Köszönöm.
Jó napot!
Először szeretném, ha mindenki gondolna
egy 1 és 10 közötti számra.
Jól jegyezzék meg.
Ne változtassák meg.
A legfontosabb, hogy ne felejtsék el.
Majd visszatérünk rá.
Ma megpróbálom önöket
egy kissé jobban megismertetni a számok egy bizonyos családjával.
Ki tudja, tán még beléjük szeretnek.
De ez tán már túlzás.
Szeretnék bemutatni önöknek
hat dolgot,
amit nem tudnak a prímszámokról.
Pedig biztos tudniuk kellene.
Elsőként idézzük föl, mik a prímszámok.
A természetes számok kétfélék:
vagy prímek,
vagy prímek szorzataként állnak elő.
A prímszámok a matematika atomjai.
A prímszámok 1-nél nagyobbak, és pontosan két osztójuk van,
két szám, amellyel maradék nélkül oszthatók.
Pl. a 2-nek két osztója van: az 1 és a 2.
A 3-nak két osztója van: az 1 és a 3.
Az 5-nek két osztója van: az 1 és az 5.
Az 1 nem prímszám, mert csak egy osztója van.
Ez itt az első 25 prímszám.
Mindegyik 100-nál kisebb.
Észrevehetik, hogy a 2 az egyetlen páros a prímek között.
És egyútal a legkisebb is.
Mivel ez az egyetlen páros prím,
ezért ez az egyetlen szám, amely fölbukkan ebben az öt oszlopban.
Az is megfigyelhető,
hogy az 5 az egyetlen, amelyik megjelenik az ötödik oszlopban,
mert a többi ott lévő szám mind osztható öttel.
De ezek a számok érdekesebbek annál,
hogy csupán a matematika építőkövei legyen.
Ezért a hatos listát kezdjük azzal,
ami még azelőtt volt, hogy az ember felfedezte volna a prímszámokat.
Az első tény: a természet prímekre épül.
Jó. Hangzatos kijelentés, de igaz.
A természet nemcsak ismeri a prímszámokat,
hanem az életben maradáshoz használja is őket.
Vegyünk egy példát Kelet-USA erdeiből.
A kabócák élete csodálatos.
E kis, tücsök méretű lények fákra rakott petékből kelnek ki.
Kikelésük után a földre esnek,
és rögtön lyukat ásnak: sokszor fél méter mélyet.
A földben maradnak,
és a fák nedvéből tartják fönn magukat.
A fák nedvének változásából tudják meg,
hogy eltelt az év, és még egy, és még egy...
Hirtelen milliószámra bújnak ki a földből
a párzási és repülési hónapban,
petét raknak, és végül elpusztulnak.
Fülsüketítő zajt csapnak.
Először Paul Dudley ügyvéd és természetbúvár
tanulmányozta alaposabban őket a 18. században.
Azt írta róluk: "Nagy számban élnek erdeinkben.
Annyira zajosak,
hogy a gazdák képtelenek meghallani a szemük előtt lévő tehénkolompot."
A kéthetes téboly után az erdők ismét elcsöndesülnek.
Nem 1 vagy 10, hanem 17 évre.
Dudley észrevette a 17 éves nemlétet,
kivárt újabb 17 évet, hogy meggyőződjön, nem véletlen volt-e,
mielőtt beadta e lényekről szóló cikkét a londoni Királyi Társaságnak.
A kabócák tudnak számolni.
Ki hitte volna?
Számolnak: nem 10-ig, nem 12-ig,
hanem 13-ig vagy 17-ig.
A 19. század végi tudósoktól
a Magicicada latin nevet kapták,
utalva ezzel csodás képességükre,
hogy tömeges megjelenésük előtt pontosan kiszámolják a 13 vagy 17 évet.
De mi az értelme, hogy a kabócák prímszámokat használnak?
Ez összefügg a prímek előbb említett tulajdonságával,
hogy nincs más számmal közös osztójuk.
Emlékeztetek, az osztó az a szám, amely a másik számot osztja.
Pl. a 6-nak s a 8-nak a 2 a közös osztója,
mind a kettő 2-vel osztható.
6-nak s a 9-nek a 3 közös osztója,
De a 6-nak s az 5-nek nincs közös osztója,
a 6-nak s a 7-nek sincs, és 6-nak a többi prímmel sincs.
Ezért az erdőkben hatévente megjelenő ragadozó,
amely ízletes kabócákra vadászik,
gyakrabban találna rájuk,
ha nyolc vagy kilenc év lenne
az életciklusuk hossza,
nem pedig 5, 7, 13 év
vagy más prímszám.
A prímszámok tartják életben a kabócákat.
