Is matrix multiplication commutative

Balss aizkadrā: Mēs zinām, ka reizināšana

skalāriem lielumiem ir komutatīva.

Piemēram, 5 reiz 7 ir tas pats, kas 7 reiz 5,

un tas, protams, ir tikai konkrēts piemērs.

Es varētu minēt vēl daudzus citus.

3 reiz negatīvs 11 ir tas pats, kas negatīvs 11 reiz 3

un komutativitātes būtība ...

Es to nekad nevarētu pateikt ...

ir tāda, ka nav svarīgi, kādā secībā

es veicu reizināšanu.

Tas ir tas pats, kas negatīvs 11 reiz 3.

Vai, ja mēs vēlētos runāt vispārīgi,

ja man ir skalārs a un es to reizinu ar skalāru b,

tas būs tas pats,

kas reizināt skalāru b ar skalāru a.

Tagad šajā video es vēlos padomāt par to,

vai šis komutativitātes īpašums,

vai komutatīvais īpašums

skalāru reizināšanai,

vai pastāv līdzīgs īpašums

matricu reizināšanai,

vai ir tā, ka, ja man būtu divas matricas,

teiksim, matrica ar lielo burtu A un matrica ar lielo burtu B,

vai vienmēr ir tā, ka šis reizinājums,

iegūtā matrica šeit ir tāda pati,

kā matricas B un matricas A reizinājums,

vienkārši apmainot tās vietām.

Es aicinu jūs ... tātad, vai tas vienmēr ir pareizi?

Dažreiz tas varētu būt pareizi,

bet, lai mēs varētu teikt, ka matricu reizināšana

ir komutatīva, ka nav svarīgi, kādā secībā

mēs tās reizinām,

mums ir jānoskaidro, vai tas vienmēr būs pareizi?

Es aicinu tevi apstādināt video

un nedaudz padomāt par to.

Apskatīsim dažas lietas.

Pirmkārt, padomāsim par matricām

ar dažādām dimensijām.

Teiksim, man šeit ir matrica.

Teiksim, ka matrica A ir, es nezinu,

teiksim, tā ir 5 reiz 2 matrica,

5 reiz 2 matrica,

un matrica B ir 2 reiz 3 matrica.

Kādas dimensijas būs reizinājumam AB?

Ja es šīs divas sareizināšu, jūs iegūsiet trešo matricu.

Nosauksim to pagaidām par C.

Jūs iegūsiet trešo matricu C.

Kādas būs C dimensijas?

Mēs zinām, pirmkārt, ka šis reizinājums ir definēts

saskaņā ar mūsu matricu reizināšanas konvenciju,

jo kolonnu skaits matricā A

ir tāds pats kā rindu skaits matricā B,

un rezultātā iegūtās rindas un kolonna

būs A rindas un B kolonnas.

Tātad C būs 5 reiz 3 matrica,

5 reiz 3 matrica.

Bet kā ir otrādi?

Kas būtu B reiz A?

Vēlreiz aicinu jūs apstādināt video.

Ja jūs ņemtu B,

ļaujiet man to nokopēt un ielīmēt,

un sareizinātu to ar A,

tātad es patiesībā tikai mainu reizināšanas secību,

tātad kopējiet un ielīmējiet.

Ja mēs ņemtu šo reizinājumu tieši tur,

kam tas būs vienāds?

Kas tas ir?

Kam tas šeit būs vienāds?

Pirmais jautājums ir, vai matricu reizināšana vispār ir definēta

šīm divām matricām?

Kad jūs aplūkojat kolonnu skaitu matricā B

un rindu skaitu matricā A,

jūs redzat, ka tas faktiski nav definēts,

ka mums ir atšķirīgs kolonnu skaits matricā B

un atšķirīgs rindu skaits matricā A.

Šeit reizinājums nav definēts,

nav definēts,

tātad tas uzreiz ir diezgan liels pavediens,

ka tas ne vienmēr būs pareizi.

Šeit AB, reizinājums AB ir definēts,

un jūs iegūsiet 5 reiz 3 matricu.

