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直观识别比例关系

  • 0:00 - 0:01
    - [画外音] X与Y之间
  • 0:01 - 0:04
    有三种不同的关系
  • 0:04 - 0:05
    我要思考的是
  • 0:05 - 0:08
    其中哪些是比例关系
  • 0:08 - 0:09
    然后我要做图来看看
  • 0:09 - 0:11
    我们能不能从图上直观看出
  • 0:11 - 0:13
    它们是否成比例关系
  • 0:13 - 0:15
    提醒一下
  • 0:15 - 0:16
    比例关系指的是
  • 0:16 - 0:18
    两个变量
  • 0:18 - 0:21
    Y和X之间的比率
  • 0:21 - 0:22
    也可以反过来
  • 0:22 - 0:23
    X和Y
  • 0:23 - 0:25
    之间的比率
  • 0:25 - 0:28
    总是一个定值，是一个常数
  • 0:28 - 0:30
    或者你可以换一种写法
  • 0:30 - 0:32
    让方程两边
  • 0:32 - 0:33
    同时乘以X
  • 0:33 - 0:35
    你就可以说，在一个比例关系里
  • 0:35 - 0:40
    Y总是等于X乘以某个常数
  • 0:40 - 0:41
    这样改写以后
  • 0:41 - 0:43
    我们再来看这三个函数关系
  • 0:43 - 0:45
    这一个
  • 0:45 - 0:47
    让我再画一列
  • 0:47 - 0:50
    另一列
  • 0:50 - 0:53
    我把这一列叫做Y/X比率
  • 0:53 - 0:54
    我要试着找出
  • 0:54 - 0:56
    每一对变量的比率
  • 0:56 - 0:58
    对第一对来说
  • 0:58 - 1:00
    X=1时，Y=1.5
  • 1:00 - 1:03
    所以这一对的比率是1.5/1
  • 1:03 - 1:04
    1.5/1
  • 1:04 - 1:06
    就等于1.5
  • 1:06 - 1:08
    当X=4时，Y=2，它们的比率
  • 1:08 - 1:12
    就是2/4，也就是1/2
  • 1:13 - 1:15
    当X=-2时，Y=-1
  • 1:15 - 1:18
    比率就是-1/-2
  • 1:18 - 1:21
    也就是1/2
  • 1:21 - 1:22
    所以至少从我们取的
  • 1:22 - 1:24
    这三个点来看
  • 1:24 - 1:29
    Y和X的比率总是1/2
  • 1:29 - 1:31
    这种情况下，K=1/2
  • 1:31 - 1:35
    我们可以把它写成Y/X=1/2
  • 1:35 - 1:37
    或者至少我们取的三个点的变量比率
  • 1:37 - 1:39
    始终是相等的
  • 1:39 - 1:41
    也就是X和Y之间的比率关系是相等的
  • 1:41 - 1:43
    如果想改写这个函数关系
  • 1:43 - 1:47
    你可以把它写成Y=1/2X
  • 1:47 - 1:50
    我们来做图
  • 1:50 - 1:53
    当X=1时，Y=1/2
  • 1:53 - 1:56
    当X=4时，Y=2
  • 1:56 - 2:00
    当X=-2时，Y=-1
  • 2:00 - 2:01
    我没有标出来-1的位置
  • 2:01 - 2:03
    应该在这里
  • 2:03 - 2:05
    如果我们说这三个点
  • 2:05 - 2:07
    代表了整个函数关系
  • 2:07 - 2:10
    这个函数就是Y=1/2X
  • 2:10 - 2:13
    这条线
  • 2:13 - 2:15
    或者说这些点的结合就代表了
  • 2:15 - 2:20
    所有可能的X-Y值组成的对，应该是一条直线
  • 2:20 - 2:24
    它应该是通过原点的一条直线
  • 2:24 - 2:27
    因为你看，如果X=0，1/2✖️0
  • 2:27 - 2:30
    就等于Y，就是0
  • 2:30 - 2:32
    让我们来思考它的特征
  • 2:32 - 2:34
    首先，它是一条直线
  • 2:34 - 2:37
    这是一条直线
  • 2:37 - 2:39
    是线性关系
  • 2:39 - 2:41
    它也应该经过原点
  • 2:41 - 2:43
    经过原点这一点是有道理的
  • 2:43 - 2:45
    因为在一个比例关系中
  • 2:45 - 2:46
    实际上看这里
  • 2:46 - 2:49
    0/0，这是一个不定式
  • 2:49 - 2:51
    然后这个看起来有一点奇怪
  • 2:51 - 2:52
    但是当你看这边时
  • 2:52 - 2:55
    如果X=0，把它乘以一个常数
  • 2:55 - 2:57
    Y肯定也等于0
  • 2:57 - 2:59
    所以，对于任何比例关系
  • 2:59 - 3:02
    当把X=0包括进去时
  • 3:02 - 3:05
    Y也必须等于0
  • 3:05 - 3:07
    所以如果对它做图
  • 3:07 - 3:11
    它肯定是一条通过原点的直线
  • 3:11 - 3:14
    这条直线肯定经过原点
  • 3:14 - 3:15
    所以这是一个比例关系
  • 3:15 - 3:18
    这条直线代表了它的图像
  • 3:18 - 3:20
    并且经过原点
  • 3:20 - 3:21
    现在我们来看这边这个
  • 3:21 - 3:23
    这个蓝色的
  • 3:23 - 3:25
    我们来想想它是不是比例关系
  • 3:25 - 3:26
    我们可以做同样的测试
  • 3:26 - 3:29
    来计算Y/X的
  • 3:29 - 3:31
    比率
  • 3:31 - 3:33
    我们来看看
  • 3:33 - 3:34
    第一个点，比率是3/1
  • 3:34 - 3:36
    也就是3
  • 3:36 - 3:39
    第二个是5/2
  • 3:39 - 3:40
    5/2
  • 3:40 - 3:44
    5/2并不等于3
  • 3:44 - 3:47
    我们已经知道这个不是比例关系了
  • 3:47 - 3:50
    不成比例
  • 3:50 - 3:53
    我们甚至都不需要
  • 3:53 - 3:55
    看第三个点
  • 3:55 - 3:57