Ez az oka, hogy 12 kabócafajta van,
amelynek 17 éves az életciklusa,
és további 4,
amelynek 13 éves. Ezek maradtak életben.
A magyarázat: ezek a számok prímek.
Mivel nincs más számmal közös osztójuk,
kevésbé valószínű,
hogy összeakadnak szintén periodikus életciklusú ragadozókkal.
Ez csak egy példa a számtalan közül.
A természet szereti a prímeket.
De úgy tűnik, a példa ragadós,
és ez elvezet a másik tényhez:
prímekkel jobbak a filmcímek.
Észrevették, ha szám van a filmcímben,
az valószínűleg inkább prím?
Rászántam egy kis időt, hogy ellenőrizzem sejtésem
az internetes mozi-adatbázison:
több prímszámot találtam a filmcímekben, mint nem prímet.
A három testőr,
Az ötödik elem,
A hét szamuráj
A fantasztikus négyes – jaj, ez nem.
(Nevetés)
Apolló 13.
Prímekkel jobbak a filmcímek.
Még a kultúránál maradva,
a prímek a filmvilágon kívül a klasszikus zenébe is behatolnak.
A Kvartett az idők végezetére c. 1941-ben írt mű nyitótételében
Olivier Messiaen
29-akkordos szekvenciát rakott a 17 ütemből álló zongoratéma fölé,
ezzel gondoskodva róla, hogy a két akkordmenet többé ne találkozzék
amíg 17-szer nem ismétlődik a 29-es szekvencia,
ám addigra a tétel már rég véget ért.
E matematikai fogás olyan zenedarabot eredményez,
amelyben nincsenek ismétlődő mintázatok.
Természet, filmek, zene.
Internetes vásárlás.
Prímekkel biztonságos neten vásárolni.
Hogy megértsük a prímek szerepét az internetes kereskedelemben,
ismernünk kell e számcsalád másik kulcsfontosságú tulajdonságát.
Mivel hogy nincsenek osztóik –
tudják: az osztó az a szám, mellyel a másik maradék nélkül osztható –
elképesztően nehéz két prím szorzatát fölbontani.
Másként: szorozzunk össze két prímet,
a szorzatot bízzuk a barátunkra,
és figyeljük, ahogy kínlódik
a szorzat törzstényezőkre bontásával.
Amazon, eBay, kiskereskedők világszerte
fölhasználják e tényt, mikor interneten önök a hitelkártya-adataikat küldik
netes vásárlásuk kifizetésére.
A lényeg: kártyaszámukat megszorozzék két prímmel,
majd a szorzatot rejtjelezett üzenetként
továbbítják az interneten.
Az üzenet kirejtjelezéséhez egyszerűen a szorzatot el kell osztani a két prímmel,
így megkapjuk hitelkártyájuk számát.
A honlap ismeri a két prímet,
de a kártya feltörésére törekvő támadó nem.
A prímek a titkos kulcs,
amellyel rejtjelezve vannak hitelkártyánk adatai,
ahogyan nyilvános csatornán – a neten – továbbítják őket.
Ha legközelebb neten vásárolnak,
köszönjék meg a prímeknek a biztonságukat.
Természet, filmek, zene, vásárlás.
Már beleszerettek a prímekbe?
Még egy bámulatos tény a prímekről: összehozzák az embereket.
Önök is bekapcsolódhatnak.
Mert a prímek ilyen hasznosak világunkban, amikor interneten vásárolunk,
azért értékelik nagyra egy-egy új prím felfedezését.
A Nagy internetes Mersenne-prím keresés
ragyogó közös világméretű program.
Prímjelöltekhez úgy jutunk,
hogy a kettest sokszor megszorozzuk önmagával,
majd kivonunk belőle egyet: 2ⁿ – 1.
Ez a dolog könnyebbik fele.
A számokat aztán ellenőrizni kell oszthatóságra,
hogy valóban prímszámok-e.
A feladat roppant nagy számítógép-kapacitást igényel,
és mostanáig több mint 150 ezren
töltötték le az ellenőrző szoftvert.
Ők három okból szövetkeztek:
mert nagyra értékelik a prímszámokat,
mert segíteni akarnak új prímszámokat föllelni,
és mert időnként kihasználatlan a számítógépük,
és pont ilyenkor végzi el gépük
a töméntelen számítást.
2016 januárjában
a prímek családja új taggal gyarapodott.
Néhány részlet róla:
ez a szám
a 2 a 74 207 281. hatványon
mínusz 1.
Elképesztően nagy szám.
Ha leírnánk, 3 500 oldalt töltene meg,
22 millió számjegyből áll.
Öt számjeggyel hosszabb az utolsó legnagyobb prímszámnál.
