Hat dolog, amit nem tudnak a prímszámokról | Iain Webb | TEDxTbilisi

Miért szeressük a prímszámokat? Fölvillanyozó és tréfálkozó előadásában Iain Webb matematikus elmagyarázza, mik a prímszámuk, és miféle különleges szerepük van a természetben és a civilizációban.

Iain Webb matematikatanár célja, hogy tantárgya iránt szenvedélyt keltsen hallgatóságában. A skóciai Szt. András Egyetemen szerzett diplomát; azt követően nagy-britanniai, kínai, kirgiz és georgiai egyetemeken és iskolákban tanított. Korábban nem matematikusi pályára készülő hallgatóknak tartott kurzusokat. Célja bemutatni az embereknek, különösen diákjainak a számokkal összefüggő rejtett mintázatokat.

Ezt az előadást egy TEDx rendezvényen rögzítették, amelyet a TED konferenciák formájában, de tőlük függetlenül egy helyi közösség szervezett. Bővebben: http://ted.com/tedx

Köszönöm.

Jó napot!

Először szeretném, ha mindenki gondolna

egy 1 és 10 közötti számra.

Jól jegyezzék meg.

Ne változtassák meg.

A legfontosabb, hogy ne felejtsék el.

Majd visszatérünk rá.

Ma megpróbálom önöket

egy kissé jobban megismertetni
a számok egy bizonyos családjával.

Ki tudja, tán még beléjük szeretnek.

De ez tán már túlzás.

Szeretnék bemutatni önöknek

hat dolgot,

amit nem tudnak a prímszámokról.

Pedig biztos tudniuk kellene.

Elsőként idézzük föl, mik a prímszámok.

A természetes számok kétfélék:

vagy prímek,

vagy prímek szorzataként állnak elő.

A prímszámok a matematika atomjai.

A prímszámok 1-nél nagyobbak,
és pontosan két osztójuk van,

két szám, amellyel maradék
nélkül oszthatók.

Pl. a 2-nek két osztója van: az 1 és a 2.

A 3-nak két osztója van: az 1 és a 3.

Az 5-nek két osztója van: az 1 és az 5.

Az 1 nem prímszám,
mert csak egy osztója van.

Ez itt az első 25 prímszám.

Mindegyik 100-nál kisebb.

Észrevehetik, hogy a 2
az egyetlen páros a prímek között.

És egyútal a legkisebb is.

Mivel ez az egyetlen páros prím,

ezért ez az egyetlen szám,
amely fölbukkan ebben az öt oszlopban.

Az is megfigyelhető,

hogy az 5 az egyetlen, amelyik megjelenik
az ötödik oszlopban,

mert a többi ott lévő szám
mind osztható öttel.

De ezek a számok érdekesebbek annál,

hogy csupán a matematika
építőkövei legyen.

Ezért a hatos listát kezdjük azzal,

ami még azelőtt volt, hogy az ember
felfedezte volna a prímszámokat.

Az első tény: a természet prímekre épül.

Jó. Hangzatos kijelentés, de igaz.

A természet nemcsak ismeri a prímszámokat,

hanem az életben maradáshoz
használja is őket.

Vegyünk egy példát Kelet-USA erdeiből.

A kabócák élete csodálatos.

E kis, tücsök méretű lények
fákra rakott petékből kelnek ki.

Kikelésük után a földre esnek,

és rögtön lyukat ásnak:
sokszor fél méter mélyet.

A földben maradnak,

és a fák nedvéből tartják fönn magukat.

A fák nedvének változásából tudják meg,

hogy eltelt az év,
és még egy, és még egy...

Hirtelen milliószámra bújnak ki a földből

a párzási és repülési hónapban,

petét raknak, és végül elpusztulnak.

Fülsüketítő zajt csapnak.

Először Paul Dudley
ügyvéd és természetbúvár

tanulmányozta alaposabban
őket a 18. században.

Azt írta róluk: "Nagy számban
élnek erdeinkben.

Annyira zajosak,

hogy a gazdák képtelenek meghallani
a szemük előtt lévő tehénkolompot."

A kéthetes téboly után
az erdők ismét elcsöndesülnek.

Nem 1 vagy 10, hanem 17 évre.

Dudley észrevette a 17 éves nemlétet,

kivárt újabb 17 évet, hogy meggyőződjön,
nem véletlen volt-e,

mielőtt beadta e lényekről szóló cikkét
a londoni Királyi Társaságnak.

A kabócák tudnak számolni.

Ki hitte volna?

Számolnak: nem 10-ig, nem 12-ig,

hanem 13-ig vagy 17-ig.

A 19. század végi tudósoktól

a Magicicada latin nevet kapták,

utalva ezzel csodás képességükre,

hogy tömeges megjelenésük előtt
pontosan kiszámolják a 13 vagy 17 évet.

De mi az értelme, hogy a kabócák
prímszámokat használnak?

Ez összefügg a prímek előbb
említett tulajdonságával,

hogy nincs más számmal közös osztójuk.

Emlékeztetek, az osztó az a szám,
amely a másik számot osztja.

