموجودتان في الوسط

لأن كلاهما معاملات لـ x

يمكننا ان نكتب هذا كالتالي x^2 + --يمكنني ان اكتبها

b + a او a + b--
x + ab

اذاً بشكل عام، اذا افترضنا ان هذا هو حاصل ضرب

ثنائيا الحدود هذه، نرى ان المعامل الاوسط

لعبارة x، او يمكنك ان تقول معامل العبارة من الدرجة الاولى

هذا سيكون عبارة عن مجموع a و b

ومن ثم الثابت سيكون عبارة عن حاصل ضرب

a و b

لاحظوا ان هذا يتصل بهذا، وهذا

يتصل بهذا

وبالطبع، ان هذا يعادل هذا

هل يمكننا ان نماثل هذا وذاك نمطياً؟

هل يوجد a و b بحيث a + b = 10؟

و a × b = 9؟

حسناً، دعونا نفكر بهذا قليلاً

ما هي عوامل الـ 9؟

ماذا يمكن ان تكون قيمة a و b؟

ونحن نفترض ان تكون كلها اعداد صحيحة

وبشكل طبيعي عندما نقوم بالتحليل الى العوامل، بشكل خاص عندما

نبدأ بالتحليل، فنحن نتعامل

مع اعداد صحيحة

ما هي عوامل الـ 9؟

انها 1، 3 و 9

اذاً يمكنه ان يكون 3 و 3، او يمكن ان يكون 1 و 9

الآن، اذا كان 3 و 3، بالتالي يكون لديك 3 + 3 --هذا

لا يساوي 10

لكن اذا كان 1 و 9، فإن 1 × 9 = 9

و 1 + 9 = 10

لقد نجح هذا

اذاً a = 1، و b = 9

ويمكننا ان نحللها لتكون (x + 1)

× (x + 9)