Reizinājums šeit, BA, pat nav definēts.

Tas jau ir ...

Mēs jau redzam, ka tas tā nav,

ka secība ir svarīga, reizinot,

reizinot matricas.

Lai padarītu lietas nedaudz konkrētākas,

apskatīsim faktiski matricu.

Jūs varētu teikt, ak, varbūt tas nedarbojas

tikai tad, ja tas nav definēts,

bet hei, varbūt tas darbojas, ja mēs vienmēr strādājam

ar kvadrātmatricām vai matricām, kur abi reizinājumi

vienmēr ir definēti kaut kādā veidā,

vai varbūt kādā citā gadījumā.

Apskatīsim gadījumu, kad mums ir darīšana

ar 2 reiz 2 matricām, un redzēsim, vai secībai ir nozīme.

Teiksim, man ir matrica.

Teiksim, man ir matrica 1, 2, negatīvs 3, negatīvs 4,

un es vēlos to sareizināt ar matricu,

ar matricu negatīvs 2, 0, 0, negatīvs 3.

Kāds būs šis reizinājums?

Vēlreiz aicinu jūs apstādināt video

un padomāt par to.

Padomāsim par to, un mēs to jau esam darījuši daudzas reizes.

Šis pirmais ieraksts šeit būs,

mēs būtībā aplūkosim šo rindu un šo kolonnu,

tātad tas ir 1 reiz negatīvs 2, kas ir negatīvs 2,

plus 2 reiz 0.

Tas būs negatīvs 2.

Tagad šim ierakstam,

šim ierakstam šeit,

mēs aplūkosim šo rindu un šo kolonnu,

1 reiz 0, kas ir 0, plus 2 reiz negatīvs 3,

kas ir negatīvs 6.

Tad šim ierakstam mēs aplūkotu šo rindu

un šo kolonnu.

Negatīvs 3 reiz negatīvs 2 ir pozitīvs 6

plus negatīvs 4 reiz 0, kas ir vienkārši pozitīvs 6.

Mums būs pozitīvs 6.

Tad visbeidzot, šim ierakstam

tas būs otrā rinda reiz otrā kolonna.

Negatīvs 3 reiz 0 ir 0.

Negatīvs 4 reiz negatīvs 3 ir pozitīvs 12,

tātad viss kārtībā.

Bet ja mēs darītu to otrādi?

Ja mēs sareizinātu negatīvu 2, 0, 0, negatīvu 3

ar 1, 2, negatīvu 3, negatīvu 4?

Kam tas būs vienāds?

Kā vienmēr, ir laba ideja mēģināt to apstādināt

un izstrādāt to patstāvīgi.

Padomāsim par to.

Negatīvs 2 reiz 1 ir negatīvs 2, plus 0 reiz negatīvs 3,

tātad tas būs negatīvs 2.

Pagaidām viss izskatās diezgan labi.

Tad, ja jums ir negatīvs 2 reiz 2, tas ir negatīvs 4,

plus 0 reiz negatīvs 4 ir negatīvs 4.

Mēs jau redzam, ka šīs divas lietas

nebūs vienādas, bet pabeigsim to,

lai mums būtu pabeigtības sajūta.

Šis ieraksts tieši šeit būs

otrā rinda, pirmā kolonna,

0 reiz 1 plus negatīvs 3 reiz negatīvs 3 ir pozitīvs 9.

Vēlreiz, tas nesakrīt.

Tad visbeidzot 0 reiz 2 ir 0

plus negatīvs 3 reiz negatīvs 4 ir pozitīvs 12.

Tas patiesībā sakrita,

bet ir skaidrs, ka šie divi reizinājumi nav viens un tas pats.

Secība, ar kādu pat tie ir definēti,

nav svarīgi, vai jūs ņemat

dzelteno reiz violeto

vai violeto reiz dzelteno.

Abi šie rezultāti ir definēts reizinājums,

bet mēs redzam, ka tas nav tas pats reizinājums.

Vēlreiz, vēl viens gadījums, kas parāda,

ka matricu reizināšana nav komutatīva.