Meddig tartana leírni, ha föltételezzük:
folyamatosan, másodpercenként két számjegyes tempóban írnánk
étlen-szomjan, alvás nélkül?
Kb. 14,5 hétig.
Ha a számot valaki a felfedezése napján,
2016. január 7-én kezdte volna írni,
csak e hétvégén fejezné be.
Hogy nézne ki a 3 500 oldal?
Milyen látványt nyújtana e herkulesi munkával birkózó?
Mennyi kávét kellene innia az ébren maradáshoz?
Megmondhatom.
Jó nagy kupac papír.
Ennyi idő alatt tekintélyes szakálla nőne,
és annyi kávé a világon nincs.
Természet, filmek, zene, vásárlás, emberek összehozása...
úgy látszik, mintha a prímeknek végtelen sok alkalmazásuk lenne.
Talán pont annyi, mint ahány prím létezik?
Mert az egyre nagyobb prímek keresése
biztosan elvezet minket a kérdéshez:
hány tagja van ennek a családnak?
Véges számú?
Lejegyezhetjük őket egy ív papírra,
még ha egy jó nagy ívre is?
A kérdés kétezer éves.
Eukleidész, a nagy görög matematikus ugyanezen törte a fejét.
Nézzük a bizonyítást!
Mély lélegzet.
A bizonyításhoz írjuk le
a prímcsalád első három tagját: 2, 3 és 5.
Azt állítjuk, hogy csak ezek a prímek léteznek:
a lista véges.
Összeszorozva őket 30-at kapunk.
Most jön Eukleidész nagy ugrása –
köszönjük, Eukleidész! –,
hozzáadott 1-et a számhoz.
A 31 nem osztható 2-vel,
mert az kétszer valami plusz 1.
Tehát a maradék 1.
A 31 nem osztható 3-mal, mert az háromszor valami plusz 1,
tehát a maradék 1.
A 31 nem osztható 5-tel, mert az ötször valami plusz 1,
tehát a maradék 1.
A 31 nem bontható prímszámokra
a véges listánk prímjeiből: a 2, 3, és 5-ből.
Ez pedig azt jelenti, hogy vagy maga a 31 prím,
vagy pedig vannak más prímek, amelyekkel oszthatjuk.
Így vagy úgy, listánk kibővül,
és úgy tűnik, előző listánk nem véges.
A 31 tényleg prímszám,
ezt az előzőkből tudjuk; hozzáadhatjuk a listánkhoz.
A prímek listája újabb taggal bővült.
Megint csak, összeszorozzuk a négy prímet,
hozzáadunk 1-et, – köszi, Eukleidész –,
és az előző logika szerint
vagy megvan az ötödik prímszámunk,
vagy van még más prímünk is, amellyel fölbonthatjuk a 931-et.
Ily módon a lista folyamatosan egyre csak bővülni fog.
A prímekre vonatkozó hatodik tény az,
hogy végtelen számosságúak.
Ha a világon mindenki megszeretné a prímeket,
mindenkinek jutna egy-egy.
Van-e jobb módja előadásom zárásának,
mint hogy bemutassam az egyik legszebb, legegyszerűbb matematikai bizonyítást?
De nem elégedhetünk meg hat ténnyel.
A 6 nem prímszám.
A 7,
a hét prímszám.
A hetedik tény keresésekor
figyelembe vehetjük a csonkolható prímeket is,
a prímek családjának azon tagjait,
amelyekből bármennyi számjegyet levágva újra prímet kapunk.
Ilyen pl. a 317 és a 797.
Lehetne a hetedik tény, hogy ha két prím különbsége 6,
mint az 5 és a 11 vagy a 23 és a 29,
azok szexi, értsd: hatos prímek?
Lehetne a hetedik tény,
hogy – kivéve a 2-t és a 3-at – minden prím 6k + 1
vagy 6k - 1 alakú.
Az összes többi.
A hetedik tény itt van az orrunk előtt.
Kérem, gondoljanak vissza előadásom elejére,
és idézzék föl, melyik 1 és 10 közti számra gondoltak.
Kérem, tegye föl a kezét, aki prímszámra!
Fantasztikus!
Ezek után nem kell bizonygatnom, mennyire csodásak a prímszámok,
s mennyire kell szeretniük őket.
Mert már beléjük is szerettek.
Az önök túlnyomó többsége prímszámot választott,
s ezzel nem állnak egyedül.
Világszerte 30 000 fő megkérdezéséből nemrég kiderült
a hetedik és legragyogóbb tényünk:
a világ legkedveltebb számai a prímek,
és most már remélhetőleg, önök is kissé jobban kedvelik őket.
Köszönöm szépen.
(Taps)