واذا ضربت هاتان، باستخدام المهارات التي

طورناها في العروض الاخيرة، سترى ان هذا

حقاً يساوي x^2 + 10x + 9

عندما ترى شيئ كهذا، عندما يكون معامل

عبارة x^2، او المعامل اللاحق

بالمعادلة التربيعية هو 1، فيمكنك ان تقول، حسناً، ما هما

العددان اللذان مجموعهما يساوي هذا المعامل؟

ما هما العددان

وهما نفس العددان، عندما تأخذ حاصل ضربهما

فيجب ان يساوي 9

وبالطبع، يجب ان تكون بالشكل النموذجي

او اذا لم تكن بالشكل النموذجي، فيجب ان تضعها

بذلك الشكل، لذا يمكنك ان تقول دائماً، حسناص، مهما كان

معامل العبارة من الدرجة الاولى، فإن a و b

يجب ان يكون مجموعهما هذا

مهما كان الثابت لدي، فإن حاصل a × b يجب

ان يكون ذلك

دعونا نقوم بحل المزيد من الامثلة

اعتقد انه كلما قمنا بحل المزيد من الامثلة، كلما

استوعبنا الفكرة بشكل افضل

دعونا نفترض ان لدينا x^2 + 10x + --حسناً

لقد استخدمت 10x بالفعل، لذا دعونا نستخدم عدد مختلف-- x^2

+ 15x + 50

ونريد ان نحللها

حسناً، سنستخدم نفس الفكرة

لدينا عبارة x^2

لدينا عبارة من الدرجة الاولى

هذا يجب ان يكون عبارة عن مجموع عددان

ثم هذه العبارة، اي الثابت

يجب ان يكون عبارة عن مجموع عددان

لذا نحن بحاجة لأن نفكر بعددان عندما نضربهما

نحصل على 50، وعندما نجمعهما، نحصل على 15

وهذا سيكون نوع من الفن الذي تقوم

بتطويره، لكن كلما زادت ممارستك، سترى

انك ستصبح قادراً على الحصول عليه تلقائياً

اذاً ماذا يمكن ان تكون قيم a و b؟

دعونا نفكر بعوامل الـ 50

يمكن ان تكون 1 × 50

2 × 25

دعونا نرى، 50 لا يقبل القسمة على 4

يمكن ان يكون 5 × 10

اعتقد ان هذه هي جميعها

دعونا نجرب هذه الاعداد، ونرى اي

منها يكون مجموعها 15

اذاً 1 + 50 مجموعهما لا يساوي 15

2 + 25 مجموعهما لا يساوي 15

لكن 5 + 10 مجموعهما 15

لذا العددان هما 5 + 10، ويمكن ان يكون 5 × 10

فاذا اردنا ان نحللها، تصبح (x +

5) (x + 10)

ونضربهما

انني اشجعكم على ان تضربوهما، وترون ان هذا

حقاً يساوي x^2 + 15x + 10

في الحقيقة، دعونا نقوم بذلك، x × x = x^2، و x

× 10 = 10x

5 × x = 5x

5 × 10 = 50

لاحظوا، ان 5 × 10 = 50

5x + 10x قد اعطانا 15x الموجود في الوسط

اذاً حصلنا على x^2 + 15x + 50

دعونا نتقدم اكثر، لذا سندخل بعض

الاشارات السالبة هنا

لنفترض ان لدينا x^2 - 11x + 24

الآن، هذا يتبع نفس القاعدة

انني بحاجة لأن افكر بعددان، عندما اجمعهما

يكون الناتج -11

اي ان a + b يجب ان يساوي -11

و a × b يجب ان يساوي 24

الآن، يوجد شيئ ما هنا لتفكروا به

عندما اضرب كل من هذان العددان، سأحصل على

عدد موجب

وهو 24

هذا يعني ان كل منهما يجب ان يكون موجباً، او كلاهما

يجب ان يكونا سالبين

تلك هي الطريقة الوحيدة التي سأحصل بها على عدد موجب هنا

الآن، عندما اجمعهما، سأحصل على عدد سالب، اذا كانا

موجبين، فلا توجد هنالك طريقة تمكنني من ان اجمع عددين موجبين

واحصل على عدد سالب، وبما ان مجموعهما هو

عدد سالب، وبما ان حاصل ضربهما موجب

فإن هذا يخبرني ان كل من a و b سالبين

a و b يجب ان يكونا سالبين

تذكروا، لا يمكن لأحدهما ان يكون سالب والآخر

موجب، لأن حاصل ضربهما سيكون سالب

ولا يمكن ان يكون كلاهما موجبين، لأنه عندما نجمعهما

سيكون الناتج عدد موجب

لذا دعونا نفكر بما يمكن ان تكون قيمة a و b

اذاً عددان سالبان

دعونا نفكر بعوامل الـ 24

وعلينا ان نفكر بالعوامل السالبة

لكن دعوني ارى، يمكن ان يكون 1 × 24، 2 × 11، 3 ×

8، او 4 × 6

الآن، اي من هذه الاعداد عندما اضربها --حسناً

بكل وضوح عندما اضرب 1 × 24، سأحصل على 24

عندما آخذ 2 × 11 --آسف، هذا 2 × 12--

سأحصل على 24

نحن نعلم ان جميع هذا سيكون حاصله 24

لكن اي اثنان منها، اي عاملان، عندما اجمعهما

سأحصل على 11؟

ثم يمكننا ان نقول، دعونا نأخذ

سالب كل منهما

اذاً عندما ننظر الى هذه، سيظهر امامنا 3 و 8

3 × 8 = 24

3 + 8 = 11

لكن هذا لم ينجح تماماً، اليس كذلك؟

لأن لدينا -11 هنا

لكن ماذا لو وضهنا -3 و -8؟

-3 × -8 = موجب 24

-3 + -8 = موجب 11

لقد نجح -3 و -8

اذا حللنا هذه، x^2 - 11x + 24

فإنها تساوي (x - 3) (x - 8)