    如果真的去看，Y/X的比率
  • 3:57 - 3:59
    是-1/-1
  • 3:59 - 4:00
    也就是1
  • 4:00 - 4:02
    我们来做做图
  • 4:02 - 4:03
    看是什么样的图像
  • 4:03 - 4:04
    当X=1时，Y=3
  • 4:04 - 4:08
    当X=1时，Y=3
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    当X=2时，Y=5
  • 4:10 - 4:14
    X=2，Y=5
  • 4:14 - 4:18
    当X=-1时，Y=-1
  • 4:18 - 4:23
    X=-1，Y=-1
  • 4:23 - 4:24
    我忘记了在这里做标记
  • 4:24 - 4:26
    就在这里
  • 4:26 - 4:27
    我们如果说
  • 4:27 - 4:29
    不妨来验证一下
  • 4:29 - 4:32
    或许这三个点能形成一条直线
  • 4:32 - 4:33
    因为看起来我是可以
  • 4:33 - 4:35
    把它们连成一条直线的
  • 4:35 - 4:37
    然后这条直线看起来是这样
  • 4:37 - 4:44
    就是这样
  • 4:44 - 4:46
    注意，它是线性的
  • 4:46 - 4:49
    就是这边这一条
  • 4:49 - 4:52
    但是它并不经过原点
  • 4:52 - 4:54
    如果只是直观的看它们的关系
  • 4:54 - 4:56
    线性是对的，但是它需要
  • 4:56 - 5:00
    经过原点，才能是比例关系
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    你从这里可以看出来
  • 5:01 - 5:02
    这是线性关系
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    或者至少取的这三个点
  • 5:05 - 5:07
    之间是线性关系
  • 5:07 - 5:10
    但是图像并没有经过原点
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    我们看这里，看这个比率
  • 5:12 - 5:14
    这个确实不是比例关系
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    所以这个不是
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    现在我们来看这边这个
  • 5:18 - 5:22
    看看这个是什么样的
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    我来看看Y/X的
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    比率
  • 5:27 - 5:29
    对于第一个点来说，1/1
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    然后我们有4/2
  • 5:31 - 5:33
    我们可以立刻看出这不是比例关系
  • 5:33 - 5:36
    然后9/3，就等于3
  • 5:36 - 5:38
    很明显这不是一个常数
  • 5:38 - 5:40
    我们不总是有同样的比率值
  • 5:40 - 5:45
    所以这个不是比例关系
  • 5:45 - 5:47
    不成比例
  • 5:47 - 5:49
    我们还是把它的图像做出来
  • 5:49 - 5:52
    当X=1时，Y=1
  • 5:52 - 5:54
    当X=2，Y=4
  • 5:54 - 5:55
    这个实际上看起来
  • 5:55 - 6:00
    Y=X^2
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    当X=3时，Y=9
  • 6:02 - 6:04
    至少这三个点符合这个关系
  • 6:04 - 6:09
    1，3，4，5，6，7，8，9
  • 6:09 - 6:11
    看上去很像
  • 6:11 - 6:13
    所以，如果真是这样
  • 6:13 - 6:15
    这些点是从Y=X^2上取的点
  • 6:15 - 6:19
    那么当X=0时，Y也等于0
  • 6:19 - 6:20
    这个通过原点
  • 6:20 - 6:22
    但是注意，它不是一条直线
  • 6:22 - 6:25
    不是线性关系
  • 6:25 - 6:28
    这里的图像是Y=X^2
  • 6:28 - 6:31
    这个也不是比例关系
  • 6:31 - 6:33
    再说一次，这三个点
  • 6:33 - 6:36
    很可能是从Y=1/2X上取的点
  • 6:36 - 6:39
    这三个点
  • 6:39 - 6:42
    可能是从
  • 6:42 - 6:45
    一条直线
  • 6:45 - 6:49
    Y=2X+1
  • 6:49 - 6:50
    所以这不是一个线性关系
  • 6:50 - 6:52
    但是它不通过原点
  • 6:52 - 6:54
    所以不是比例关系
  • 6:54 - 6:57
    这三个点看起来很像是从
  • 6:57 - 6:58
    Y=X^2上取的点
  • 6:58 - 7:00
    它经过原点
  • 7:00 - 7:01
    当X=0时，Y=0
  • 7:01 - 7:04
    但这不是线性关系
  • 7:04 - 7:05
    不管怎样看它
  • 7:05 - 7:07
    直观地去看
  • 7:07 - 7:09
    它必须时一条经过原点的直线
  • 7:09 - 7:11
    或者如果看变量的值，它们的比率
  • 7:11 - 7:14
    必须始终相等
  • 7:14 - 7:16
    只有紫红色这个
  • 7:16 - 7:17
    符合条件
Title:
直观识别比例关系
Description:

学习如何通过做图找出比例关系。关键点：比例关系的图像应该是一条经过原点的直线。

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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
07:19

Chinese, Simplified subtitles

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