쌍곡선의 삼각 함수와 단위 쌍곡선

가설이 세워진 쌍곡선의 삼각 함수를 이해하고, 단위 쌍곡선을 보여주고 그리고 가설이 세워진 함수가 단위 쌍곡선과 일치한다는 것을 보여준다.

x^2 + y^2 = 1인 X,Y 평면에서

만약 우리가 모든 점을 갖게 된다면

우리는 단위원을 갖게 된다는 것을 안다.

내가 단위원을 그려 보겠다.

저것은 Y축이고, 이것은 X축이다.

그리고 단위원은 반지름과 함께 원을 갖고 있다.

그래서 저것은x=1, 저것은 x=-1, 저것은 y=1, 저것은 y=-1 이다.

단위원은 무언가 처럼 보인다...내가 그려보겠다...

이것처럼, 나는 너가 점을 얻었을 것이라고 생각하는데

내가 조금 더 좋게 채워볼 수 있는지 보자.

그래서 너는 이것이 점으로 된 원이 아니라는 것을 깨닫는다.

여기.

저것은 단위원을 그리는데 있어서 나의 가장 좋은 시도이다.

그리고 우리는 또한 전통적인 삼각 함수를 알거나

또는 아마도 우리는 그것들을 원 삼각 함수라고 불러야 될 수도 있고

그것들은 사실 정의되어있는데

만약 너가 매개변수할 때 너가 x=cos t 을 얻으려고 했을때

그리고 y=sin t 와

그리고 너는 여기에 있는 아무 t 를 고르고

정의에 의해서 그것을 단위원에 놓기 위해서이다.

정의에 따르면 x^2 + y^2 = 1 인데

만약 너가 아무 t 를 고른다면 그것은 단위원의

어느 곳에 놓이게 될 것이다.

또는 다른 방법은

만약 너가 t를 변하게 한다면 그것은 이 원 밖에서 그려질 것이다.

우리는 t 가 플러스 X 축과 함께 각과 일치한다는 것을 아는데

이 경우에는

바로 저기에 있는 것이 t이다.

이제 그것은 정돈되지 않을 수 없는데 만약

저기에 단위원이 아닌 비슷한 등비가 있다면

그러면 무언가를 우리가 단위 쌍곡선이라 불러도 될까?

그래서 저것은 바로 저기 삼각법의 우리의 작은 복습이다.

우리의 전통적인 삼각법은,

이제 단위 쌍곡선을 생각해보자.

x^2 + y^2 = 1은 단위원이고, 저것을 x^2 + y^2 = 1라고 할 것이고,

나는 이것을 단위 쌍곡선이라 부를 것이다.

또는 단위 직각 쌍곡선이라 부를 것이다. _ 쌍곡선_.

이것은 단지 원뿔곡선의 작은 복습인데

하지만 이 무언가처럼 보일 것이다.

이것은 무언가처럼 보일 것인데 ... 저것은 나의 Y축이고

이것은 나의 X 축이고, 그리고 나서 우리는 말할 수 있는데,

만약 y가 0이라면 x는 ±1이 될 것이고

그러므로 너는 저것을 단위 부분이라고 생각할 수도 있는데

그것이 X축을 교차하면 저것은 +1이고, 저것은 -1이고

그것은 점근선을 가지고 있는데 , y=x 와 y=-x 이다.

우리는 원뿔 곡선 영상에서 직관을 살펴볼 것이고,

y=x 는 저 점으로 된 선이고

바로 저기에 y=-x 는 저 점으로 된 선이고

그리고 이것은 이것처럼 보이게 될 것이다.

이것은 이것처럼 하는 반으로 했을 때 오른쪽을 가지게 될 것이고

이것은 이 무언가처럼 하는데,

원뿔 곡선의 모든 복습으로 그것은 그것의 점근선에 점점 가까이 다가간다.

y=x 또는 y=-x 로

그리고 왼쪽 면도 같다.

이것은 저 무언가 처럼 하게 될 것이다.

그것은 정돈되지 않을 수 없는데

만약 우리가 x와 y 를 유사 함수와 함께 매개변수를 할 수 있다면

비슷한 종류의 법칙을 얻을까?

그리고 너는 저 함수들이 무엇인지 궁금해할 수 도 있는데

하지만 그것을 입증하기 위해서 시도해보자.

만약 x가 우리의 t의 쌍곡코사인과 동등하다면

e^t + e^(-t) 와 같은 것, 저것의 모든 것 나누기 2

그리고 y가 쌍곡 사인 t 와 동등한데,

그것이 e^t - e^(-t) 나누기 2 와 동등하다면

무슨 일이 일어날까?