دعونا نحل واحدة اخرى كهذه

في الواقع، دعوني اخلطها قليلاً

دعونا نفترض ان لدي x^2 + 5x - 14

اذاً لدينا هنا حالة مختلفة

حاصل ضرب العددان سالب، اليس كذلك؟ a × b

= -14

حاصل الضرب سالب

هذا يخبرنا ان واحداً منهما يكون موجب، وواحداً

سالب

وعندما اجمهما، a + b = 5

لذا دعونا نفكر بعوامل 14

وما هي مكوناتهما، التي عندما اجمعها، اذا كان واحداً

موجب وواحداً سالب، او في الحقيقة سآخذ

الفرق بينهما، هل سأحصل على 5؟

فاذا اخذت 1 و 14 --سأجرب الاعداد--

1 و 14، -1 + 14 = -13

-1 + 14 = 13

دعوني اكتب جميع المكونات التي يمكن اخذها

وسوف يقوم دماغك بتقسيمها

اذاً سنحصل على -1 + 14 = 13

و 1 + -14 = -13

اذاً لم ينجح هذان العددان

هذا لا يساوي 5

الآن ماذا بالنسبة لـ 2 و 7؟

اذا اخذت 2 --دعوني اكتب ذلك بلون مختلف-- اذا

اخذت -2 + 7، فإن هذا يساوي 5

لقد انتهينا!

لقد نجح هذا

اعني، انه يمكننا ان نجرب 2 + -7، لكن ذلك

يساوي -5، اذاً لم ينجح هذا

لكن نجح -2 و 7

و -2 × 7 = -14

لقد حصلنا عليه

نحن نعلم انه (x - 2) (x + 7)

هذا متقن

-2 × 7 = -14

-2 + 7 = موجب 5

-2 + 7 = موجب 5

دعونا نقوم بحل المزيد منهم، حتى نكتسب

هذه المهارة

دعونا نفترض ان لدينا x^2 - x - 56

اذاً حاصل ضرب هذان العددان يجب ان يكون 56

يجب ان يكون -56

والفرق بينهما، لأن واحداً سيكون موجب

والآخر سالب، صحيح؟

الفرق بينهما يجب ان يكون -1

والاعداد التي ستخطر ببالي مباشرة

--ولا اعلم اذا كانت قد خطرت ببالكم

لقد تعلمنا ان هذا موجود في جداول الضرب

--56 = 8 × 7

اعني ان هناك اعداد اخرى

انه ايضاً 28 × 2

هناك العديد من الاعداد

لكن 8 × 7 قد خطر ببالي حقاً، لأنهما

قريبان جداً من بعضهما

ونحن بحاجة لأعداد تكون قريبة من بعضها

وواحداً منها يجب ان يكون موجب، والآخر يجب

ان يكون سالب

الآن، عندما يكون مجموعهما سالباً، فإن هذا يخبرني ان

العدد الاكبر من هذان الاثنان يجب ان يكون سالباً

فاذا اخذنا -8 × 7، فإن هذا

يساوي -56

ومن ثم اذا اخذنا -8 + 7، فإن هذا يساوي

-1، وهو هذا المعامل الموجود هنا

عندما اقوم بتحليلها، ستصبح (x - 8)

× (x + 7)

ان هذا غالباً من اكثر المفاهيم صعوبة التي يتعلمها الاشخاص

في الجبر، لأنه نوع من الفن

عليك ان تنظر الى جميع العوامل هنا، تتلاعب

بالاشارات السالبة والموجبة، وترى اي من هذه العوامل

يكون موجباً، واي منها سالب، ويكون مجموعهم مساوياً

لمعامل عبارة x

لكن كلما قمت بحل المزيد من المسائل، سترى ان ذلك

الامر يصبح بديهياً

الآن دعونا نكثف التمارين اكثر

لنفترض ان لدينا -x^2 --كل شيئ قمنا

بحله مؤخراً كان معامله موجباً

معامل عبارة x^2 هو موجب 1

لكن دعونا نفترض ان لدينا -x^2

- 5x + 24

كيف نقوم بحلها؟

حسناً، ان ابسط طريقة يمكنني ان افكر بها هي ان استخرج العامل المشترك

-1، ومن ثم تصبح مشابهة للمسائل

التي قمنا بالتعامل معها سابقاً

اذاً هذا يعادل -1 × (x^2

+ 5x - 24)

