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No último vídeo, vimos que se um campo vetorial pode
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ser escrito como o gradiente de um campo escalar -- ou dito de outro modo,
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isso seria igual à derivada parcial da função
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da função F em relação a x, vezes "i", mais a derivada parcial de F, nosso
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campo escalar, com respeito a y, vezes "j"; e estou escrevendo
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de diferentes maneiras para que você se lembre do que é o gradiente
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-- mas nos vimos que se nosso campo vetorial é o gradiente de
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uma função escalar, então nós a chamamos de conservativa.
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Então isso nos define que f é um campo vetorial conservativo.
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E isso também nos diz - e isso foi a grande novidade no
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último vídeo - que a integral de linha de f entre dois
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pontos -- deixe-me desenhar dois pontos aqui; então desenhemos as
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coordenadas tal que se determine que estamos no plano XY.
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Meu eixos: eixo-X, eixo-y.
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Digamos agora que eu tenha um ponto, eu tenho esse ponto e aquele ponto,
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e eu tenho dois diferentes caminhos entre esses dois pontos.
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Então eu tenho um caminho 1, que faz algo assim,
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eu chamo esse caminho de c1, e ele vai naquela direção.
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E então eu tenho, em um tom diferente de verde,
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o caminho c2 que vai dessa maneira.
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Ambas começam aqui e vão para lá.
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Aprendemos no último vídeo que a integral de linha
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é independente do caminho entre quaisquer dois pontos.
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Então nesse caso a integral de linha ao longo de c1 do produto interno de f com dr
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será igual a integral de linha de c2, sobre
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o caminho c2, do produto interno de f com dr. A linha, se temos um potencial
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em uma determinada região, e pode ser qualquer região, então a
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integral de linha entre quaisquer dois pontos é independente do caminho.
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Isso é a beleza de um campo conservativo!
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Agroa o que pretendo fazer nesse vídeo é uma pequena
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extensão da novidade do último vídeo.
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Na verdade é uma extensão bem importante;
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talvez já seja algo óbvio para você.
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Já escrevi isso aqui; posso rearranjar
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essa equação mais um pouco.
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Então façamos isso.
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Deixe rearranjar isso...
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vou apenas reescrever isso em laranja.
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Então a integral de linha no caminho c1 do produto interno de f com dr, menos -- vou apenas
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subtrair isso de ambos os lados -- menos a integral de linha no caminho c2
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do produto interno de f com dr, será igual a zero.
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Tudo que fiz foi tomar isso emprestado do último vídeo e
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depois subtrair isso de ambos os lados.
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Agora, aprendemos a muitos vídeos atrás que se estamos lidando com
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uma integral de linha de um campo vetorial -- não com um campo escalar --
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mas com um campo vetorial, a direção do
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caminho é muito importante.
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Aprendemos que a integral de linha sobre, digamos, c2
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do produto interno de f com dr, é igual ao negativo da integral de linha de menos c2
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do produto interno de f com dr, onde denotamos "menos c2" como o mesmo caminho
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que c2, mas orientado na direção contrária.
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Então por exemplo, eu escreveria menos c2 dessa maneira
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-- deixe-me usa routra cor -- tal que digamos que isso é o menos c2
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seria um caminha exatamental tal como c2 -- irei chamar isso
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de menos c2 -- mas ao invés de ir naquela direção, vou agora
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seguir essa outra direção.
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Então ignore as sejas antigas de c2.
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Estamos agora começando aqui e indo de volta para ali
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Tal que isso é menos c2.
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Ou podemos escrever, podemos colocar aqui o menos no outro lado
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e podemos dizer que o negativo da integral de linha c2
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ao longo do caminho c2, do produto interno de f com dr, é igual a
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integral de linha sob o caminho inverso. Tudo que fiz
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foi trocar o negativo no outro lado; multiplicando
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ambos os lado por -1.
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Então vamos trocar -- nessa equação nos temos o menos do
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caminho c2; nos temos aquilo logo aqui, e aquilo logo aqui
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então podemos apenas substituir isso com
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isso logo aqui.