Pl. a 6-nak s a 8-nak a 2 a közös osztója,

mind a kettő 2-vel osztható.

6-nak s a 9-nek a 3 közös osztója,

De a 6-nak s az 5-nek nincs közös osztója,

a 6-nak s a 7-nek sincs,
és 6-nak a többi prímmel sincs.

Ezért az erdőkben hatévente
megjelenő ragadozó,

amely ízletes kabócákra vadászik,

gyakrabban találna rájuk,

ha nyolc vagy kilenc év lenne

az életciklusuk hossza,

nem pedig 5, 7, 13 év

vagy más prímszám.

A prímszámok tartják életben a kabócákat.

Ez az oka, hogy 12 kabócafajta van,

amelynek 17 éves az életciklusa,

és további 4,

amelynek 13 éves. Ezek maradtak életben.

A magyarázat: ezek a számok prímek.

Mivel nincs más számmal közös osztójuk,

kevésbé valószínű,

hogy összeakadnak szintén
periodikus életciklusú ragadozókkal.

Ez csak egy példa a számtalan közül.

A természet szereti a prímeket.

De úgy tűnik, a példa ragadós,

és ez elvezet a másik tényhez:

prímekkel jobbak a filmcímek.

Észrevették, ha szám van a filmcímben,

az valószínűleg inkább prím?

Rászántam egy kis időt,
hogy ellenőrizzem sejtésem

az internetes mozi-adatbázison:

több prímszámot találtam
a filmcímekben, mint nem prímet.

A három testőr,

Az ötödik elem,

A hét szamuráj

A fantasztikus négyes – jaj, ez nem.

(Nevetés)

Apolló 13.

Prímekkel jobbak a filmcímek.

Még a kultúránál maradva,

a prímek a filmvilágon kívül
a klasszikus zenébe is behatolnak.

A Kvartett az idők végezetére
c. 1941-ben írt mű nyitótételében

Olivier Messiaen

29-akkordos szekvenciát rakott
a 17 ütemből álló zongoratéma fölé,

ezzel gondoskodva róla, hogy a két
akkordmenet többé ne találkozzék

amíg 17-szer nem ismétlődik
a 29-es szekvencia,

ám addigra a tétel már rég véget ért.

E matematikai fogás
olyan zenedarabot eredményez,

amelyben nincsenek ismétlődő mintázatok.

Természet, filmek, zene.

Internetes vásárlás.

Prímekkel biztonságos neten vásárolni.

Hogy megértsük a prímek szerepét
az internetes kereskedelemben,

ismernünk kell e számcsalád
másik kulcsfontosságú tulajdonságát.

Mivel hogy nincsenek osztóik –

tudják: az osztó az a szám,
mellyel a másik maradék nélkül osztható –

elképesztően nehéz
két prím szorzatát fölbontani.

Másként: szorozzunk össze két prímet,

a szorzatot bízzuk a barátunkra,

és figyeljük, ahogy kínlódik

a szorzat törzstényezőkre bontásával.

Amazon, eBay, kiskereskedők világszerte

fölhasználják e tényt, mikor interneten
önök a hitelkártya-adataikat küldik

netes vásárlásuk kifizetésére.

A lényeg: kártyaszámukat
megszorozzék két prímmel,

majd a szorzatot rejtjelezett üzenetként

továbbítják az interneten.

Az üzenet kirejtjelezéséhez egyszerűen
a szorzatot el kell osztani a két prímmel,

így megkapjuk hitelkártyájuk számát.

A honlap ismeri a két prímet,

de a kártya feltörésére
törekvő támadó nem.

A prímek a titkos kulcs,

amellyel rejtjelezve vannak
hitelkártyánk adatai,

ahogyan nyilvános csatornán –
a neten – továbbítják őket.

Ha legközelebb neten vásárolnak,

köszönjék meg a prímeknek a biztonságukat.

Természet, filmek, zene, vásárlás.

Már beleszerettek a prímekbe?

Még egy bámulatos tény a prímekről:
összehozzák az embereket.

Önök is bekapcsolódhatnak.

Mert a prímek ilyen hasznosak világunkban,
amikor interneten vásárolunk,

azért értékelik nagyra
egy-egy új prím felfedezését.

A Nagy internetes Mersenne-prím keresés

ragyogó közös világméretű program.

Prímjelöltekhez úgy jutunk,

hogy a kettest sokszor
megszorozzuk önmagával,

majd kivonunk belőle egyet: 2ⁿ – 1.

Ez a dolog könnyebbik fele.

A számokat aztán ellenőrizni kell
oszthatóságra,

hogy valóban prímszámok-e.

A feladat roppant nagy
számítógép-kapacitást igényel,

és mostanáig több mint 150 ezren

töltötték le az ellenőrző szoftvert.

Ők három okból szövetkeztek:

mert nagyra értékelik a prímszámokat,

mert segíteni akarnak
új prímszámokat föllelni,

és mert időnként kihasználatlan
a számítógépük,

és pont ilyenkor végzi el gépük

a töméntelen számítást.

2016 januárjában

a prímek családja új taggal gyarapodott.