اليس كذلك؟

لقد استخرجت الـ -1

يمكنك ان تضرب -1 بهذا كله، وسوف

ترى انها ستصبح كما كانت

او يمكنك ان تستخرج الـ -1 وتقسم جميع

هذا على -1

وستحصل على هذا

الآن، كما فعلنا سابقاً

سنحتاج الى عددين، عندما نضربهما نحصل على

-24

اذاً واحداً منهما سيكون موجب، والآخر سالب

وعندما آخذ مجموعهما

عندما آخذ مجموعهما، سيكون 5

لذا دعونا نفكر بـ 24 وهو عبارة عن 1 و 24

دعونا نرى، اذا كان هذا -1 و 24، فسيكون مجموعهما موجب 23

اذا كان عكس ذلك، فسيكون -23

لم ينجح

ماذا بالنسبة لـ 2 و 12؟

حسناً، اذا كان هذا - --تذكروا، احد هذان العددان يجب ان

يكون سالباً

اذا كان الـ 2 هو العدد السالب، فسيكون مجموعهما 10

اذا كان الـ 12 هو السالب، فإن مجموعهما سيكون -10

لم ينجح ايضاً

3 و 8

اذا كان الـ 3 سالباً، فإن مجموعهما هو 5

اذاً لقد نجح

اذا اخترنا -3 و 8، فإن -3 و 8 سيحققان مطلبنا

لأن -3 + 8 = 5

-3 × 8 = -24

اذاً هذا يساوي --لا يمكن ان انسى انه

يوجد -1 في الخارج، ثم نقوم بتحليل الموجود في الداخل

-1 × (x - 3) (x + 8)

واذا اردت فعلاً، فيمكنك ان تضرب

-1 بهذا، وستحصل على 3

- x

او انك لست مجبراً على القيام بذلك

دعونا نحل واحدة اخرى

دعونا نحل مسألة اخرى على هذا

ان الممارسة الكافية افضل لك، على ما اعتقد

هذا جيد، لنفترض ان لدينا -x^2

+ 18x - 72

مرة اخرى، انني افضل ان استخرج -1

اذاً هذا يساوي -1 × (x^2

- 18x + 72

الآن علينا ان نفكر بعددين، عندما

اضربهما احصل على موجب 72

اذاً ستكون اشاراتهما متشابهة

وهذا ما يجعلها بسيطة، على الاقل حتى اقوم بذلك ذهنياً

عندما اضربهما، احصل على 72

وعندما اجمعهما، احصل على -18

اذاً لهما الاشارة نفسها، ومجموعهما يكون

عدد سالب، اذاً يجب ان يكون كلاهما سالبان

كلاهما سالبان

ويمكننا ان نتناول جميع عوامل الـ 72

لكن ما سيخطر ببالكم، ربما 8 × 9

لكن 8 × 9، او -8 - 9، او -8 +

-9، لا ينجحان

لأن مجموعهما هو 17

كان ذلك قريباً

دعوني اوضح لكم ذلك

-9 + -8 = -17

قريب جداً، لكن ليس ما هو مطلوب

ما هي العوامل الاخرى؟

لدينا 6 و 12

ان هذا يبدو جيداً

اذا كان لدينا -6 + -12، فإن هذا يساوي

-18

لاحظوا، انه فن

عليك ان تجرب العوامل المختلفة هنا

اذاً تصبح -1 --لا تنسى

ذلك-- × (x - 6) (x - 12)

.