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Entao façamos isso.
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Então escrevo essa primeira parte primeiro.
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Logo a integral ao longo da curva c1 do prod. interno de f com dr, ao invés de
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tomar o menos da integral de linha ao longo de c2, irei tomar
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a soma (positiva) da integral ao longo do caminho "menos c2".
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Isso -- deixe-me trocar para o verde -- isso nos estabelecemos
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ser o mesmo que isso.
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O negativo dessa curva, ou a integral de linha ao longo desse caminho
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é o mesmo que a integral de linha, a integral de linha positiva,
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ao longo do caminho reverso.
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Então diremos que a soma com a integral de caminho ao longo de "menos c2"
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do produto interno de f com dr, é igual a zero.
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Agora temos algo interessante.
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Olhemos para o que significa a combinação do caminho c1
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com o caminho "menos c2".
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c1 começa por aqui.
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Deixe-me escolher uma cor mais vibrante.
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c1 começa por aqui nesse ponto.
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e move-se desse ponto em diante pela curva c1 e
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acaba aqui nesse ponto.
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E então fazemos o caminho "menos c2".
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"Menos c2" começa nesse ponto e simplesmente continua fazendo a volta
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ao ponto original; o que completa uma volta fechada.
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Então isso é uma integral de linha fechada.
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Então se você combina isso, podemos reescrever isso...
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Lembre, isso é apenas uma curva fechada.
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Ao reverter isso, ao invés de termos dois caras começando aqui
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e indo para lá, eu posso agora começar aqui, ir todo o caminho
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e então voltar novamente por esse
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caminho reverso de c2.
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Então isso é equivalente a uma integral de linha fechada.
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Tal que isso é a mesma coisa que a integral ao longo de um caminho fechado.
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Quero dizerm poderíamos chamar o caminho fechado, talvez, de
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c1 menos c2, se quisermos ser detalhistas a respeito
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do caminho fechado.
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Mas, como eu desenhei c1 e c2, ou "menos c2", arbitrariamente,
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isso poderia ser qualquer caminho fechado onde nosso campo vetorial f
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tem um potencial, ou onde ele é o gradiente de um campo escalar,
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ou onde ele é conervativo.
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E isso pode ser escrito como um caminho fechado de c1 mais
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o inverso de c2, do prod. interno de f com dr. Isso é apenas uma reescrita daquilo,
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tal que isso ainda será igual a zero.
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E isso é a novidade para esse vídeo.
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Ou seja, você pode ver isso como um corolário.
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É um tipo de consequência que se pode tirar
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depois dessa conclusão.
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Então agora sabemos que se temos um campo vetorial que é
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o gradiente de um campo escalar em alguma região, ou talvez sobre
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o plano xy inteiro -- e isso é chamado de potencial de f;
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isso é uma função potencial.
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Na maoria das vezes será o negativo dela, mas é fácil
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mexer com os negativos -- mas se temos um campo vetorial que é
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o gradiente de um campo escalar, podemos chamar isso de um
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campo vetorial conservativo.
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Isso nos conta que em qualquer ponto da região onde isso é válido
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a integral de linha de um ponto a outro
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é independente do caminho; isso é o que aprendemos
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no último vídeo.
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E por causa disso, dada uma integral de linha fechada,
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tal que se tomarmos outro lugar, isso é, se tomarmos
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qualquer outra integral de linha fechada, ou tomarmos a integral de linha
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do campo vetorial sob qualquer caminho fechado, isso retornará zero, porque
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é independente do caminho.
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Então essa é a novidade aqui: se você sabe que
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o campo é conservativo, se você alguma vez bate o olho em algo assim:
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se você vê esse produto interno de f com dr e alguém lhe pede para calcular
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essa integral, dado que f seja conservativo, ou dado que f
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é o gradiente de uma outra função, ou dado que f é
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independente do caminho, você pode imediatamente dizer,
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que isso dará zero, o que simplifica a matemática um tanto quanto.
