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矩阵乘法是可交换的吗

  • 0:00 - 0:02
    我们知道标量的
  • 0:02 - 0:04
    乘法是可交换的
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    比如说，5乘7跟7乘5是一回事
  • 0:12 - 0:13
    当然这只是随便一个例子
  • 0:13 - 0:15
    我还可以举很多例子
  • 0:15 - 0:22
    3乘负11和负11乘3是一样的
  • 0:22 - 0:24
    交换律的重点是
  • 0:24 - 0:25
    交换律的重点是
  • 0:25 - 0:27
    我用任何顺序
  • 0:27 - 0:28
    来进行乘法都行
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    这和负11乘3一样
  • 0:32 - 0:34
    或者说得更概括点的话
  • 0:34 - 0:39
    如果我有一个标量a然后乘一个标量b
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    这等于
  • 0:40 - 0:46
    标量b乘标量a
  • 0:46 - 0:48
    现在这个视频里我要考虑
  • 0:48 - 0:51
    这个交换律
  • 0:51 - 0:53
    这个标量的
  • 0:53 - 0:54
    乘法交换律
  • 0:54 - 0:56
    是否有一个类似的
  • 0:56 - 0:59
    矩阵乘法交换律
  • 0:59 - 1:02
    假如我有两个矩阵
  • 1:02 - 1:08
    比如说矩阵大写A和矩阵大写B
  • 1:08 - 1:11
    它们相乘所得到的
  • 1:11 - 1:14
    矩阵是否和矩阵B
  • 1:14 - 1:18
    和矩阵A相乘一样
  • 1:18 - 1:20
    单独交换顺序的话
  • 1:20 - 1:23
    这一直是正确的吗？
  • 1:23 - 1:24
    可能有时候是正确的
  • 1:24 - 1:28
    但是如果我们要说矩阵乘法
  • 1:28 - 1:30
    是可交换的，也就是说乘法的
  • 1:30 - 1:32
    顺序不重要的话
  • 1:32 - 1:37
    我们要知道这是否一直正确？
  • 1:37 - 1:38
    我希望你先暂停视频
  • 1:38 - 1:40
    然后思考一下
  • 1:41 - 1:43
    我们先考虑几件事
  • 1:43 - 1:45
    首先，我们想一下不同
  • 1:45 - 1:47
    大小的矩阵
  • 1:47 - 1:50
    比如说我这有个矩阵
  • 1:50 - 1:55
    矩阵A比如说
  • 1:55 - 1:59
    是一个5×2矩阵
  • 1:59 - 2:01
    5×2矩阵
  • 2:01 - 2:09
    然后矩阵B是一个2×3矩阵
  • 2:09 - 2:14
    乘积AB的大小是多少
  • 2:14 - 2:18
    假如我将这两个相乘，会得到第三个矩阵
  • 2:18 - 2:21
    我们就先称其为C
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    你会得到第三个矩阵C
  • 2:23 - 2:25
    C的大小是多少？
  • 2:26 - 2:31
    首先我们知道，这个乘积是按照
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    我们矩阵乘法的惯例定义的
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    因为A的列数必须
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    和B的行数相等
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    然后结果的行和列
  • 2:41 - 2:44
    就是A的行数和B的列数
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    所以C是一个5×3矩阵
  • 2:49 - 2:50
    一个5×3矩阵
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    那把顺序对调呢？
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    B乘A是什么？
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    我还是希望你先暂停视频
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    假如你用B
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    让我复制粘贴一下
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    乘上A
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    这里我只是改变乘法顺序
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    复制粘贴
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    假如我们求这个乘积
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    它等于多少？
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    这是多少？
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    这等于多少？
  • 3:25 - 3:29
    首要问题是，矩阵乘法对于这两个
  • 3:29 - 3:31
    矩阵是否有定义？
  • 3:31 - 3:35
    当你看B的列数
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    和A的列数
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    你会发现其实这无定义
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    B的列数和
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    A的行数不一样
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    这里，乘积无定义
  • 3:47 - 3:49
    无定义
  • 3:50 - 3:52
    所以这立刻说明了
  • 3:52 - 3:54
    这不一直是正确的
  • 3:54 - 3:58
    这里，乘积AB有定义
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    你会得到一个5×3矩阵
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    这个乘积BA无定义
  • 4:04 - 4:06
    这已经……
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    我们已经看到这不成立了
  • 4:10 - 4:13
    当你做乘法时，顺序很关键
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    当你做矩阵乘法时
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    为了更确凿点
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    我们看一个矩阵……
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    你可能想说，这只有在乘积
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    无定义的时候是这样
  • 4:21 - 4:23
    但假如我们只做
  • 4:23 - 4:26
    方阵或者说两个乘积都有定义的
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    矩阵乘法，或者一些其它情况
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    可能这成立
  • 4:30 - 4:32
    我们来看一个
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    2×2矩阵的情况，看看顺序是否重要
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    假设我有矩阵……
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    我有矩阵1,2，负3，负4
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    然后我要将其乘以
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    矩阵负2,0,0，负3
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    乘积是多少？
  • 4:58 - 5:00
    同样，我希望你暂停视频
  • 5:00 - 5:01
    思考一下
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    我们一起来想想，这个我们已经做过很多遍了
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    第一个元素是
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    我们要看这一行和这一列
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    所以是1乘负2，等于负2
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    加上2乘0
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    这等于负2
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    然后这一元素
  • 5:21 - 5:21
    这里这个元素
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    我们看这一行和这一列
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    1乘0，等于0，加2乘负3
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    等于负6
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    然后算这一元素我要看这一行
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    和这一列
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    负3乘负2等于正6
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    加上负4乘0，等于正6
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    结果就是正6
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    最后是这个元素
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    这个等于第二行乘第二列
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    负3乘0等于0
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    负4乘负3等于正12
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    好了
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    那假如我们换个顺序呢？
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    假如我们用负2,0,0，负3
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    乘1,2，负3，负4呢？
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    这等于多少？
  • 6:16 - 6:18
    跟往常一样，最好先暂停
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    自己试一下
  • 6:20 - 6:22
    我们一起来
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    负2乘1是负2，加0乘负3
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    这等于负2
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    目前为止还挺好
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    然后你有负2乘2等于负4
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    加上0乘负4等于负4
  • 6:43 - 6:45
    我们已经看到两个
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    不一样的东西了，但是咱们先做完
  • 6:47 - 6:50
    这样感觉比较完整
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    这个元素等于
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    第二行，第一列
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    0乘1加负3乘负3等于正9
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    同样，这对应不上
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    最后，0乘2等于0
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    加上负3乘负4等于正12
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    这个倒是对上了
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    但很明显，这两个乘积不一样
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    即使是有定义的情况下……
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    无论你是用黄色
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    乘以紫色
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    还是紫色乘以黄色
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    即使两个乘积都有定义
  • 7:21 - 7:24
    我们看到不同的结果
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    所以这又是一个展示
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    矩阵乘法不可交换的例子
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矩阵乘法是可交换的吗
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Video Language:
English
Team:
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Duration:
07:32

Chinese, Simplified subtitles

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