Statystyka: Średnia z próby vs populacji

Różnica pomiędzy średnią z próby i populacji.

Na końcu poprzedniego filmu powiedziałem,

że będziemy mówić o miarach rozproszenia lub tego jak wartości są rozdystrybuowane,

zanim jednak przejdziemy do tego zagadnienia,

zdałem sobie sprawę, że chciałbym opowiedzieć jeszcze więcej o średniej.

I zanim do tego przejdę, chciałbym wprowadzić rozróżnienie

pomiędzy próbą a populacją.

Musnąłem jedynie ten temat w poprzednim filmie.

Załóżmy, że chcę wiedzieć jaka jest

średnia wysokość

wszystkich mężczyzn w Ameryce, dobrze?

Stwórzmy sobie więc zbiór wszystkich mężczyzn w Ameryce.

To są wszyscy mężczyźni w Ameryce.

Wiem, że w USA mieszka 300 milionów ludzi

i prawdopodobnie połowa z nich to mężczyźni,

daje to łącznie 150 milionów mężczyzn, prawda?

Graniczyłoby z niemożliwością, nawet jeżeli bardzo bym się starał,

by zmierzyć średnią wysokość

wszystkich mężczyzn w Ameryce.

W zasadzie, co parę sekund jeden z tych mężczyzn

się rodzi, jakiś inny umiera.

Czyli w momencie, gdy skończyłbym mierzyć wszystkich,

ktoś by umarł i wielu nowych mężczyzn

by się urodziło, więc jest to praktycznie niemożliwe.

Nawet jeżeli nie jest to niemożliwe, to bardzo czasochłonne

jest zmierzenie średniej arytmetycznej, mediany czy też dominanty

całej tej populacji, prawda?

Najlepszym sposobem na otrzymanie prawdopodobnego wyniku,

ponieważ zależy nam na obliczeniu średniej dla całej populacji,

jest ustalenie średniej na podstawie próbki populacji.

Mogę wybrać mniejszą grupę osobników z populacji --

będę starał się dobierać ją w sposób losowy.

Nie chciałbym -- mam nadzieję, że moja próbka

nie będzie składać się głównie z mojej szkolnej drużyny koszykówki,

ponieważ taka próbka zawyżyłaby wartość średnią. Będę próbował wybierać losowe osoby

w losowych sytuacjach, gdzie wiem że ich wysokość

nie będzie grała znaczącej roli.

Jeżeli pozbieram 10 wysokości --

im więcej wysokości pozbieram tym próbka będzie

lepiej opisywała ogół populacji -- ale powiedzmy, że zbiorę 10 różnych wysokości

i będą one równe:

5 stóp, 6 stóp, 5.5 stopy,

5.75 stopy, powiedzmy że 6 wysokości wystarczy,

czyli jest dodajmy jeszcze wysokość 6.5 stopy, dobrze?

To jest pięć osób, które wybrałem. Możemy teraz zastanowić się

nad różnymi sposobami wyciągania próbek dobrze reprezentujących całą populacje,

tak żeby nie były przechylone w którąkolwiek ze stron.

Niemniej jednak, jeżeli chciałbym orientacyjnie poznać średnią

i byłbym trochę leniwy, tak leniwy że dokonałem jedynie 5 pomiarów,

to zrobiłbym to właśnie w ten sposób.

To byłaby moja próba.

Próba populacji.

Załóżmy, że chciałem obliczyć wartość średnią

za pomocą średniej arytmetycznej.

Zamiast obliczać średnią arytmetyczną z całej tej grupy

150 milionów osób, mogę radośnie sobie

obliczyć wartość średnią dla tej próbki i będzie to,

średnia próby.

Chciałbym zapoznać was z obowiązującą w tym temacie notacją.

W języku statystyki, średnia to "mi", litera greckiego alfabetu,

która z czasem dała początek dobrze znanej literze "m",

oznacza wartość średnią populacji,

to jest oczywiscie tylko konwencja, wartość średnia populacji.

X z kreską, odpowiada wartości średniej próby.

