-
Víme, že násobení
-
skalárů (běžných čísel) je komutativní.
-
Například, 5 krát 7 je to stejné
jako 7 krát 5
-
a tohle byl jen
jeden konkrétní příklad,
-
mohl bych uvést spoustu dalších.
-
3 krát -11 je to stejné
jako -11 krát 3
-
a celá podstata komutativity…
…já to nikdy správně nevyslovím…
-
…je, že nezáleží na pořadí členů,
-
které mezi sebou násobím.
-
Tohle je stejné jako -11 krát 3.
-
Neboli obecně,
-
máme-li číslo A a vynásobím ho
číslem B,
-
výsledek bude stejný
-
jako při násobení čísla B číslem A.
-
Tedy v tomto videu chci zjistit,
-
jestli tato vlastnost komutativity…
-
Jestli komutativní zákon
-
jako pro násobení běžných čísel
-
existuje také v nějaké podobné formě
-
pro násobení matic.
-
Chci zjistit, jestli pro dvě matice,
-
řekněme matici A a matici B,
-
vždy platí, že jejich součin,
-
tedy výsledná matice bude stejná
-
jako výsledek součinu matice B a matice A,
-
tedy při obráceném pořadí.
-
Tedy ptám se Vás…platí
vždy tato vlastnost?
-
Někdy sice může platit,
-
ale abychom mohli říci,
že násobení matic je komutativní,
-
tedy nezáleží
na pořadí členů,
-
které mezi sebou násobíme,
-
musíme ověřit, zda tato rovnost
bude platit vždy.
-
Bylo by dobré si teď zastavit video
-
a trochu si to rozmyslet.
-
Musíme zde promyslet pár věcí.
-
Zaprvé, uvažujme matice
-
různých řádů (typů).
-
Tedy řekněme, že zde mám matici.
-
Nechť matice A je…já nevím,
-
třeba…nechť je maticí typu 5x2…
-
…maticí typu 5x2,
-
a matice B je typu 2x3.
-
Pak součin AB bude jakého typu?
-
Jestliže vynásobím tyto dvě matice,
výsledkem bude třetí matice.
-
Nazvěme ji prozatím C.
-
Tedy dostanete třetí matici C.
-
Jakého typu pak bude matice C?
-
Zaprvé, víme, že tento součin je definován
-
za předpokladu správných
typů násobených matic,
-
zde máme počet sloupců matice A,
-
který je stejný jako počet řádků matice B,
-
a tedy řádky a sloupce výsledné matice
-
budou dány počtem řádků matice A
a počtem sloupců matice B.
-
Tak potom C bude matice typu 5x3…
-
…matice typu 5x3.
-
A nyní, jak to dopadne
v opačném pořadí?
-
Jaký bude výsledek B krát A?
-
A opět by zde bylo dobré
si zastavit video.
-
Tedy když si vezmete B…
-
Já si to zde zkopíruji a vložím.
-
…a vynásobíte to maticí A,
-
takže zde opravdu měním pořadí
členů v násobení…
-
Zkopírovat a vložit…
-
Když se blíže podíváme na tento součin,
-
čemu se nyní bude rovnat?
-
Co zde vyjde?
-
Čemu se tohle bude rovnat?
-
První otázka je, jestli je vůbec
násobení definováno
-
pro tyto dvě matice.
-
Podíváte-li se na počet sloupců matice B
-
a na počet řádků matice A,
-
zjistíte, že součin vlastně
není ani definován.
-
Máme odlišný počet sloupců matice B
-
a řádků matice A
-
Zde tedy není součin definován.
-
Není definován.
-
Takže najednou jsme získali
docela podstatný důkaz,
-
že tato rovnost neplatí vždy.
-
Zde, součin AB je definován
-
a výsledkem je matice typu 5x3.
-
Ovšem zde, součin BA není ani definován.
-
Tedy to už značí…
-
Už nyní vidíme, že naše ověřovaná
rovnost vždy neplatí,
-
že při násobení matic
záleží na pořadí.
-
…při násobení matic.
-
Abychom byli konkrétnější,
-
podívejme se nyní na další matici…
-
Třeba si říkáte,
že to neplatí,
-
jen když součin není definován
-
a třeba ta rovnost vždy platí
-
při násobení čtvercových matic,
nebo v případě,
-
kdy oba součiny jsou vždy definovány,
-
nebo to třeba vždy platí
v jiných případech.
-
Podívejme se na případ,
-
kde násobíme dvě matice typu 2x2
a zjistíme, jestli záleží na pořadí.
-
Mějme tedy matici…
-
Mějme matici dánu prvky
1, 2, -3, -4
-
a budu ji násobit maticí…
-
…maticí s prvky
-2, 0, 0, -3.
-
Čemu se bude tento součin rovnat?
-
Nyní je opět vhodné si
video zastavit
-
a popřemýšlet nad tím.
-
Pojďme na to; tohle jsme již
dělali mnohokrát.
-
První prvek se bude rovnat…
-
Budeme teď pracovat s tímto řádkem
a tímto sloupcem,
-
tedy bude zde 1 krát -2,
což je -2
-
plus 2 krát 0.
-
Tohle se bude rovnat -2.
-
A teď, pro tento prvek…
-
U tohoto prvku
-
nás zajímá tento řádek a tento sloupec,
-
1 krát 0, což je 0,
plus 2 krát -3,
-
což je -6.
-
Dále u tohoto prvku nás zajímá
tento řádek
-
a tento sloupec.
-
-3 krát -2 se rovná +6
-
plus -4 krát 0,
což se stále rovná +6.
-
Dostaneme zde +6.
-
A nakonec, u tohoto prvku
-
to bude druhý řádek krát druhý sloupec.
-
-3 krát 0 je 0.
-
-4 krát -3 je +12.
-
Tak dobrá tedy,
-
co když nyní změníme pořadí?
-
Co kdybychom nyní násobili
-2, 0, 0, -3
-
krát 1, 2, -3, -4?
-
Čemu se tento součin bude rovnat?
-
Zde je opět vhodné si video zastavit
-
a zkusit to vyřešit na vlastní pěst.
-
Pojďme na to.
-
-2 krát 1 je -2,
plus 0 krát -3,
-
tedy tohle se bude rovnat -2.
-
Zatím to vypadá docela dobře.
-
Dále máme -2 krát 2,
což je -4,
-
plus 0 krát -4,
což je -4.
-
Už nyní vidíme, že tyto dva výsledky
-
nebudou stejné,
ale pojďme to nejprve dokončit,
-
abychom měli dobrý pocit
z dokončené práce.
-
Tento prvek bude rovnen…
-
Druhý řádek, první sloupec…
-
0 krát 1 plus
-3 krát -3 se rovná +9.
-
A znovu vidíme, že to nesedí.
-
A nakonec, 0 krát 2 je 0
-
plus -3 krát -4 je +12.
-
Tenhle prvek by seděl,
-
ale je zřejmé, že tyto dva součiny
nemají stejný výsledek.
-
Byť je součin definován pro obě pořadí,
-
kde nezáleží,
-
jestli násobíte žlutou krát fialovou
-
nebo fialovou krát žlutou…
-
Obě matice jsou sice výsledkem
definovaného součinu,
-
ale vidíme, že se nejedná o stejný součin.
-
Tedy ještě jednou,
máme zde další důkaz toho,
-
že násobení matic není komutativní.
Khan Academy