Néhány részlet róla:

ez a szám

a 2 a 74 207 281. hatványon

mínusz 1.

Elképesztően nagy szám.

Ha leírnánk, 3 500 oldalt töltene meg,

22 millió számjegyből áll.

Öt számjeggyel hosszabb
az utolsó legnagyobb prímszámnál.

Meddig tartana leírni, ha föltételezzük:

folyamatosan, másodpercenként
két számjegyes tempóban írnánk

étlen-szomjan, alvás nélkül?

Kb. 14,5 hétig.

Ha a számot valaki a felfedezése napján,

2016. január 7-én kezdte volna írni,

csak e hétvégén fejezné be.

Hogy nézne ki a 3 500 oldal?

Milyen látványt nyújtana
e herkulesi munkával birkózó?

Mennyi kávét kellene innia
az ébren maradáshoz?

Megmondhatom.

Jó nagy kupac papír.

Ennyi idő alatt tekintélyes szakálla nőne,

és annyi kávé a világon nincs.

Természet, filmek, zene, vásárlás,
emberek összehozása...

úgy látszik, mintha a prímeknek
végtelen sok alkalmazásuk lenne.

Talán pont annyi, mint ahány prím létezik?

Mert az egyre nagyobb prímek keresése

biztosan elvezet minket a kérdéshez:

hány tagja van ennek a családnak?

Véges számú?

Lejegyezhetjük őket egy ív papírra,

még ha egy jó nagy ívre is?

A kérdés kétezer éves.

Eukleidész, a nagy görög matematikus
ugyanezen törte a fejét.

Nézzük a bizonyítást!

Mély lélegzet.

A bizonyításhoz írjuk le

a prímcsalád első három tagját: 2, 3 és 5.

Azt állítjuk, hogy csak
ezek a prímek léteznek:

a lista véges.

Összeszorozva őket 30-at kapunk.

Most jön Eukleidész nagy ugrása –

köszönjük, Eukleidész! –,

hozzáadott 1-et a számhoz.

A 31 nem osztható 2-vel,

mert az kétszer valami plusz 1.

Tehát a maradék 1.

A 31 nem osztható 3-mal,
mert az háromszor valami plusz 1,

tehát a maradék 1.

A 31 nem osztható 5-tel,
mert az ötször valami plusz 1,

tehát a maradék 1.

A 31 nem bontható prímszámokra

a véges listánk prímjeiből:
a 2, 3, és 5-ből.

Ez pedig azt jelenti,
hogy vagy maga a 31 prím,

vagy pedig vannak más prímek,
amelyekkel oszthatjuk.

Így vagy úgy, listánk kibővül,

és úgy tűnik, előző listánk nem véges.

A 31 tényleg prímszám,

ezt az előzőkből tudjuk;
hozzáadhatjuk a listánkhoz.

A prímek listája újabb taggal bővült.

Megint csak, összeszorozzuk a négy prímet,

hozzáadunk 1-et, – köszi, Eukleidész –,

és az előző logika szerint

vagy megvan az ötödik prímszámunk,

vagy van még más prímünk is,
amellyel fölbonthatjuk a 931-et.

Ily módon a lista folyamatosan
egyre csak bővülni fog.

A prímekre vonatkozó hatodik tény az,

hogy végtelen számosságúak.

Ha a világon mindenki
megszeretné a prímeket,

mindenkinek jutna egy-egy.

Van-e jobb módja előadásom zárásának,

mint hogy bemutassam az egyik legszebb,
legegyszerűbb matematikai bizonyítást?

De nem elégedhetünk meg hat ténnyel.

A 6 nem prímszám.

A 7,

a hét prímszám.

A hetedik tény keresésekor

figyelembe vehetjük
a csonkolható prímeket is,

a prímek családjának azon tagjait,

amelyekből bármennyi számjegyet
levágva újra prímet kapunk.

Ilyen pl. a 317 és a 797.

Lehetne a hetedik tény,
hogy ha két prím különbsége 6,

mint az 5 és a 11 vagy a 23 és a 29,

azok szexi, értsd: hatos prímek?

Lehetne a hetedik tény,

hogy – kivéve a 2-t és a 3-at –
minden prím 6k + 1

vagy 6k - 1 alakú.

Az összes többi.

A hetedik tény itt van az orrunk előtt.

Kérem, gondoljanak vissza
előadásom elejére,

és idézzék föl, melyik 1
és 10 közti számra gondoltak.

Kérem, tegye föl a kezét, aki prímszámra!

Fantasztikus!

Ezek után nem kell bizonygatnom,
mennyire csodásak a prímszámok,

s mennyire kell szeretniük őket.

Mert már beléjük is szerettek.

Az önök túlnyomó többsége
prímszámot választott,

s ezzel nem állnak egyedül.

Világszerte 30 000 fő
megkérdezéséből nemrég kiderült

a hetedik és legragyogóbb tényünk:

a világ legkedveltebb számai a prímek,

és most már remélhetőleg, önök is
kissé jobban kedvelik őket.

Köszönöm szépen.

(Taps)