To są tylko notacje, z którymi możecie się spotkać,

bez tego można się czuć nieco zdezorientowanym,

gdy ludzie mówiąc o średnich czasem zapisują "mi"

a czasem X z kreską,

warto wiedzieć jaka jest między nimi różnica.

Tutaj ma się na myśli średnią próbki populacji,

a tutaj chodzi o średnią wartość

całej populacji.

Sposób obliczania jest zasadniczo taki sam.

Jeżeli chcemy obliczyć średnią populacji,

pytamy 150 milionów osób w jednym momencie o wzrost,

sumujemy ich wysokości i dzielimy przez 150 milionów,

by uzyskać średnią populacji.

W średniej próby, dodajemy jedynie wysokości w naszej próbce

i dzielimy przez ilość punktów pomiarowych w niej znajdujących.

Wzory, które chce wam pokazać,

oczywiście potraficie obliczyć średnią arytmetyczną,

jest to bardzo prosta operacja, ale chcę pokazać

jak często bywa zapisywana w książkach statystycznych,

tak żebyście nie czuli się onieśmieleni, gdy zobaczycie formalny zapis.

Średnia populacji będzie zapisywana jako --

tak żebyście znali konwencję.

Każdy element -- zacznijmy najpierw od próby.

Każdy element próby, powiedzmy że ten jest pierwszy.

To jest x z 1 w indeksie dolnym.

To jest x z 2 w indeksie dolnym.

To jest x z 3 w indeksie dolnym, x z 4 w indeksie dolnym,

x z 5 w indeksie dolnym, prawda?

To jest po prostu sposób na odnoszenie się do

poszczególnych elementów próby.

Co trzeba zrobić by obliczyć średnią próby?

Sumujemy te wszystkie liczby.

Oczywiście wiecie jak to się robi, ale jest bardziej formalny sposób

zapisania sumowania, zapisujemy dużą sigmę.

Oznacza ona sumę.

Suma po każdym x z n w indeksie dolnym, prawda?

Bierzemy sumę po każdej z tych liczb, prawda?

To jest x z 1 w indeksie dolnym, x z 2 w indeksie dolnym, gdzie n jest jest równe od 1 do

rozmiaru próby.

Oczywiście próba może być większa lub mniejsza, w tym przypadku będzie to 5,

na górze sumy możemy również spotkać się z małym "n".

i dzielimy przez ilość elementów,

które znalazły się w próbce, więc dzielimy przez n.

Gdy widzimy taki zapis w książce, to wygląda

jak niesamowicie zaawansowana matematyka.

Ale chodzi o sumę wszystkich punktów pomiarowych,

sumę liczb i podzielenie

przez ilość punktów pomiarowych.

Dla tego przypadku to będzie 5+ 5 + 5.5 + 5.75

+ 6.5 podzielone przez 5.

To właśnie mówi nam ten wzór.

Do obliczenia średniej populacji robimy to samo.

Używa się jedynie nieco innej notacji.

Średnia populacji jest równa sumie od n równego 1 do

dużego N -- i wytłumaczę dlaczego zapisuje się duże N --

każdy z punktów pomiarowych w populacji, nie tylko w próbie,

jest podzielony przez duże N.

Duże N pojawia się gdy mówimy o dużych liczbach,

mamy wtedy na myśli 150 milionów.

Zapisujemy w ten sposób gdy chcemy podkreślić, że liczymy

wszystkie elementy w populacji.

Następnie dzielimy przez wielkość

całej populacji.

W momencie, gdy mamy małe n, przez konwencję

notacja chce zasugerować nam,

że chodzi o mniejszą liczbę elementów, a nie całą populację.

Ale sposób ich obliczania

jest zasadniczo ten sam.

Zostawię wam chwilę do przemyślenia,

ponieważ jeżeli nie zrozumiecie tego na samym początku,

tej całkiem prostej idei -- to z czasem może okazać się kłopotliwe,

gdy ktoś będzie chciał rozróżnić pomiędzy

średnią próby i populacji.

Również te formuły są zapisane nieco inaczej.

Czasem widzimy mi, a czasem

x z kreską, oznaczające średnią próby.

Do zobaczenia w następnym filmie.