만약 여기에 등비가 있었더라면 정돈되지 않을 수 없는데

여기에 너는 원형 삼각 함수에 기반을 둔 아무 t를 고르고

너는 단위원에 있는 점 하나로 끝난다.

만약 우리의 점으로 끝낸 아무 점 t로

우리가 우리의 단위 쌍곡선이라 부르는 것이

멋지지 않을까?

저것이 사실이기 위해서

이 매개변수화 x^2 - y^2 는 이것과 동등해야 된다.

저것이 사실인지 한번 보자!

그래서 x^2 - y^2 은, 공정한 거래를 해보자

이것은 e^(2t) 더하기

이것들의 두가지 곱의 두곱인 2e^t • e^(-t),

이것은 1인 e^0 이다.

더하기 e^(-2t), e^(-t)^2 , 모든 것 나누기 4

그리고 나서 우리는 y^2 을 뺄 것이다.

빼기, 그래서 분자는 e^(2t) - 2e^t • e^(-t) + e^(-2t) 이 될 것이고

저것의 모든 것 나누기 4.

그래서 즉시 여기에 두개의 간소화가 있다.

e^t • e^(-t)은 e^(t-t) 인데

e^0 과 같고 e^0은 1 과 같다.

이것은 1이 될 것이고, 저것도 1이 될 것인데

그래서 우리는 이런 경우들에서 2를 가지게 될 것이고

우리가 단순화 하려 했다면

여기에 있는 모든 것들로 분자로 만들 것이고,

이것은 4인 우리의[분모] 로 나누어진

e^(2t) + 2 + e^(-2t) - e^(2t) 과 같아질 것이고

단지 마이너스 기호를 분배하는 것이다.

더하기 2 그리고 빼기 e^(-2t)

이것은 편리하다!

(나는 보기 어려운 색깔인 검정색으로 쓰고 있었다.)

이것은 이것으로 약분되고

이것과 이것은 또한 더하면 0 이 되고

너는 2 더하기 2 나누기 4 가 남는데

이것은 물론 1과 같다!

그래서 이것은 이 두가지 함수를 쌍곡선 삼각 함수라고 부르기에

꽤 좋은 이유이다.

이것들은 원형 삼각 함수이고

너는 나에게 이 매개변수화에 t를 주었고

우리는 단위원에서 끝난다!

너는 t를 변화를 주고, 너는 단위원을 그린다.

여기에, t로 우리는 실수를 다루고 있다는 것을

추정할 것인데

t로 우리는

바로 여기 있는 단위 쌍곡선을 끝낼 것인데

그리고 특히 우리는 오른쪽 것을 끝낼 것이다.

그래서 그것은 정확하진 않은데... 여기에 꽤 많은 이 점들은

여기에 매개변수 될 수 있는데

여기 우리는 단위 원의 오른 쪽에 있는

점을 끝낼 것이다.

이것이 오른쪽인 이유는

너가 코사인 t의 정의로 해결한다면

이것은 오직 플러스만 될 것인데

이것은 오직 플러스만 될 것이다.

e^t 은 오직 플러스만 될 수 있고, e^-t 도 오직 플러스만 될 수 있으므로

이것은 오직 플러스만 될 것이다.

하지만 아무 t 를 준다면 너는 이 쌍곡선을 끝내게 될 것이다!

분명히 오른쪽은

만약 너가 왼쪽에서 점을 원한다면

너는 코사인 t 와 사인 t 가 필요한데

바로 여기에서 끝내기 위해서이다.

하지만 이것은 꽤 정돈된 등비이다.

우리는 오일러의 항등 함수를 보고 있고

우리는 "이것들로 노는 것을 시작하자!" 라고 말했을 것이다.

여기에 유사성이 있는데

만약 우리가 i 를 없앨려고 했다면 갑자기 우리는 다른 것을 발견했을 것이다!

저기에 있는 것은 이 관계이고

여기에 이 삼각함수들 사이에 이런 관계가 있고

그리고 단위원은, 여기 우리의 새롭게 정의된 쌍곡 삼각함수와

단위 쌍곡선 사이에 있다.

그리고 만약 너가 t를 변화하려 했다면

그것은 그리게 될 것이고...만약 너가 여기에 t를 변화하려 했다면

그것은 단위원을 그리게 될 것이고...만약 너가 t를 그린다면

그것이 단위 쌍곡선의 오른쪽인 오른쪽을 그리게 될 것이라는 것을

너는 또한 찾게 될 것이다.

바로 여기에 있는 매개변수화를 위해서이다.